2.3　非線性理論基礎

系統是由相互關聯的客體組織形成的一個有機整體，系統中某個元素的變化都會使系統發(fā)生相應的改變。經濟系統復雜多變，其本質是非線性系統，如果用傳統的經濟理論進行分析不能揭示系統運行的規(guī)律；而非線性理論在經濟系統中的運用可以避免由于線性分析范式的微小誤差導致結果的巨大差異。近些年，非線性理論在經濟系統中廣泛應用并逐漸成為分析經濟系統的主要工具之一。

2.3.1　動力系統的基礎理論

1．動力系統

現實中會出現隨時間變化而演變的系統，如生物物種繁殖、流體運動、經濟系統的發(fā)展演變等，上述系統可以用數學模型進行描述為φ_t：X→X，X表示與時間t有關的各種狀態(tài)結構形成的集合。同時動力系統可以描述幾何空間中的點的變化情況，根據點的運動軌跡可以判斷系統所處的狀態(tài)，如穩(wěn)定、周期、擬周期狀態(tài)等。系統中不同的參數值對應不同的系統狀態(tài)，當系統狀態(tài)確定時，系統未來的狀態(tài)依賴于當前狀態(tài)，即給予一個確定的時間間隔，當前的狀態(tài)只能演化成未來的一個狀態(tài)。本書在考慮市場博弈行為的基礎上，構建離散的供應鏈動力系統，研究確定供應鏈系統中的非線性（不確定）問題，故構建系統的動力方程是研究經濟系統復雜性的重要前提。

2．分岔

動力系統的分岔現象指的是隨著某些參數的變化，系統的動態(tài)行為發(fā)生了質的改變，若系統的控制參數的微小變化會引起系統狀態(tài)或者結構發(fā)生質的變化時就會出現分岔現象。失穩(wěn)是分岔的前提，是聯系平衡點、周期解和混沌的一種機制。分岔主要來源于常微分方程所定義的連續(xù)系統的分岔和函數方程的零解隨參數變化而產生的分岔。混沌可以通過分岔來實現，常見的分岔有樹枝分岔、跨臨界分岔、霍普夫分岔和鞍—結分岔。

3．李雅普諾夫指數

李雅普諾夫指數（Lyapunov Exponent）描述了一個動力系統的初始時刻相鄰的兩個軌道在迭代或時間演變下相互間距離的指數增長率，它是決定系統是否存在奇異吸引子的一個特征量，其能定量描述奇異吸引子的性質。混沌吸引子具有正的李雅普諾夫指數。

4．奇異吸引子

在研究耗散系統的運動軌道時，經常會發(fā)現一種奇特的非周期運動軌道。簡單地說，奇異吸引子就是在相空間的有限區(qū)域內，由無窮多個不穩(wěn)定點組成的一個不可分割的有界點集。主要具有以下幾個特征：

（1）對初始條件具有非常敏感的依賴性。在初始時刻，從奇異吸引子上任何兩個非常接近的點出發(fā)的兩條運動軌道，最終會以指數形式相互分離。

（2）功率譜是一個寬譜，系統中存在無窮多個特征頻率。

（3）相鄰軌道之間的時間關聯要衰減到零。

（4）具有多層次自相似的幾何維數是非整數的點集。

2.3.2　混沌理論基礎

1．混沌的定義

混沌指在確定的非線性系統中，不需要附加任何隨機因素就可以出現類似隨機的行為，是一種貌似無規(guī)則的運動。

對于混沌的定義至今沒有統一描述，下面介紹Li-Yorke數學意義下的混沌：

設動力系統（X，f）有一個不可數的子集M?X，使得：

（1）f的周期點的周期無上界。

（2）對每一對點x，y∈M，有極限lim_n→∞infd（fⁿ（x），fⁿ（y））=0，其中d（fⁿ（x）-（y））表示兩條軌道的距離，極限為零表示兩條軌道可以充分接近。

（3）存在δ>0，使得對每一點x，y∈M，x≠y，有極限

這個極限表示兩條軌道不能一直保持距離，經常要分離。

2．混沌的特征

（1）對初態(tài)的敏感依賴性；

（2）確定系統中的內在隨機性；

（3）混沌的有界性和遍歷性；

（4）無限自相似結構；

（5）具有正的李雅普諾夫指數和連續(xù)的功率譜。

2.3.3　系統穩(wěn)定性判據

系統可以分為連續(xù)系統和離散系統，下面各章節(jié)中所討論的雙渠道行為供應鏈的博弈決策都是發(fā)生在離散時間周期內，需要借助一定的方法對離散系統穩(wěn)定性進行判定。離散系統的穩(wěn)定性判據是根據連續(xù)系統的穩(wěn)定性判據推導出來的，先介紹連續(xù)系統的穩(wěn)定性條件。

1．連續(xù)系統穩(wěn)定性條件

勞斯穩(wěn)定性判據主要通過構造Lyapunov函數對復雜連續(xù)系統的運行軌跡的穩(wěn)定性進行判斷。當特征方程的特征值都為負實部時，連續(xù)系統處于穩(wěn)定狀態(tài)。但是，對于階次超過3次的復雜系統，很難求出系統的特征值。在這種情況下需要用勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據。

假設系統的特征方程式為

其中，a₀>0，作Routh-Hurwitz行列式

當i>n，規(guī)定a_i=0，如果Δ₁>0，Δ₂>0，Δ_n>0，…，Δ_n-1>0，Δ_n>0同時滿足，特征方程的一切根的實部為負，則連續(xù)系統處于穩(wěn)定狀態(tài)。

