8.5 離散控制系統(tǒng)的性能分析

與連續(xù)控制系統(tǒng)一樣，離散控制系統(tǒng)的性能分析也包括三個方面：穩(wěn)定性、動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，并且許多離散控制系統(tǒng)的分析方法與連續(xù)控制系統(tǒng)所用的方法類似。

8.5.1 穩(wěn)定性

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性是在z域進行分析的。為了把連續(xù)系統(tǒng)在s平面上分析穩(wěn)定性的結(jié)論移植到在z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先需要研究s平面與z平面的映射關(guān)系，然后討論離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。根據(jù)離散系統(tǒng)本身的特點，還將給出直接在z平面上應(yīng)用的朱利判據(jù)。

1.s平面與z平面的映射關(guān)系

在z變換定義中，已經(jīng)給出了復(fù)變量s和z之間的關(guān)系z=e^Ts，其中T為采樣周期。設(shè)s=σ+jω，映射到z域則為

式中，|z|=eσ^T為z的模；∠z=ωT為z的相角。由式（8-47）可知，s平面上頻率相差為采樣角頻率ω_s=2π/T整數(shù)倍的零、極點映射到z平面上的同一位置。這表明，每一個z值對應(yīng)著無限多個s值。

令σ=0，相當于取s平面的虛軸，對應(yīng)有|z|=1，即s平面的虛軸映射到z平面的單位圓。在左半s平面上的點，σ<0，對應(yīng)有|z|<1，映射到z平面的單位內(nèi)；反之，右半s平面上的點映射到z平面的單位外。

在s平面上的點，當角頻率ω從-∞變到∞時，映射到z平面上的點的相角∠z=ωT從-∞變到∞。當s平面上的點沿虛軸從-j∞移動到j(luò)∞時，z平面上的相應(yīng)點將沿著單位圓逆時針轉(zhuǎn)過無窮多圈。這是因為當s平面上的點沿虛軸從-jω_s/2移動到j(luò)ω_s/2時，其中ω_s為采樣角頻率，z平面上的相應(yīng)點沿單位圓從-π逆時針變化到π，正好轉(zhuǎn)了一圈；而當s平面上的點在虛軸上從jω_s/2移動到j(luò)3ω_s/2時，z平面上的相應(yīng)點又將逆時針沿單位圓轉(zhuǎn)過一圈。依此類推，s平面到z平面的映射關(guān)系如圖8-18所示。由圖可見，可以把對應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域的左半s平面劃分為無窮多條平行于實軸的周期頻帶，其中ω從-ω_s/2到ω_s/2的頻帶稱為主頻帶，其余的頻帶稱為次頻帶。左半s平面上主頻帶內(nèi)的點映射到z平面的單位圓內(nèi)，而左半s平面上每一條次頻帶內(nèi)的點均重復(fù)映射到z平面的單位圓內(nèi)。

圖8-18 s平面到z平面的映射關(guān)系

在離散系統(tǒng)中，根據(jù)采樣定理，如果采樣頻率大于連續(xù)信號最高頻率的兩倍，表明連續(xù)信號的頻率范圍在主頻帶之內(nèi)，則z平面單位圓內(nèi)的點對應(yīng)左半s平面上主頻帶內(nèi)的點。因此，在分析和設(shè)計系統(tǒng)時，只考慮主頻帶就可以了。

下面研究在s平面上常用的等值線，特別是等衰減系數(shù)線、等阻尼振蕩頻率以及等阻尼比線，在z平面上的映射。

（1）等衰減系數(shù)線

等衰減系數(shù)（σ為常數(shù)）線從s平面映射到z平面上以原點為圓心，以z=eσ^T為半徑的圓，如圖8-19所示。左半s平面上的等σ線映射為z平面上單位圓內(nèi)的同心圓；右半s平面上的等σ線映射為z平面上單位圓外的同心圓。

（2）等阻尼振蕩頻率線

等阻尼振蕩頻率（ω為常數(shù)）線在s平面上為水平線，映射到z平面上的軌跡是一簇從原點出發(fā)的射線，這些射線與正實軸的夾角∠z=ωT與采樣周期T有關(guān)，如圖8-20所示。在s平面上ω=-ω_s/2和ω=ω_s/2的水平線，都映射到z平面上的負實軸。

