8.6 離散控制系統(tǒng)的數(shù)字校正

線性離散控制系統(tǒng)的設(shè)計方法，主要有模擬化設(shè)計和數(shù)字化設(shè)計兩種。模擬化設(shè)計方法是先將離散控制系統(tǒng)看作連續(xù)系統(tǒng)，暫時不考慮采樣器和零階保持器的影響，然后采用連續(xù)控制系統(tǒng)的設(shè)計方法設(shè)計校正裝置，再將該校正裝置離散化得到數(shù)字控制器。數(shù)字化（離散化）設(shè)計方法又稱直接數(shù)字設(shè)計法，把控制系統(tǒng)按離散化進(jìn)行分析，先求出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，然后按離散控制系統(tǒng)理論設(shè)計數(shù)字控制器。模擬化設(shè)計方法應(yīng)用的前提是采樣頻率比系統(tǒng)的工作頻率要高得多，以至于由采樣和保持造成的影響可以忽略不計。模擬化設(shè)計方法也可應(yīng)用于對控制系統(tǒng)的要求不太高的場合。在大多數(shù)情況下，為了使離散控制系統(tǒng)的設(shè)計更為準(zhǔn)確，通常采用離散的數(shù)字化設(shè)計方法。

8.6.1 模擬控制器的離散化

將模擬控制器離散化為數(shù)字控制器，首先要滿足穩(wěn)定性條件，即一個穩(wěn)定的模擬控制器離散化后，應(yīng)當(dāng)也是一個穩(wěn)定的數(shù)字控制器。此外，數(shù)字控制器在關(guān)鍵頻率范圍內(nèi)的頻率特性，應(yīng)與模擬控制器相近，這樣才能起到設(shè)計時預(yù)期的綜合校正作用。離散化的方法很多，這里介紹常用的兩種方法：雙線性變換法和零極點(diǎn)匹配法。

1.雙線性變換法

由z變換算子z=e^Ts可得s=lnz/T，而lnz的級數(shù)展開式為

取其一次近似，即

于是，有雙線性變換公式

因此，雙線性變換法的離散化公式為

式（8-60）的雙線性變換又叫作圖斯汀（Tustin）變換，它是最常用的一種離散化方法。

2.零極點(diǎn)匹配法

無論是連續(xù)系統(tǒng)還是離散系統(tǒng)，其特性都是由零、極點(diǎn)和增益所決定的。常用來將模擬控制器離散化為數(shù)字控制器的另一種方法是零極點(diǎn)匹配法，具體步驟如下：

1）用z=e^Ts將s平面的零點(diǎn)、極點(diǎn)s=-a映射為z平面的零點(diǎn)、極點(diǎn)z=e^-aT。

2）如果在s平面上傳遞函數(shù)有無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)，則在z平面上配置z=0的零點(diǎn)。

3）數(shù)字控制器與模擬控制器的增益相匹配。選擇G（z）的增益，使得

通常選擇ω=0。否則，G（s）有s=0的極點(diǎn)，必須使用某個不為零的頻率值。

例8-23 已知傳遞函數(shù)

設(shè)采樣周期T=0.1s，試分別用雙線性變換法和零極點(diǎn)匹配法求離散化后的數(shù)字控制器。

解：1）雙線性變換法。由式（8-61）可得

2）零極點(diǎn)匹配法。由于G（s）有一個無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)，所以應(yīng)給G（z）設(shè)置一個z=0的零點(diǎn)。則

式中，K可以根據(jù)離散化前后控制器的增益相等來確定，有

解得K=0.8656。于是，可得

兩種離散化方法得到的z傳遞函數(shù)近似相同。主要差別在于雙線性變換法得到的z傳遞函數(shù)有一個零點(diǎn)z=-1，而零極點(diǎn)匹配法得到的z傳遞函數(shù)有一個零點(diǎn)z=0。如果在零極點(diǎn)匹配法中將s域無窮遠(yuǎn)處零點(diǎn)映射到z域的零點(diǎn)配置在z=-1處，則兩種方法得到的z傳遞函數(shù)就幾乎沒有什么差別。應(yīng)當(dāng)指出，由于采樣必然帶來信息的損失，所以不論采用哪種離散化方法，得到的數(shù)字控制器的特性不可能與模擬控制器的特性完全一樣。

