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書名：自動控制原理（下）
作者名：宋永端主編
本章字數： 4986字
更新時間： 2022-01-14 17:21:29

8.4 離散控制系統的數學模型

為了研究離散系統的性能，需要建立離散系統的數學模型。與連續系統的數學模型類似，在經典控制理論中，線性離散系統的數學模型主要采用差分方程和脈沖傳遞函數。本節主要介紹線性離散系統的差分方程及其解法，脈沖傳遞函數的基本概念，以及開環脈沖傳遞函數、閉環脈沖傳遞函數的求法。

8.4.1 差分方程

對于連續控制系統，輸入信號r（t）和輸出信號c（t）之間的關系是用描述系統運動的微分方程來描述的，微分方程則是由輸入信號r（t）和輸出信號c（t）及其各階導數構成的。在離散控制系統中，輸入信號和輸出信號都是離散信號，因此，只能用輸入脈沖序列r（kT）和輸出脈沖序列c（kT）及其各階差分所組成的差分方程來描述系統輸入信號及輸出信號之間的動態特性。為簡便起見，通常都省略掉采樣周期T，將r（kT）和c（kT）直接寫成r（k）和c（k）。

1.差分的定義

所謂差分，是指采樣信號在兩個相鄰采樣時刻的采樣值之差。取差分的方式有前向差分和后向差分兩種。如果當前時刻k的各階差分全部依賴于當前時刻k和未來時刻k+1、k+2、…的采樣值，則稱為前向差分；如果當前時刻k的各階差分全部依賴于當前時刻k和歷史時刻k-1、k-2、…的采樣值，則稱為后向差分。

設連續信號x（t）經采樣后的脈沖序列為x（kT），簡記為x（k）。一階前向差分定義為

Δx（k）=x（k+1）-x（k）

二階前向差分定義為

Δ²x（k）=Δx（k+1）-Δx（k）=x（k+2）-2x（k+1）+x（k）

n階前向差分定義為

Δⁿx（k）=Δⁿ^-1x（k+1）-Δⁿ^-1x（k）

同理，一階后向差分定義為

Δx（k）=x（k）-x（k-1）

二階后向差分定義為

Δ²x（k）=Δx（k）-Δx（k-1）=x（k）-2x（k-1）+x（k-2）

n階后向差分定義為

Δⁿx（k）=Δⁿ^-1x（k）-Δⁿ^-1x（k-1）

2.差分方程

線性時不變連續系統的數學模型可用下列微分方程表示

式中，r（t）、c（t）分別表示系統的輸入信號和輸出信號。對于式（8-34）進行離散化，即可將其化為離散系統的差分方程。

設系統的采樣周期為T，當T足夠小時，函數r（t）在t=kT處的一階導數近似為

同理，二階導數近似為

用同樣的方法，可以近似表示在t=kT處r（t）的其他各階導數以及c（t）的各階導數。因此，可得到用后向差分方程表示線性時不變離散系統的數學模型的一般表達式為

用前向差分方程表示線性時不變離散系統的數學模型的一般表達式為

式（8-35）和式（8-36）中，a_i（i=0，1，2，…，n）和b_j（j=0，1，2，…，m）均為常系數。式（8-35）和式（8-36）所表示的差分方程稱為n階線性常系數差分方程。

前向差分方程和后向差分方程并無本質區別，前向差分方程多用于描述非零初始條件下的離散系統，后向差分方程多用于描述零初始條件下的離散系統。若不考慮初始條件，就離散系統輸入變量和輸出變量之間的動態關系而言，兩種差分方程形式完全等價。