圖8-19 等衰減系數(shù)線的映射關(guān)系

圖8-20 等阻尼振蕩頻率線的映射關(guān)系

（3）等阻尼比線

取s平面上的點，式中，那么在z平面上有

于是，可得

因此，當ω_d增加時，z的幅值減小而z的相角隨ω_d線性增加，左半s平面上的等阻尼比（ζ為常數(shù)）線映射為z平面上單位圓內(nèi)一簇收斂的對數(shù)螺旋線。圖8-21所示為ζ=0.5的一條等阻尼比線，當ω_d從0變化到ω_s/4再變化到ω_s/2時，z平面上的點從正實軸上z=1的點變化到虛軸上的點再變化到負實軸上的點。

圖8-21 等阻尼比線的映射關(guān)系

2.離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

設(shè)線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ（z）無重極點，可以表示為

式中，M（z）為分子多項式，其階數(shù)為m；D（z）為分母多項式，又叫特征多項式，其階數(shù)為n；M（z）=0的根z_i（i=1，2，…，m）為系統(tǒng)的閉環(huán)零點；D（z）=0為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，它的根p_j（j=1，2，…，n）為系統(tǒng)的特征根，即系統(tǒng)的閉環(huán)極點。

當系統(tǒng)的輸入函數(shù)為單位脈沖函數(shù)時，有r（t）=δ（t），R（z）=1，則C（z）可展開為

對上式求z反變換，可以求得系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列為

當|p_j|<1（j=1，2，…，n）時，必有，即系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列收斂，則系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，線性時不變離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當且僅當線性時不變離散系統(tǒng)的全部特征根均分布在z平面上的單位圓內(nèi)，或者所有特征根的模均小于1，即|p_j|<1（j=1，2，…，n），相應(yīng)的線性時不變離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

應(yīng)當指出，一個單極點，若位于z=1或z=-1處（或者一個單極點位于z=1，而另一個單極點位于z=-1處），則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。假如是一對共軛復(fù)數(shù)極點位于z平面的單位圓上，系統(tǒng)也處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。位于單位圓上的任何閉環(huán)重極點將使系統(tǒng)不穩(wěn)定。單位圓外的任何閉環(huán)極點，都使得系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)零點不影響穩(wěn)定性，因而可以位于z平面上任何地方。

3.雙線性變換與勞斯穩(wěn)定判據(jù)

在連續(xù)系統(tǒng)中，勞斯穩(wěn)定判據(jù)能夠判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在左半s平面，從而確定系統(tǒng)穩(wěn)定性。但是，在離散系統(tǒng)中，需要判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在z平面上的單位圓內(nèi)。因此，連續(xù)系統(tǒng)中的勞斯判據(jù)不能直接用于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷。為了能夠應(yīng)用勞斯判據(jù)來判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，引入一種雙線性變換——w變換，將z平面映射到w平面。

取雙線性變換為

則有

令復(fù)變量z=x+jy和w=u+jv，代入式（8-49），得

顯然

因此，u=0等價于x²+y²=1，表明z平面的單位圓映射到w平面的虛軸；u<0等價于x²+y²<1，表明z平面的單位圓內(nèi)映射到w平面的左半平面；u>0等價于x²+y²>1，表明z平面的單位圓外映射到w平面的右半平面。z平面和w平面的映射關(guān)系如圖8-22所示。

圖8-22 z平面與w平面的映射關(guān)系

通過式（8-48），可將線性時不變離散系統(tǒng)在z平面上的特征方程D（z）=1+G（z）=0轉(zhuǎn)換成在w平面上的特征方程D（w）=1+G（w）=0。于是，離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，由特征方程D（z）=1+G（z）=0的所有根位于z平面上的單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn)換為特征方程D（w）=1+G（w）=0的所有根位于左半w平面。因此，與在s平面上應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)的情況一樣，根據(jù)在w域中特征方程的系數(shù)，就可以應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并相應(yīng)地稱為w域勞斯穩(wěn)定判據(jù)。

例8-18 設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖8-23所示，當采樣周期分別為T=1s和T=0.5s時，試求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

圖8-23 閉環(huán)離散系統(tǒng)