8.6.2 根軌跡法校正

由于離散系統(tǒng)的特征方程[1+G（z）=0]與連續(xù)系統(tǒng)的特征方程[1+G（s）=0]具有相同的形式，因此除穩(wěn)定邊界（從s平面的虛軸變?yōu)?span id="i81i4dw" class="italic">z平面的單位圓）和零、極點(diǎn)分布的含義不同外，根軌跡法無需修改就可推廣應(yīng)用到線性時不變離散系統(tǒng)。

離散系統(tǒng)根軌跡綜合法的思路是：根據(jù)性能指標(biāo)要求確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)位置，設(shè)計控制器零、極點(diǎn)的分布和調(diào)整增益使根軌跡通過主導(dǎo)極點(diǎn)并使系統(tǒng)具有滿意的性能。分析表明，采樣周期T對系統(tǒng)暫態(tài)特性的影響較大。若采樣周期大，則系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性將降低、甚至導(dǎo)致不穩(wěn)定，而且阻尼比ζ將無法表征系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性（實(shí)際超調(diào)量比ζ表示的要大得多）。因此，系統(tǒng)的采樣頻率必須足夠高。按一般經(jīng)驗，對于欠阻尼系統(tǒng)，在衰減振蕩響應(yīng)的一個周期內(nèi)應(yīng)采樣8～10次（即ω_s/ω_d≥8～10）；對于過阻尼系統(tǒng)，在階躍響應(yīng)的上升時間內(nèi)應(yīng)采樣8～10次。只要采樣頻率足夠高，阻尼比ζ就可作為系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的度量，連續(xù)系統(tǒng)的根軌跡綜合方法就可推廣到這類離散系統(tǒng)。

在根軌跡法中，經(jīng)常要應(yīng)用零、極點(diǎn)相消的思想，即用控制器的零、極點(diǎn)去對消原系統(tǒng)的不希望有的零、極點(diǎn)，使系統(tǒng)具有較理想的零、極點(diǎn)分布，從而獲得優(yōu)良的系統(tǒng)性能。但必須指出，零、極點(diǎn)相消思想一般只用于改善系統(tǒng)的暫態(tài)性能。而且位于單位圓外、圓上以及緊靠單位圓周的單位圓內(nèi)極點(diǎn)是不允許消去的。因為實(shí)際數(shù)學(xué)模型不可能十分精確，參數(shù)的變化又是難以避免的，嚴(yán)格地說，零、極點(diǎn)相消只能做到名義相消，而不可能真正地完全相消。而上述那些極點(diǎn)，要么本身不穩(wěn)定，要么受擾動作用后很易變成不穩(wěn)定的，在零、極點(diǎn)相消時即使將它們名義上相消掉，但只要參數(shù)或工作狀態(tài)一變化它們就無法對消，系統(tǒng)根本無法工作。

離散系統(tǒng)根軌跡綜合法所用到的校正方式，與連續(xù)系統(tǒng)相類似，主要是超前校正、滯后校正、滯后超前校正這三種基本校正方式。工業(yè)中常用的PID控制器，實(shí)際上是滯后超前校正裝置的一種特例。離散系統(tǒng)的PID控制算法，仍然是控制工程界青睞的有效算法。

例8-24 設(shè)離散控制系統(tǒng)如圖8-29所示，采樣周期T=0.2s。試設(shè)計一個數(shù)字控制器，使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)具有下列性能指標(biāo)：超調(diào)量為16.3%，調(diào)節(jié)時間為2s（取Δ=2%）。并求綜合后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和速度誤差系數(shù)。