3.差分方程的求解

線性常系數差分方程的求解通常采用迭代法和z變換法。

（1）迭代法

已知離散系統的差分方程，并且給定輸出序列的初值，則可以遞推計算出輸出序列。

例8-10 已知下列二階差分方程

c（k）-5c（k-1）+6c（k-2）=r（k）

并且給定輸入序列r（k）=1，初始條件為c（0）=0，c（1）=1。試用迭代法求輸出序列c（k）（k=0，1，2，…，10）。

解：由給定的差分方程可得遞推關系

c（k）=r（k）+5c（k-1）-6c（k-2）

則根據初始條件及遞推關系，求得

（2）z變換法

用z變換法求解差分方程，完全類似于用拉普拉斯變換法求解微分方程的方法。如果已知線性時不變差分方程，則具體方法就是對差分方程兩端取z變換，并利用z變換的實數位移定理，將差分方程變成以z為變量的代數方程，再根據初始條件和給定輸入信號z變換表達式，求得輸出信號的z變換表達式，然后取z反變換，即可求得輸出序列c（k）。

例8-11 已知下列二階差分方程

c^?（t+2T）+3c^?（t+T）+2c^?（t）=0

或 c（k+2）+3c（k+1）+2c（k）=0

初始條件為c（0）=0，c（1）=1。試用z變換法求解。

解：根據實數位移定理，對差分方程的每一項進行z變換，得

Z[c（k+2）]=z²C（z）-z²c（0）-zc（1）

Z[3c（k+1）]=3zC（z）-3zc（0）

Z[2c（k）]=2C（z）

將以上各式及初始條件代入給定的差分方程中，得到如下代數方程

（z²+3z+2）C（z）=z

解出

查z變換表，得C（z）的z反變換為

或寫成 c（k）=（-1）^k-（-2）^k （k=0，1，2，…）

8.4.2 脈沖傳遞函數

在離散控制系統中，采用z變換，可以求解線性常系數差分方程，來研究離散控制系統的動態性能。但是，如果把z變換的作用僅僅理解為求解線性常系數差分方程，顯然是不夠的。z變換更為重要的意義在于導出線性離散系統的脈沖傳遞函數，這給線性離散系統的分析和綜合帶來極大的方便。

1.脈沖傳遞函數的定義

設線性時不變離散系統的差分方程的一般表達式為

a₀c（k）+a₁c（k-1）+a₂c（k-2）+…+a_n_-1c（k-n+1）+a_nc（k-n）=b₀r（k）+b₁r（k-1）+…+b_m_-1r（k-m+1）+b_mr（k-m）

如果當t<0時，輸入脈沖序列各采樣值r（-T）、r（-2T）、…以及輸出脈沖序列各采樣值c（-T）、c（-2T）、…均為零，即零初始條件，則在零初始條件下對上式兩邊取z變換，經整理后可以得到

稱G（z）為線性時不變離散系統的脈沖傳遞函數，或叫作z傳遞函數。

基于以上的討論，線性時不變離散系統的脈沖傳遞函數的定義為：在零初始條件下，系統輸出脈沖序列c（k）的z變換C（z）與輸入脈沖序列r（k）的z變換R（z）之比，即

脈沖傳遞函數在離散系統的結構圖上的表示如圖8-10所示，圖中，T為采樣周期。然而，對大多數實際系統來說，其輸出往往是連續信號c（t），而不是采樣信號c^?（t），如圖8-11所示。此時，可以在系統輸出端虛設一個理想采樣開關，如圖中虛線所示，它與輸入信號的采樣開關同步工作，并具有相同的采樣周期。如果系統的實際輸出c（t）比較平滑，且采樣頻率較高，則可用c^?（t）近似描述c（t）。必須指出，虛設的采樣開關是不存在的，它表明了脈沖傳遞函數只能描述輸出連續函數c（t）在采樣時刻上的離散值c^?（t）。

圖8-10 離散系統的結構圖

圖8-11 實際離散系統的結構圖

2.脈沖傳遞函數的物理意義

線性時不變離散系統如圖8-11所示，當輸入信號為單位脈沖函數δ（t）時，其輸出即為系統的單位脈沖響應g（t），或稱沖擊響應，又稱脈沖過渡函數；如果輸入信號為δ（t-a），則系統的輸出為g（t-a）。現假設輸入信號為r（t），經采樣后為一脈沖序列，即