解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

相應(yīng)的閉環(huán)特征方程為

D（z）=1+G（z）=0

當T=1s時，有

D（z）=z²+（0.368K-1.368）z+（0.264K+0.368）=0

對上式進行w變換，整理得w域特征方程為

D（w）=0.632Kw²+（1.264-0.528K）w+（0.264K+0.368）=0

根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有

則使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為0<K<2.4。

當T=0.5s時，可得w域特征方程為

D（w）=0.197Kw²+（0.786-0.18K）w+（3.124K-0.017）=0

系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為

所以，使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為0<K<4.37。

由例8-18可知，開環(huán)增益K與采樣周期T都對離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性有影響。當采樣周期一定時，加大開環(huán)增益會使離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定；當開環(huán)增益一定時，采樣周期越長，丟失的信息越多，對離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性越不利，甚至可使系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。

4.朱利穩(wěn)定判據(jù)

將勞斯穩(wěn)定判據(jù)用來判定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要進行雙線性變換，計算量較大。另一種判定離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)——朱利判據(jù)，計算量較小，并且它是直接在z域內(nèi)應(yīng)用的穩(wěn)定性判據(jù)。朱利判據(jù)根據(jù)離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程D（z）=0的系數(shù)，判別其根是否全部位于z平面上的單位圓內(nèi)，從而判斷該離散系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

設(shè)線性時不變離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

利用特征方程的系數(shù)構(gòu)造（2n-3）行、（n+1）列朱利陣列表，見表8-4。

表8-4 朱利陣列表

在朱利陣列表中，第一行元素由按z的升冪排列的特征方程的系數(shù)組成。第二行元素由按z的降冪排列的特征方程的系數(shù)組成。第3行至第（2n-3）行元素，則按下列各式確定：

應(yīng)當注意，表中最后一行由三個元素組成（對于二階系統(tǒng)，2n-3=1，因而朱利陣列表只有由三個元素構(gòu)成的一行）。任一偶數(shù)行的元素只是前一奇數(shù)行的元素的逆序排列。

朱利穩(wěn)定判據(jù)：線性時不變離散系統(tǒng)穩(wěn)定，即式（8-50）的閉環(huán)特征方程的根全部位于z平面上的單位圓內(nèi)的充分必要條件為

D（1）>0， （-1）ⁿD（-1）>0

以及滿足下列（n-1）個約束條件

|a_n|<a₀，|b_n-1|>|b₀|，|c_n-2|>|c₀|，…，|q₂|>|q₀|

只有當上述諸條件都滿足時，離散系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例8-19 已知離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

D（z）=z⁴-1.2z³+0.07z²+0.3z-0.08=0

試用朱利判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：首先檢驗特征方程條件

D（1）=0.09>0， （-1）ⁿD（-1）=1.89>0

上述條件滿足穩(wěn)定性要求。由所給特征方程可知n=4，2n-3=5，所以朱利陣列有5行5列，見表8-5。特征方程的系數(shù)為a₀=1，a₁=-1.2，a₂=0.07，a₃=0.3，a₄=-0.08，于是可以計算朱利陣列表中的元素并構(gòu)造朱利陣列表如下：

表8-5 例8-19系統(tǒng)的朱利陣列表

由朱利陣列表可得|a₄|=0.08，|b₃|=0.994，|c₂|=0.946，|a₀|=1，|b₀|=0.204，|c₀|=0.315，滿足3個約束條件|a₄|<a₀，|b₃|>|b₀|，|c₂|>|c₀|。根據(jù)朱利穩(wěn)定判據(jù)可以判定離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，所給特征方程的全部根都位于z平面中的單位圓內(nèi)。

8.5.2 動態(tài)性能

工程上，不僅要求系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而且還希望系統(tǒng)具有良好的動態(tài)品質(zhì)。應(yīng)用z變換法分析線性時不變離散系統(tǒng)的動態(tài)性能，通常有時域法、根軌跡法和頻域法，其中時域法最簡便。如果已知離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，通過遞推法或者z變換法可以求出在典型給定輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。與線性時不變連續(xù)控制系統(tǒng)類似，線性時不變離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點在z平面上的分布對動態(tài)響應(yīng)特性起著決定性的作用。因此，本節(jié)主要介紹在z平面上定性分析離散系統(tǒng)閉環(huán)極點與其動態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系，以及動態(tài)性能的分析、計算方法。

1.閉環(huán)極點與動態(tài)響應(yīng)的關(guān)系

設(shè)線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

為了便于討論，假定Φ（z）無重極點，這不失一般性。

當系統(tǒng)的輸入函數(shù)為單位階躍函數(shù)時，有r（t）=1（t），R（z）=z/（z-1），則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的z變換為