圖8-29 閉環(huán)離散系統(tǒng)

解：1）根據(jù)性能指標(biāo)確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。性能指標(biāo)要求：超調(diào)量為16.3%，調(diào)節(jié)時間為2s（取Δ=2%）。由此可求得對應(yīng)的典型二階連續(xù)系統(tǒng)具有下列特征參量：阻尼比ζ=0.5，無阻尼自然振蕩頻率ω_n=4 rad/s。相應(yīng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為

其中，阻尼振蕩頻率。

當(dāng)采樣周期T=0.2s時，相應(yīng)的采樣頻率ω_s=2π/T=31.416rad/s。于是在每個阻尼振蕩周期里采樣的次數(shù)為

這樣的采樣頻率足夠高，連續(xù)系統(tǒng)的根軌跡綜合方法可推廣應(yīng)用到離散系統(tǒng)。

在z平面上的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置為

2）綜合數(shù)字控制器。受控對象與零階保持器串聯(lián)的脈沖傳遞函數(shù)為

其零點(diǎn)（z=-0.875）和極點(diǎn)（z=1及z=0.6703）在z平面上的分布如圖8-30所示。為使校正后系統(tǒng)的根軌跡通過主導(dǎo)極點(diǎn)z_1，2（由于離散系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布和根軌跡曲線對稱于實(shí)軸，因此選擇z₁=0.5158+j0.4281進(jìn)行下面的設(shè)計），根據(jù)相角條件可得數(shù)字控制器需要提供的相角為

φ_d=-180°-∠G（z₁）=-180°-[∠（z₁+0.875）-∠（z₁-1）-∠（z₁-0.6703）]=51.25°因此，數(shù)字控制器需要提供超前相角51.25°。

圖8-30 例8-24離散控制系統(tǒng)根軌跡圖

設(shè)控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

如果設(shè)計控制器的零點(diǎn)z=-z_d與G（z）的極點(diǎn)z=0.6703對消，則根據(jù)控制器在主導(dǎo)極點(diǎn)處需要提供超前角φ_d=51.25°，可用圖解法或解析法確定其極點(diǎn)為p_d=-0.2548（見圖8-30）。于是控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

根據(jù)幅值條件，在主導(dǎo)極點(diǎn)z₁處的幅值等于1，即

于是，可確定控制器增益為

故

根據(jù)D（z）G（z）便可繪制校正后系統(tǒng)的根軌跡，如圖8-30所示。

3）性能分析。由圖8-29可得數(shù)字系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

則系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)序列如圖8-31所示。由圖可得，超調(diào)量約為16%，調(diào)節(jié)時間約為2s。這表明，綜合校正的結(jié)果是令人滿意的。

系統(tǒng)的斜坡誤差系數(shù)為

圖8-31 例8-24系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)強(qiáng)烈地影響暫態(tài)響應(yīng)和頻率響應(yīng)特性。熟悉z平面極點(diǎn)與零點(diǎn)的位置與時間響應(yīng)特性之間的關(guān)系對設(shè)計離散時間控制系統(tǒng)來說是很有用的。若在s平面負(fù)實(shí)軸靠近原點(diǎn)處加一個零點(diǎn)，會使階躍輸入響應(yīng)超調(diào)量增大。s平面上的這個零點(diǎn)在z平面上的映射點(diǎn)位于正實(shí)軸的0與1之間。因而，在z平面中，若在正實(shí)軸的0與1之間加零點(diǎn)，就將增大超調(diào)量。實(shí)際上，一個零點(diǎn)向z=1的點(diǎn)移動，將使超調(diào)量顯著地增大。同樣，在s平面負(fù)實(shí)軸上靠近原點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)將增加調(diào)節(jié)時間。而這種閉環(huán)極點(diǎn)在z平面上的映射點(diǎn)，將位于正實(shí)軸的0與1之間。因此，位于z平面正實(shí)軸的0與1之間（特別是靠近z=1時）的閉環(huán)極點(diǎn)會使調(diào)節(jié)時間增加。然而，本例設(shè)計的閉環(huán)極點(diǎn)或零點(diǎn)中沒有非主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)而只有一個位于z平面負(fù)實(shí)軸上的零點(diǎn)，對暫態(tài)響應(yīng)影響不大。