式中，r（0），r（T），r（2T），… 對應各采樣時刻t=0，T，2T，… 的脈沖強度。根據疊加原理，輸出量c（t）為一系列脈沖響應之和，即

由于當t<0時，g（t）=0，所以當n>k時，g（kT-nT）=0。于是，當t=kT時，輸出脈沖序列為

根據上式及z變換的定義，可得輸出量c（t）的z變換C（z）為

在上式的最后一個等式右端的兩項中，第一項對應輸入信號r^?（t）的z變換R（z），第二項對應單位脈沖響應函數g^?（t）的z變換G（z）。因此，上式可以寫成

C（z）=R（z）G（z）

脈沖傳遞函數為

由式（8-39）可知，脈沖傳遞函數的物理意義為：脈沖傳遞函數G（z）是系統脈沖過渡函數g（t）經采樣后g^?（t）的z變換。

3.脈沖傳遞函數的求法

根據脈沖傳遞函數的定義或脈沖傳遞函數的物理意義，可得到求取脈沖傳遞函數的兩種方法：①由差分方程求脈沖傳遞函數；②由傳遞函數G（s）求脈沖傳遞函數G（z）。

例8-12 已知離散系統的差分方程為

c（k+2）-2c（k+1）+c（k）=Tr（k+1）

試求脈沖傳遞函數G（z）。

解：令c（1）=c（0）=0，r（0）=0，利用實數位移定理，對差分方程兩端取z變換，得

（z²-2z+1）C（z）=TzR（z）

則有

例8-13 已知開環離散系統連續部分的傳遞函數為

試求對應的脈沖傳遞函數G（z）。

解：將G（s）展開為部分分式

查z變換表，得G（s）的z變換為

8.4.3 離散控制系統的動態結構圖

離散系統的結構圖與連續系統的繪制方法基本相同，其差別僅在于某些位置增加了采樣開關。由于脈沖傳遞函數的定義和傳遞函數的定義在形式上完全相同，因此在進行結構圖的簡化變換時，所遵循的等效原則是一致的，即變換前后信號要完全等效。但由于系統中連續信號和離散信號并存，簡化法則不再與連續系統相一致。由于采樣開關的數目和位置不同，化簡后求出的脈沖傳遞函數也會截然不同。

1.開環系統的脈沖傳遞函數

當開環離散系統由幾個環節串聯組成時，其脈沖傳遞函數的求法與連續系統情況不完全相同。即使兩個開環離散系統的組成環節完全相同，但由于采樣開關的數目和位置不同，求出的開環脈沖傳遞函數也不相同。

（1）串聯環節的脈沖傳遞函數

1）環節間有采樣開關隔開的情況。設開環離散系統如圖8-12a所示，在兩個串聯連續環節G₁（s）和G₂（s）之間有采樣開關隔開。根據脈沖傳遞函數的定義，考慮到離散信號d^?（t）的存在，由圖8-12a可得

式（8-40）表明，有采樣開關隔開的兩個線性連續環節串聯時的脈沖傳遞函數，等于這兩個環節各自的脈沖傳遞函數之積。這一結論，可以推廣到類似的n個環節相串聯時的情況。

2）環節間無采樣開關隔開的情況。設開環離散系統如圖8-12b所示，在兩個串聯連續環節G₁（s）和G₂（s）之間沒有采樣開關隔開。兩個串聯連續環節G₁（s）和G₂（s）可以簡化為一個連續環節G₁（s）G₂（s），于是開環系統的脈沖傳遞函數為

式（8-41）表明，沒有采樣開關隔開的兩個線性連續環節串聯時的脈沖傳遞函數，等于這兩個環節傳遞函數相乘后的相應z變換。這一結論也可以推廣到類似的n個環節相串聯時的情況。

