8.3z變換

在線性連續控制系統中，以拉普拉斯變換作為數學工具，將系統的微分方程化為代數方程，建立系統的傳遞函數，可以非常方便地對系統進行分析和設計。與此相似，在線性離散控制系統中，應用z變換將描述系統的線性差分方程轉化為代數方程，建立系統的脈沖傳遞函數，從而對系統進行分析和設計。因此，z變換是研究線性離散控制系統的重要數學工具。

8.3.1z變換的定義

設連續信號x（t）存在拉普拉斯變換，其象函數為X（s）。x（t）經過等速采樣后，得到離散信號x^?（t），由式（8-2）可知其表達式為

式中，T為采樣周期。對上式表示的脈沖序列進行拉普拉斯變換，可得采樣函數

式（8-13）最后一個等式中每一項均含有復變量s的指數函數e^Ts，直接運算不方便。若引入復變量

則式（8-13）可寫成以z為自變量的函數

式（8-15）為離散信號x^?（t）的z變換的定義式。Z[x^?（t）]表示離散信號x^?（t）的z變換，記為X（z）。通過引入復變量z，將采樣函數拉普拉斯變換的表達式轉換為z的冪級數形式。

z變換，又稱為采樣拉普拉斯變換，它是從拉普拉斯變換直接引申出來的變換方法，它實際上是采樣函數拉普拉斯變換的一種變形。對一連續函數x（t）取z變換，只考慮這個函數在采樣時刻的采樣值，即時間序列x（0），x（T），x（2T），…。也就是說

X（z）=Z[x^?（t）]=Z[x（t）]=Z[x（kT）]=Z[X（s）]=Z[X^?（s）]

都表示對離散信號x^?（t）的z變換。

8.3.2z變換的方法

常用的z變換方法有級數求和法、部分分式法和留數計算法。

1.級數求和法

根據z變換的定義，將式（8-15）寫成級數展開式

顯然，只要知道連續函數x（t）在各采樣時刻t=kT（k=0，1，2，…，∞）的采樣值x（kT），便可求得離散函數x^?（t）的z變換的級數展開形式。這種級數展開式是開放式的，如果不能寫成閉合式形式，實際應用就不方便。一些常用函數z變換的級數形式，都可以寫成閉合式形式。

例8-1 求單位階躍函數1（t）的z變換。

解：單位階躍函數在各采樣時刻的采樣值均為1，即1（kT）=1 （k=0，1，2，…，∞），由式（8-16）可得

若|z|>1，則上式的無窮級數是收斂的，利用等比級數求和公式可得對應的閉合式形式為

例8-2 求指數函數e^-at（a>0，t≥0）的z變換。

解：根據式（8-16）可得

若|z|>a，則無窮級數是收斂的，利用等比級數求和公式可得對應的閉合式形式為

2.部分分式法

利用部分分式法求z變換時，先求出已知連續函數x（t）的拉普拉斯變換X（s）。X（s）通常是s的有理分式，然后將其展開成部分分式之和的形式，使每一部分分式對應簡單的時間函數，再分別求出或查表得到每一項的z變換。最后作通分化簡運算，于是可方便地求出X（s）對應的z變換X（z）。

將X（s）展開成部分分式和的形式，即

式中，n為X（s）的極點個數；A_i為常系數；s_i為X（s）的極點。由拉普拉斯反變換可知A_i/（s-s_i）對應的原函數為，利用在例8-2中求得的指數函數的z變換，可得

因此，函數x（t）的z變換由象函數X（s）求得為

例8-3 已知連續函數x（t）的拉普拉斯變換，求對應的z變換X（z）。

解：將X（s）展開成如下部分分式

于是，與式（8-17）對照可知，A₁=1，A₂=-1，s₁=0，s₂=-a。根據式（8-18），可得連續函數x（t）的z變換

例8-4 已知連續函數x（t）=sinωt，求對應的z變換X（z）。

解：對x（t）取拉普拉斯變換，得

將X（s）展開成部分分式

根據式（8-18），可得

3.留數計算法

已知連續函數x（t）的拉普拉斯變換X（s）及其全部極點s_i（i=1，2，3，…，n），則其z變換可通過下列留數計算式求得，即

式中，s_i為X（s）的彼此不相等的極點；r_i為重極點s_i的階數；n為彼此不相等的極點個數。

例8-5 已知連續函數x（t）=t²，求對應的z變換X（z）。

解：x（t）的拉普拉斯變換為

由上式可知，n=1，s₁=0，r₁=3。根據式（8-19）可得

例8-6 已知拉普拉斯變換，求對應的。變換X（z）。

解：由拉普拉斯變換式X（s）可知，n=2，s₁=-1，r₁=2，s₂=-2，r₂=1。根據式（8-19）可得

常用時間函數的z變換見表8-2。由表可知，這些函數的z變換都是z的有理分式，且分母多項式的次數大于或等于分子多項式的次數。值得指出，表中所列常用時間函數z變換式的分母z多項式的階次與相應拉普拉斯變換式的分母s多項式的階次相等。