8.6.3 頻率特性法校正

如同在連續(xù)控制系統(tǒng)中一樣，頻率特性在離散控制系統(tǒng)中也起著重要的作用。由于在z平面中頻率是以z=e^jωT形式出現(xiàn)，脈沖傳遞函數(shù)不是ω的有理函數(shù)，故直接應(yīng)用是不合適的。然而，這個困難能夠通過把z平面中的脈沖傳遞函數(shù)變換到一個w平面上去得以克服。這個變換，通常稱為w變換，是一種雙線性交換，它的定義式如下：

于是，有

式中，T為采樣周期。通過把z平面中的脈沖傳遞函數(shù)變換成w的有理函數(shù)，頻率特性法就能擴(kuò)展應(yīng)用到離散控制系統(tǒng)。

借助w變換，當(dāng)脈沖傳遞函數(shù)G（z）轉(zhuǎn)化成G（w）時，則在w域中可把它當(dāng)作常規(guī)傳遞函數(shù)對待。也就是說能在w平面中應(yīng)用常規(guī)頻率特性技術(shù)，那么已經(jīng)建立的頻率特性設(shè)計技術(shù)也就能用于離散控制系統(tǒng)的設(shè)計。

在w平面上數(shù)字控制系統(tǒng)的設(shè)計步驟如下：

1）求帶保持器的被控對象的z變換G（z），再由式（8-62）給出的雙線性變換公式將G（z）變換為w域傳遞函數(shù)G（w），即

2）根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的要求確定系統(tǒng)的開環(huán)增益。將w=jν（ν表示虛頻率）代入G（w）中，并畫出G（jν）的伯德圖。從伯德圖上讀取原系統(tǒng)的性能指標(biāo)（如相位裕度和增益裕量）。

3）按照頻率特性設(shè)計方法設(shè)計數(shù)字控制器D（w），使系統(tǒng)滿足性能指標(biāo)要求。

4）通過式（8-63）的雙線性變換公式將數(shù)字控制器的w域傳遞函數(shù)D（w）變換為脈沖傳遞函數(shù)D（z），即

例8-25 設(shè)數(shù)字控制系統(tǒng)如圖8-32所示，采樣周期T=0.2s。試設(shè)計一個數(shù)字控制器，使系統(tǒng)相位裕度為50°，增益裕量至少10dB，靜態(tài)速度誤差系數(shù)K_v=2s^-1。

圖8-32 閉環(huán)離散系統(tǒng)

解：帶零階保持器的被控對象的脈沖傳遞函數(shù)為

利用雙線性變換式將G（z）變換為w域傳遞函數(shù)

根據(jù)穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)要求，可得

將G（w）的增益調(diào)整為K=2，繪制G（jν）的伯德圖如圖8-33中虛線所示。由圖可得，校正前系統(tǒng)的相位裕度為30°，幅值裕度為14.5dB，相位裕度不滿足要求。

根據(jù)性能指標(biāo)要求，采用超前校正裝置，其傳遞函數(shù)為

取超前校正裝置提供的最大超前相角φ_m為：要求的相位裕度-原系統(tǒng)的相位裕度+（5°～12°），為28°，則由sinφ_m=（1-α）/（1+α）得到α=0.361。設(shè)校正后系統(tǒng)的幅值穿越頻率ν_c與校正裝置產(chǎn)生最大超前相角的頻率相等，于是有