將C（z）/z展開成部分分式，有

式中，

于是，

對上式求z反變換，可以求得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)序列為

式中，為單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量；單位階躍響應(yīng)的瞬態(tài)分量為

瞬態(tài)響應(yīng)分量的特性與閉環(huán)極點在z平面上的位置有關(guān)。下面分幾種情況來討論。

（1）實數(shù)極點

當p_j位于實軸上時，對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量為

1）若0<p_j<1，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓內(nèi)的正實軸上，瞬態(tài)響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律單調(diào)收斂的脈沖序列，且p_j越接近原點（即p_j值越?。?，收斂越快。

2）若p_j=1，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓與正實軸的交點，瞬態(tài)響應(yīng)是等幅值的脈沖序列。

3）若p_j>1，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓外的正實軸上，瞬態(tài)響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律單調(diào)發(fā)散的脈沖序列。

4）若-1<p_j<0，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓內(nèi)的負實軸上，瞬態(tài)響應(yīng)是正負交替振蕩的收斂脈沖序列，振蕩頻率為采樣頻率的一半。

5）若p_j=-1，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓與負實軸的交點，瞬態(tài)響應(yīng)是正負交替振蕩的等幅脈沖序列，振蕩頻率為采樣頻率的一半。

6）若p_j<-1，閉環(huán)極點位于z平面上單位圓外的負實軸上，瞬態(tài)響應(yīng)是正負交替振蕩的發(fā)散脈沖序列，振蕩頻率為采樣頻率的一半。

閉環(huán)實極點分布與相應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)形式，如圖8-24所示。

圖8-24 閉環(huán)實極點分布與相應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)形式

（2）共軛復(fù)數(shù)極點

如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點為一對共軛復(fù)數(shù)極點，有，|p_j|為共軛復(fù)數(shù)極點p_j的模，θ_j為共軛復(fù)數(shù)極點p_j的相角。由式（8-51）可知，一對共軛復(fù)數(shù)極點對應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)分量為

式中，a_j和a_j+1也是共軛復(fù)數(shù)，有。對上式取z反變換，可得瞬態(tài)響應(yīng)分量為

1）若|p_j|<1，共軛復(fù)數(shù)極點位于z平面的單位圓內(nèi)，瞬態(tài)響應(yīng)為衰減振蕩的脈沖序列，振蕩角頻率為θ_j/T。復(fù)數(shù)極點越靠近原點，瞬態(tài)響應(yīng)衰減越快。

2）若|p_j|=1，共軛復(fù)數(shù)極點位于z平面的單位圓上，瞬態(tài)響應(yīng)為等幅振蕩的脈沖序列。

3）若|p_j|>1，共軛復(fù)數(shù)極點位于z平面的單位圓外，瞬態(tài)響應(yīng)為振蕩發(fā)散的脈沖序列。

閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點分布與相應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)形式，如圖8-25所示。

圖8-25 閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點分布與相應(yīng)的瞬態(tài)響應(yīng)形式

綜上所述，離散系統(tǒng)閉環(huán)極點在z平面上的位置決定相應(yīng)動態(tài)響應(yīng)分量的性質(zhì)和特點。當閉環(huán)極點位于z平面的單位圓內(nèi)時，離散系統(tǒng)穩(wěn)定，相應(yīng)動態(tài)響應(yīng)分量為衰減的脈沖序列，而且極點越靠近原點，衰減越快。當閉環(huán)極點位于z平面的左半單位圓內(nèi)時，由于輸出衰減脈沖序列高頻振蕩甚至正負交替振蕩，故動態(tài)響應(yīng)的性能欠佳。為了使線性時不變離散控制系統(tǒng)具有比較滿意的動態(tài)性能，在離散控制系統(tǒng)設(shè)計時，應(yīng)將閉環(huán)極點配置在z平面的右半單位圓內(nèi)，盡量靠近坐標原點且閉環(huán)極點的相角要適中。當閉環(huán)極點位于z平面的單位圓外時，相應(yīng)動態(tài)響應(yīng)分量是發(fā)散的，這就意味著閉環(huán)離散控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2.動態(tài)性能分析

在已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)的情況下，應(yīng)用z變換法分析系統(tǒng)動態(tài)性能時，通常假定外作用為單位階躍函數(shù)1（t）。利用z反變換可以很方便地求得線性時不變離散系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的動態(tài)響應(yīng)。由于離散系統(tǒng)時域指標的定義與連續(xù)系統(tǒng)相同，故根據(jù)求得的單位階躍響應(yīng)曲線可以對離散系統(tǒng)的動態(tài)性能進行定性分析和定量估算。