2．離散系統穩(wěn)定性判據

連續(xù)系統的勞斯判據是判斷系統的特征根是否在左半s平面來得到系統的穩(wěn)定性，而離散系統的特征根的模全部小于1，即z平面的單位圓內，系統是穩(wěn)定的。因此勞斯判據不能直接用來判斷離散系統的穩(wěn)定性，需要引入一種線性變換完成從z域到s域的轉換，才能將勞斯判據用來判斷離散系統的穩(wěn)定性。朱利（Jury）判據是離散系統穩(wěn)定性的一個判據，首先計算出系統的特征方程式為

根據特征方程式的系數得到朱利（Jury）表

其中，，k=0，1，2，…，n-1；

通過計算可以求得朱利（Jury）表中的2n-3行n＋1列個元素，則滿足下列三個條件時離散系統是穩(wěn)定的：

（1）D（1）=D（m）｜_m=1>0，

（2）（-1）ⁿD（-1）=（-1）D（m）_m=1>0，

（3）n-1個約束條件：

｜a₀｜<a_n，｜b₀｜>｜b_n-1｜，｜c₀｜>｜c_n-2｜，…，｜p₀｜>｜p_n｜，｜q₀｜>｜q₂｜.

上面三個條件是離散系統穩(wěn)定的充分必要條件，任何一條不滿足，離散系統就不穩(wěn)定。本書以下章節(jié)中系統的穩(wěn)定域均是根據朱利（Jury）判據得到。

2.3.4　經濟系統混沌控制方法介紹

混沌現象具有確定性、非線性、非常復雜且具有內在隨機性的運動軌跡，對初值敏感性使得其運動軌跡不可預測。要根據系統的特點對混沌現象加以控制：①混沌對于系統的運行有害時，可以加以控制；②混沌對于系統運作有利時，創(chuàng)造條件使之產生特定的混沌軌道。對于很多經濟管理系統，混沌對系統的運行都是有害的。所以，要根據系統自身的特性采用有效的方法抑制混沌。

目前，對混沌的控制主要通過以下兩種方法：①通過對參數的修改來實現對混沌系統的控制；②通過系統狀態(tài)變量的修改來抑制混沌的發(fā)生。OGY方法是最早被提出用于抑制混沌的發(fā)生，Ditto等（1990）通過實驗驗證了OGY方法的有效性和不足之處。Ott、Grebogi與Romeras，Daywansa在Ditto、Rouseot和Span的基礎上對OGY方法做了改進。許多學者相繼提出了一系列混沌控制方法，如參數周期擾動法、周期激勵法、OPF控制法、連續(xù)反饋控制法、自適應控制法等。

結合本書所使用的對經濟系統的混沌控制方法，主要介紹以下三種控制方法。

1．變量反饋控制法

以離散動力系統為例，設原系統為

加入控制策略后受控系統為

k的取值范圍較大，為了使系統回到穩(wěn)定狀態(tài)，需要適當地選擇k值。

2．狀態(tài)反饋和參數調整控制法

以離散系統為例來分析非線性動力系統的控制過程，系統如公式（2-14）

其中，x_k∈Rⁿ，k∈z，μ∈R是分岔參數。受控系統為

其中，0<α<1，m為某個正整數，f^m（·）是映射f（·）的m次復合函數。選擇適當的控制參數α可以控制給定周期軌道的穩(wěn)定性，鎮(zhèn)定混沌吸引子中的不穩(wěn)定周期軌道。

在這里，考慮m=1時系統（2-14）的穩(wěn)定性控制條件，原系統在不動點處的線性化矩陣為

不動點x^?穩(wěn)定的條件為：j₁的所有特征值｜λ_i｜<1，i=1，2，…，n。可以得到x^?穩(wěn)定時分岔參數μ的取值范圍。

系統（2-15）在x^?處的線性化矩陣為

由于j₂中引入了調節(jié)參數α，只要選擇適當的α值，就可以確保在失穩(wěn)的不動點的μ值范圍內，也可滿足j₂的所有特征值｜λ_i｜<1，i=1，2，…，n，從而使不動點在更大的參數范圍內保持穩(wěn)定，延遲分岔和混沌現象的發(fā)生。

3．延遲反饋控制法

延遲反饋控制法的主要思想是讓特定軌道的輸出信號經過延遲時間后再輸入到系統中，作為延遲反饋控制的信號。延遲反饋控制的形式為：F（t）=K[y（t-τ）-y（t）]=KD（t），其中，τ為延遲長度，K為反饋控制因子。通過調節(jié)K和D（t）可以使系統的李雅普指數小于零，達到混沌控制的目的。當y（t-τ）-y（t）=0，則F（t）=0，不穩(wěn)定系統軌道變成穩(wěn)定軌道，而且沒有改變系統的均衡解。延遲反饋控制法簡單易行，在本書中用來對風險規(guī)避型供應鏈的博弈模型的混沌軌道進行控制，使用非線性控制方法對二維離散混沌系統進行混沌控制。下面考慮一般的離散混沌系統為

狀態(tài)變量為，非線性反饋控制為u，其中，ε為反饋系數，{x_i}為特定的不穩(wěn)定周期軌道，p為要控制的軌道數。被控制后的系統為

調整反饋系數ε，可以將系統穩(wěn)定在固定點或其他任意的周期軌道上。