即

解得ν_c=1.7。令，可以得到τ=0.9790，ατ=0.3534，則超前校正裝置的傳遞函數(shù)為

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

繪制校正后D（jν）G（jν）的伯德圖如圖8-33中的實(shí)線所示。由圖可得，校正后系統(tǒng)的相位裕度為50°，幅值裕度為14dB，滿足性能指標(biāo)要求。

經(jīng)雙線性變換將控制器的w域傳遞函數(shù)D（w）變換為脈沖傳遞函數(shù)D（z），即

校正后系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

圖8-33 例8-25離散控制系統(tǒng)伯德圖

校正后系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)序列如圖8-34所示。單位階躍響應(yīng)曲線表明，超調(diào)量約為20%，調(diào)節(jié)時間約為4s。可見，在正弦振蕩每個周期內(nèi)的采樣次數(shù)約為15，這表明采樣頻率ω_s是阻尼振蕩頻率ω_d的15倍。因此，采樣周期T=0.2s的選擇是滿意的，綜合校正的結(jié)果是可行的。

圖8-34 例8-25系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

8.6.4 數(shù)字控制器直接設(shè)計法

直接數(shù)字設(shè)計法是根據(jù)被控對象的脈沖傳遞函數(shù)，按離散控制系統(tǒng)理論在z域通過解析方法直接求得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)，以滿足離散控制系統(tǒng)給定性能指標(biāo)的要求。

1.數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)

設(shè)離散控制系統(tǒng)如圖8-35所示。圖中，D（z）為數(shù)字控制器（數(shù)字校正裝置）的脈沖傳遞函數(shù)，G_p（s）為被控對象的傳遞函數(shù)，G_h（s）為零階保持器的傳遞函數(shù)。令被控對象與零階保持器的脈沖傳遞函數(shù)為

G（z）=Z[G_h（s）G_p（s）]

圖8-35 閉環(huán)離散系統(tǒng)

可以求得離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為

于是，得到數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

或

顯然，存在

由以上討論可知，離散控制系統(tǒng)數(shù)字控制器的直接數(shù)字設(shè)計法的思想是：根據(jù)對離散系統(tǒng)性能指標(biāo)的要求，確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ（z）或誤差脈沖傳遞函數(shù)Φ_e（z），然后利用式（8-64）或式（8-65）確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D（z），并加以實(shí)現(xiàn)。

2.最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計

在采樣過程中，稱一個采樣周期為一拍。所謂最少拍控制系統(tǒng)，是指在典型輸入作用下，能在有限拍內(nèi)結(jié)束系統(tǒng)響應(yīng)的過渡過程，且在采樣時刻上無穩(wěn)態(tài)誤差的離散控制系統(tǒng)。這種系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)對典型給定輸入信號的完全跟蹤，因此又稱為無穩(wěn)態(tài)誤差最少拍控制系統(tǒng)。

最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計原則是：若系統(tǒng)廣義被控對象G（z）無延遲且在z平面單位圓上及單位圓外無零、極點(diǎn)，要求選擇閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ（z）或誤差脈沖傳遞函數(shù)Φ_e（z），使系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)最少采樣周期后能使輸出序列在各采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零，達(dá)到完全跟蹤的目的，從而確定所需要的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D（z）。

最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計，是針對典型輸入作用進(jìn)行的。常見的典型輸入，有單位階躍函數(shù)、單位速度函數(shù)和單位加速度函數(shù)，其z變換分別為

因此，典型輸入函數(shù)的z變換可以表示為如下的一般形式

式中，A（z）是不含（1-z^-1）因子的z^-1的有限項多項式；當(dāng)r（t）=1（t）時，N=1，A（z）=1；當(dāng)r（t）=t時，N=2，A（z）=Tz^-1；當(dāng)r（t）=t²/2時，N=3，A（z）=T²（z^-1+z^-2）/2。