表8-2z變換表

（續）

8.3.3z變換的基本定理

在z變換中，有一些與拉普拉斯變換類似的基本定理。熟悉了這些定理，可以更加簡便地應用z變換。

1.線性定理

若X₁（z）=Z[x₁（t）]，X₂（z）=Z[x₂（t）]，a₁與a₂為常數，則

證明：由z變換定義

線性定理表明，時域函數的線性組合的z變換等于各函數z變換的線性組合，z變換是一種線性變換。

2.實數位移定理

實數位移定理又稱平移定理。實數位移是指整個采樣序列在時間軸上左右平移若干采樣周期，其中向左平移為超前、向右平移為滯后。實數位移定理如下：

若連續函數x（t）的z變換為X（z），則有滯后定理

以及超前定理

證明：1）式（8-21）的證明。由z變換定義

令m=n-k，則有

由于z變換的單邊性，當m<0時，有x（mT）<0，所以上式可寫為

式（8-21）得證。

2）式（8-22）的證明。由z變換定義

令m=n+k，則有

式（8-22）得證。

算子z有明確的物理意義：z^-k代表時域中的滯后算子，它將采樣信號滯后k個采樣周期；z^k代表時域中的超前算子，它將采樣信號超前k個采樣周期。但是，z^k僅用于運算，在實際物理系統中并不存在。實數位移定理是一個重要的定理，可將描述離散系統的差分方程轉換為z域的代數方程。

3.復數位移定理

若連續函數x（t）的z變換為X（z），a為常數，則有

證明：由z變換定義

令z₁=ze^±aT，則有

式（8-23）得證。

復數位移定理的含意是函數x（t）乘以指數函數e^?at的z變換，就等于在x（t）的z變換式X（z）中以ze^±aT取代原算子z。

4.初值定理

若連續函數x（t）的z變換為X（z），且極限存在，則有

證明：由z變換定義

當z→∞時，等式右邊只有x（0），所以

5.終值定理

若連續函數x（t）的z變換為X（z），X（z）不含有z=1的二重及其以上的極點且在z平面的單位圓外無極點，則有

證明：由z變換的線性定理，有

由實數位移定理

Z[x（t+T）]=zX（z）-zx（0）

于是

上式兩邊取z→1的極限，得

即

所以有

如果已知x（t）的z變換X（z），不需要求其z反變換，利用初值定理和終值定理可以方便地求出x（t）的初值和終值。

8.3.4z反變換

所謂z反變換，就是已知z變換表達式X（z），求取相應的離散函數x^?（t）或離散時間序列x（kT）的過程。記為

通過z反變換只能求出連續信號在采樣時刻的數值，而不能給出連續信號在采樣時刻之間的有關信息。常用的z反變換方法有冪級數法、部分分式法和留數計算法。

1.冪級數法

冪級數法就是利用長除法將z變換表達式X（z）展開成z^-1的冪級數，求取離散函數x^?（t）或離散時間序列x（kT）的數值。

設z變換表達式X（z）是z的有理分式函數，即

式中，a_i（i=0，1，2，…，n）和b_j（j=0，1，2，…，m）均為常數。將X（z）的分子、分母多項式表示為z^-1的升冪形式，則可以直接用分母去除分子，得到無窮冪級數的展開式

根據實數位移定理，離散函數x^?（t）為

考慮到式（8-27），由z變換定義式（8-15）可知，式（8-28）中的系數c_k（k=0，1，2，…，∞）即為x（t）在采樣時刻t=kT的值x（kT）。

在實際應用中，通常計算有限的幾項就夠了，因此用冪級數法得到x^?（t）較簡便，但不容易求出x^?（t）的通項表達式。

例8-7 已知z變換表達式，試求其z反變換。

解：將X（z）表示為

長除法算式如下

利用長除法得

X（z）=1+3.5z^-1+4.75z^-2+6.375z^-3+…

則離散時間函數為

x^?（t）=δ（t）+3.5δ（t-T）+4.75δ（t-2T）+6.375δ（t-3T）+…

2.部分分式法

已知z變換表達式X（z），考慮到在z變換表中z變換表達式X（z）的分子都含有因子z，所以應將X（z）/z展開為部分分式，逐項查z變換表，就可以得到離散時間函數x^?（t）或離散時間序列x（kT）。

設z變換表達式X（z）無重極點，將X（z）/z展開為如下部分分式

式中，n為X（z）的極點個數；A_i為常系數且；z_i為X（z）的極點。

式（8-29）的兩端同乘以z，得到X（z）的部分分式展開式為

逐項查z變換表，得到

最后寫出X（z）對應的采樣函數

例8-8 已知z變換表達式，試求其z反變換。

解：將X（z）/z展開成如下部分分式

上式兩端同乘以z，得

查z變換表得離散時間序列

x（kT）=10（2^k-1） （k=0，1，2，3，…，∞）

于是，離散時間函數為

3.留數計算法

在實際問題中遇到的z變換表達式X（z），除了有理分式外，也可能是超越函數，此時無法應用部分分式法及冪級數法來求z反變換，而采用留數計算法卻比較方便。已知z變換表達式X（z），求取離散時間序列x（kT）的留數計算式如下：

式中，z_i為X（z）的彼此不相等的極點；r_i為重極點z_i的階數；n為彼此不相等的極點個數。則z變換函數X（z）對應的離散函數x^?（t）為

例8-9 已知z變換表達式，試求其z反變換。

解：由X（z）可知，n=2，z₁=1，r₁=1，z₂=5，r₂=2。根據式（8-32），可得

于是，由式（8-33）得到X（z）對應的離散函數x^?（t）為