例8-20 設(shè)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖8-23所示，采樣周期為T=1s，K=1，試分析r（t）=1（t）時系統(tǒng)的動態(tài)性能。

解：可求得系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

則系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

將R（z）=z/（z-1）代入上式，得離散系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的z變換為

利用長除法將C（z）展開成冪級數(shù)

進行z反變換，得

根據(jù)上式中輸出信號在各采樣時刻的值，可繪出離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c^?（t），如圖8-26中“”所示。由圖可求得離散系統(tǒng)近似的性能指標為：上升時間t_r=2s，峰值時間t_p=4s，調(diào)節(jié)時間t_s=12s，超調(diào)量σ_p%=40%。應(yīng)當指出，離散系統(tǒng)的時域性能指標只能按采樣點上的值來計算，所以是近似的。

圖8-26同時繪出了相應(yīng)無零階保持器時離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)序列（圖中“+”所示）和連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)（圖中實線所示）。可以看出，在相同條件下，由于采樣損失了信息，與連續(xù)系統(tǒng)相比，離散系統(tǒng)的動態(tài)性能會有所降低。由于零階保持器相當于延遲半拍的延遲環(huán)節(jié)，所以相對于無零階保持器的離散系統(tǒng)，理論上其相位裕度會降低，穩(wěn)定程度和動態(tài)性能會變差。但在實際系統(tǒng)中，用脈沖序列直接驅(qū)動被控對象是不合適的，一般都要經(jīng)過零階保持器，用連續(xù)的模擬量控制被控對象。

圖8-26 連續(xù)與離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

圖8-26的計算及繪制程序：prog81.m

clear;clc;

num=[1];den=[110];T=1;

[numdh,dendh]=c2dm（num,den,T,'zoh'）;gh=feedback（tf（numdh,dendh,T）,1,-1）;

[y,t]=step（gh,20）;plot（t,y,'b--o'）;

[numds,dends]=c2dm（num,den,T,'imp'）;gs=feedback（tf（numds,dends,T）,1,-1）;

[y,t]=step（gs,20）;hold on;plot（t,y,'r-.+'）;hold off;

gc=feedback（tf（num,den）,1,-1）;

[y,t]=step（gc,20）;hold on;plot（t,y,'k-'）;hold off;

legend（'有零階保持器','無零階保持器','連續(xù)系統(tǒng)'）;

8.5.3 穩(wěn)態(tài)誤差

類似于線性時不變連續(xù)控制系統(tǒng)，一個線性時不變離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能也是用系統(tǒng)在外部輸入作用下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差來評價的。要研究離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，必須首先判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，只有穩(wěn)定的系統(tǒng)才存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在這種情況下研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能才有意義。

1.離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

由于離散控制系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)圖形式，所以無法給出誤差脈沖傳遞函數(shù)Φ_e（z）的一般計算公式。設(shè)單位反饋離散控制系統(tǒng)如圖8-27所示，可以求得系統(tǒng)的誤差采樣信號的z變換為

E（z）=R（z）-C（z）=[1-Φ（z）]R（z）=Φ_e（z）R（z）

式中，誤差脈沖傳遞函數(shù)Φ_e（z）可以表示為

如果Φ_e（z）的極點全部位于z平面的單位圓內(nèi)，即離散控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則可用z變換的終值定理求出系統(tǒng)的誤差采樣信號的穩(wěn)態(tài)值，即穩(wěn)態(tài)誤差

圖8-27 單位反饋離散控制系統(tǒng)

例8-21 設(shè)離散控制系統(tǒng)如圖8-27所示，其中G（s）=1/[s（0.1s+1）]，采樣周期T=0.1s，輸入連續(xù)信號r（t）分別為1（t）和t，試求離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：求出系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

于是，系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為

可以求得系統(tǒng)的閉環(huán)極點為z_1，2=0.368±j0.482，全部位于z平面的單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。因此可以應(yīng)用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差。