誤差信號e（t）的z變換為

根據(jù)z變換的終值定理，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

上式表明，為了使e_ss為零，Φ_e（z）中應(yīng)包含有（1-z^-1）N的因子。選取

式中，F（z）是不含（1-z^-1）因子的z^-1的有限項多項式。于是，可得E（z）的表達(dá)式為

F（z）、A（z）都是z^-1的有限項多項式，由z反變換可知系統(tǒng)的過渡過程經(jīng)過有限個采樣周期就結(jié)束，而且穩(wěn)態(tài)誤差為零。

為了使求出的D（z）簡單，階數(shù)最低，可取F（z）=1，則有

此時，系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于z平面的原點(diǎn)。

下面分別討論最少拍控制系統(tǒng)在不同典型輸入作用下，數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D（z）的確定方法。

（1）單位階躍輸入

由式（8-67）可知，N=1，A（z）=1，故由式（8-69）和式（8-66）可得

Φ_e（z）=1-z^-1Φ（z）=z^-1

根據(jù)式（8-65）求出

于是，有

e^?（t）=δ（t）

c^?（t）=δ（t-T）+δ（t-2T）+δ（t-3T）+…

上述結(jié)果表明，c（0）=0，c（T）=c（2T）=…=1；e（0）=1，e（T）=e（2T）=…=0。可見，最少拍系統(tǒng)經(jīng)過一拍就可以完全跟蹤給定輸入信號r（t）=1（t），一拍之后穩(wěn)態(tài)誤差為零，如圖8-36所示。這樣的離散系統(tǒng)稱為一拍系統(tǒng)，其調(diào)節(jié)時間t_s=T。

圖8-36 最少拍系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

（2）單位斜坡輸入

由式（8-67）可知，N=2，A（z）=Tz^-1，故由式（8-69）和式（8-66）可得

Φ_e（z）=（1-z^-1）²Φ（z）=2z^-1-z^-2

根據(jù)式（8-65）求出

于是，有

e^?（t）=Tδ（t-T）

c^?（t）=2Tδ（t-2T）+3Tδ（t-3T）+…

上述結(jié)果表明，c（0）=c（T）=0，c（2T）=2T，c（3T）=3T，…；e（0）=0，e（T）=T，e（2T）=e（3T）=…=0。可見，最少拍系統(tǒng)經(jīng)過二拍就可以完全跟蹤給定輸入信號r（t）=t，二拍之后穩(wěn)態(tài)誤差為零，如圖8-37所示。這樣的離散系統(tǒng)稱為二拍系統(tǒng)，其調(diào)節(jié)時間t_s=2T。

（3）單位加速度輸入

由式（8-67）可知，N=3，A（z）=T²（z^-1+z^-2）/2，故由式（8-69）和式（8-66）可得

Φ_e（z）=（1-z^-1）³Φ（z）=3z^-1-3z^-2+z^-3

根據(jù)式（8-65）求出

于是，有

e^?（t）=0.5T²δ（t-T）+0.5T²δ（t-2T）

c^?（t）=1.5T²δ（t-2T）+4.5T2δ（t-3T）+8T2δ（t-4T）+…

圖8-37 最少拍系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

上述結(jié)果表明，c（0）=c（T）=0，c（2T）=1.5T²，c（3T）=4.5T²，c（4T）=8T²，…；e（0）=0，e（T）=e（2T）=0.5T²，e（3T）=e（4T）=…=0。可見，最少拍系統(tǒng)經(jīng)過三拍就可以完全跟蹤給定輸入信號r（t）=t²/2，三拍之后穩(wěn)態(tài)誤差為零，如圖8-38所示。這樣的離散系統(tǒng)稱為三拍系統(tǒng)，其調(diào)節(jié)時間t_s=3T。

各種典型輸入作用下最少拍系統(tǒng)的Φ（z）、Φ_e（z）及t_s列于表8-7中。

例8-26 設(shè)離散控制系統(tǒng)如圖8-35所示，采樣周期T=1s。被控對象和零階保持器的傳遞函數(shù)分別為，

當(dāng)輸入信號r（t）=t時，試求數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D（z），使系統(tǒng)為最少拍控制系統(tǒng)。