圖8-12 環節串聯時的開環離散系統

例8-14 設開環離散系統如圖8-12a、b所示，其中G₁（s）=1/（s+a），G₂（s）=1/（s+b），試求系統的開環脈沖傳遞函數G（z）。

解：如圖8-12a所示，環節間有采樣開關隔開時，

如圖8-12b所示，環節間沒有采樣開關隔開時，

顯然，在串聯環節之間有無采樣開關隔離時，其總的脈沖傳遞函數是不相同的。但是，不同之處僅表現在其零點不同，極點仍然一樣。這也是離散系統特有的現象。

（2）有零階保持器時的開環脈沖傳遞函數

設有零階保持器的開環離散系統如圖8-13所示。圖中，G_h（s）為零階保持器的傳遞函數，G_p（s）為連續部分傳遞函數，兩個串聯環節之間無采樣開關隔離。由于G_h（s）不是s的有理分式函數，因此不便于直接用求串聯環節的脈沖傳遞函數的方法求開環系統脈沖傳遞函數。

圖8-13 帶零階保持器的開環離散系統

由圖8-13，將零階保持器與連續部分相串聯的傳遞函數寫成如下形式

式中，W（s）=G_p（s）/s，并注意到e^-^Ts為延遲一個采樣周期的延遲環節，則根據實數位移定理可得

由式（8-42）可得到求取有零階保持器時開環脈沖傳遞函數的一個很有用的結論：若W（s）所對應的z變換為W（z），則（1-e^-^Ts）W（s）所對應的z變換為（1-z^-1）W（z）。

（3）連續信號進入連續環節時開環離散系統的輸出表達式

設開環離散系統如圖8-14所示。當開環離散系統的輸入端無采樣開關時，連續的輸入信號r（t）就直接進入連續環節G₁（s），將求不出開環脈沖傳遞函數，而只能求得系統的輸出表達式C（z）。

由圖8-14可得

D（z）=Z[D（s）]=Z[G₁（s）R（s）]=G₁R（z）

則有

圖8-14 連續信號進入連續環節時的開環離散系統

2.閉環系統的脈沖傳遞函數

閉環系統的脈沖傳遞函數定義為：閉環離散控制系統輸出信號的z變換C（z）與輸入信號的z變換R（z）之比，即

應當注意，當連續的輸入信號直接進入連續環節時，將求不出閉環脈沖傳遞函數，只能求得系統的輸出表達式C（z）。

在離散系統中，由于采樣開關在系統中設置的不同，結構形式就不一樣，因此，閉環離散系統沒有唯一的典型結構圖形式，系統的閉環脈沖傳遞函數就沒有一般的計算公式，只能根據系統的實際結構具體地求取。

為了便于求出閉環脈沖傳遞函數，需要了解采樣函數拉普拉斯變換的基本關系式。

假設X（s）和Y（s）表示連續信號x（t）和y（t）的拉普拉斯變換，X^?（s）和Y^?（s）表示采樣信號x^?（t）和y^?（t）的拉普拉斯變換，則

由式（8-44）可知，若采樣函數的拉普拉斯變換Y^?（s）與連續函數的拉普拉斯變換X（s）相乘后再采樣，則Y^?（s）可以從采樣符號中提出來。

證明：根據式（8-4），有

而

于是

若令m=k+n，則由上式可得

式（8-46）表明，Y^?（s）是以采樣角頻率ω_s為周期的周期函數。將式（8-46）代入式（8-45），可得

求閉環脈沖傳遞函數的具體方法：選擇系統輸入變量和輸出變量，并取采樣開關輸入端的變量為中間變量。用s域象函數列寫方程組，然后對方程組中的各變量進行采樣后取z變換，消去中間變量，得到閉環脈沖傳遞函數或輸出表達式。注意：在列寫中間變量的s域象函數方程時，避免出現輸出連續函數的象函數C（s），以免無法得到閉環脈沖傳遞函數或輸出表達式。

例8-15 設閉環離散系統如圖8-15所示，試求系統的閉環脈沖傳遞函數。