當r（t）=1（t）時，有R（z）=z/（z-1），則由式（8-53）求得

當r（t）=t時，有R（z）=Tz/（z-1）²，則由式（8-53）求得

如果希望求出其他結(jié)構(gòu)形式離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者求離散控制系統(tǒng)在擾動信號作用下的穩(wěn)定誤差，只要求出誤差信號的z變換表達式，在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，同樣可以應(yīng)用z變換的終值定理計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

2.靜態(tài)誤差系數(shù)法

由z變換算子z=e^Ts可知，如果開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）有一個s=0的極點，即一個積分環(huán)節(jié)，則與G（s）相應(yīng)的G（z）必有一個z=1的極點。在連續(xù)系統(tǒng)中，把開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）具有s=0的極點個數(shù)作為劃分系統(tǒng)型別的標準。因此，在離散系統(tǒng)中，也可以把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G（z）具有z=1的極點個數(shù)ν，作為劃分離散系統(tǒng)型別的標準。類似地，把G（z）中ν=0，1，2，…的系統(tǒng)，稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型…離散系統(tǒng)等。

下面在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下討論圖8-27所示的不同型別的離散系統(tǒng)在三種典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，并建立離散系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)的概念。

（1）階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

當給定輸入信號為階躍函數(shù)r（t）=R·1（t）時，有R（z）=Rz/（z-1），由式（8-53）得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

式中，

稱為離散系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對于0型離散系統(tǒng)，G（z）沒有z=1的極點，由式（8-55）可知K_p為有限值，則由式（8-54）可計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差且為有限值；對于Ⅰ型或Ⅰ型以上的離散系統(tǒng)，G（z）有一個或一個以上z=1的極點，由式（8-55）可得K_p=∞，則由式（8-54）可計算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e_ss=0，即在階躍函數(shù)作用下離散系統(tǒng)沒有穩(wěn)態(tài)誤差。

（2）斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

當給定輸入信號為斜坡函數(shù)r（t）=Rt時，有R（z）=RTz/（z-1）²，由式（8-53）得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

式中，

稱為離散系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)。由式（8-56）和式（8-57）可分析不同型別的離散系統(tǒng)在斜坡函數(shù)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。對于0型離散系統(tǒng)，K_v=0，求得e_ss=∞；對于Ⅰ型離散系統(tǒng)，K_v為有限值，則由式（8-56）可計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差e_ss且為有限值；對于Ⅱ型或Ⅱ型以上的離散系統(tǒng)，可得K_v=∞，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e_ss=0，即在斜坡函數(shù)作用下離散系統(tǒng)沒有穩(wěn)態(tài)誤差。

（3）加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

當給定輸入信號為加速度函數(shù)r（t）=Rt²/2時，有R（z）=RT²z（z+1）/[2（z-1）³]，由式（8-53）得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

式中，

稱為離散系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。由式（8-58）和式（8-59）可分析不同型別的離散系統(tǒng)在加速度函數(shù)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。對于0型和Ⅰ型離散系統(tǒng)，K_a=0，求得e_ss=∞；對于Ⅱ型離散系統(tǒng)，K_a為有限值，由式（8-58）可計算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)位置誤差e_ss且為有限值；對于Ⅲ型或Ⅲ型以上的離散系統(tǒng)，可得K_a=∞，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差e_ss=0，即在加速度函數(shù)作用下離散系統(tǒng)沒有穩(wěn)態(tài)誤差。

對于圖8-27所示的單位反饋離散控制系統(tǒng)，不同型別的系統(tǒng)在三種典型輸入信號作用下的靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差見表8-6。

表8-6 單位反饋離散控制系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差

由以上的討論可知，線性時不變離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不但與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與輸入信號的形式及大小有關(guān)。此外，由于G（z）還與采樣周期T有關(guān)，多數(shù)典型輸入信號R（z）也與T有關(guān)，因此，離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周期的選取也有關(guān)。

圖8-28 閉環(huán)離散系統(tǒng)

例8-22 設(shè)離散系統(tǒng)如圖8-28所示，采樣周期為T=0.2s，當輸入信號r（t）=3+4t+t²時，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解：求出系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

將T=0.2s代入上式可得

相應(yīng)的閉環(huán)特征方程為

D（z）=（z-1）²+1.2z-0.8=z²-0.8z+0.2=0

可以求得系統(tǒng)的閉環(huán)極點為z_1，2=0.4±j0.2，全部位于z平面上的單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。離散系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)，于是有K_p=∞，K_v=∞，而

因此，當給定輸入信號r（t）=3+4t+t²時，由表8-6可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為