圖8-38 最少拍系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)

表8-7 最少拍控制系統(tǒng)的Φ（z）、Φ_e（z）及t_s

解：系統(tǒng)廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為

代入T=1s，則得

由表8-7查出r（t）=t時最少拍系統(tǒng)應(yīng)具有的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)為

Φ_e（z）=（1-z^-1）²Φ（z）=2z^-1-z^-2

由式（8-65）可知，Φ_e（z）的零點(diǎn)z=1正好可以補(bǔ)償G（z）在單位圓上的極點(diǎn)z=1；而Φ（z）已包含G（z）的傳遞函數(shù)延遲z^-1。因此，上述Φ（z）和Φ_e（z）滿足對消G（z）中的傳遞延遲z^-1及補(bǔ)償G（z）在單位圓上極點(diǎn)z=1的限制性要求，故按式（8-65）算出的D（z），可以確保設(shè)計出的系統(tǒng)成為在r（t）=t作用下為最少拍系統(tǒng)。根據(jù)給定的G（z）和查表選取的Φ_e（z），求得數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

當(dāng)系統(tǒng)的給定輸入信號分別為r（t）=1（t）、r（t）=t和r（t）=t²/2時，系統(tǒng)輸出信號的z變換依次為

對應(yīng)的輸出響應(yīng)如圖8-39的虛線所示，圖中的虛線表示輸入函數(shù)的曲線。

圖8-39 例8-26最少拍系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

比較各種典型輸入下的給定輸入信號與輸出響應(yīng)可以發(fā)現(xiàn)，它們都是僅在前二拍出現(xiàn)差異，從第三拍起實(shí)現(xiàn)完全跟蹤，因此均為二拍系統(tǒng)，其調(diào)節(jié)時間t_s=2T。可以說，最少拍控制系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間，只與所選擇的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ（z）的形式有關(guān)，而與典型輸入信號的形式無關(guān)。

由本例可以看出，以下幾點(diǎn)結(jié)論成立。

1）從快速性而言，按單位斜坡給定輸入設(shè)計的最少拍系統(tǒng)，在各種典型給定輸入作用下，其動態(tài)過程均為二拍。

2）從準(zhǔn)確性而言，系統(tǒng)對單位階躍輸入和單位斜坡輸入，在采樣時刻均無穩(wěn)態(tài)誤差，但對單位加速度輸入，在采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為常量T²。

3）從動態(tài)響應(yīng)而言，系統(tǒng)對單位斜坡輸入下的響應(yīng)性能較好，這是因為系統(tǒng)本身就是針對單位斜坡輸入設(shè)計的。但系統(tǒng)對單位階躍輸入響應(yīng)性能較差，有100%的超調(diào)量。故按某種典型輸入設(shè)計的最少拍系統(tǒng)，適應(yīng)性較差。

4）從平穩(wěn)性而言，在各種典型輸入作用下系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)以后，在非采樣時刻一般均存在紋波，從而增加系統(tǒng)的機(jī)械磨損，故上述最少拍系統(tǒng)的設(shè)計方法，只有理論意義，并不實(shí)用。

3.最少拍無波紋系統(tǒng)的設(shè)計

按最少拍控制系統(tǒng)設(shè)計出來的閉環(huán)系統(tǒng)，在有限拍后進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。此時閉環(huán)系統(tǒng)的輸出在采樣時刻精確地跟蹤給定輸入信號。但是，在兩個采樣時刻之間，系統(tǒng)的輸出可能存在振蕩或波紋。這種波紋不僅影響系統(tǒng)的控制性能，產(chǎn)生過大的超調(diào)量和持續(xù)振蕩，而且還增加了系統(tǒng)的功率損耗和機(jī)械磨損，這在工程上是不容許的，故希望設(shè)計無紋波最少拍系統(tǒng)。

分析最少拍控制系統(tǒng)在采樣時刻之間存在波紋的原因可知，系統(tǒng)在給定輸入作用下經(jīng)過有限個采樣周期之后，數(shù)字控制器的輸入信號即誤差信號e^*（t）在采樣時刻為零，但是數(shù)字控制器的輸出信號u^*（t）并未達(dá)到穩(wěn)態(tài)，仍然圍繞平均值上下波動，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出在采樣時刻之間產(chǎn)生波紋。

在例8-26中，當(dāng)單位斜坡輸入信號作用于已設(shè)計好的最少拍控制系統(tǒng)時，根據(jù)已確定的Φ_e（z），可以求得誤差信號的z變換為

數(shù)字控制器輸出信號u^*（t）的z變換為

誤差信號e^*（t）、數(shù)字控制器輸出信號對應(yīng)的脈沖序列和系統(tǒng)的輸出信號如圖8-4O所示O圖8-4Oa表明，e^*（t）只在第一拍上存在一個誤差脈沖，第二拍之后在采樣時刻的穩(wěn)態(tài)誤差為零。由圖8-4Ob可見，u^*（t）一直在波動。u^*（t）的波動引起零階保持器的輸出產(chǎn)生波動，導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出在采樣時刻之間產(chǎn)生波紋，如圖8-4Oc所示。

圖8-4O 例8-26最少拍系統(tǒng)的各點(diǎn)波形

a）誤差信號 b）控制信號 c）輸出信號

無紋波最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計要求是：在某一種典型給定輸入作用下設(shè)計的系統(tǒng)，其輸出響應(yīng)經(jīng)過盡可能少的采樣周期之后，不僅能夠在采樣時刻上輸出可以完全跟蹤輸入，實(shí)現(xiàn)無穩(wěn)態(tài)誤差，而且在采樣時刻之間不存在紋波。

為了使系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差無紋波地跟蹤給定輸入信號，被控對象G_p（s）必須有能力實(shí)現(xiàn)無穩(wěn)態(tài)誤差地跟蹤，這就要求系統(tǒng)在型別上滿足跟蹤的要求。若針對單位斜坡輸入r（t）=t設(shè)計最少拍系統(tǒng)，則G_p（s）必須至少有一個積分環(huán)節(jié)，使得在零階保持器的常值輸出信號作用下，G_p（s）的穩(wěn)態(tài)輸出等速變化；同理，若針對單位加速度輸入r（t）=t²/2設(shè)計最少拍系統(tǒng)，則G_p（s）至少應(yīng)包含兩個積分環(huán)節(jié)。在以下的討論中，我們總是假定這一最少拍無波紋系統(tǒng)設(shè)計的必要條件是成立的。

根據(jù)最少拍控制系統(tǒng)產(chǎn)生波紋的原因，欲使最少拍控制系統(tǒng)的輸出無波紋，需要使數(shù)字控制器的輸出信號u^*（t）在給定輸入作用下，經(jīng)過有限個采樣周期后達(dá)到穩(wěn)態(tài)。因此，最少拍無波紋控制系統(tǒng)不僅要求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ（z）是z^-1的有限項多項式，而且要求數(shù)字控制器輸出信號u^*（t）的z變換U（z）也為z^-1的有限項多項式。由圖8-35可知，

由式（8-65）和式（8-66）有

其中，P（z）為G（z）的分子多項式；Q（z）為G（z）的分母多項式。表8-7表明，進(jìn)行最少拍系統(tǒng)設(shè)計時，Φ_e（z）的零點(diǎn)可以完全對消R（z）的極點(diǎn)。因此，式（8-70）表明，只要D（z）Φ_e（z）為z^-1的有限項多項式，U（z）就是z^-1的有限項多項式。在式（8-71）中，Q（z）為z^-1的有限項多項式，所以D（z）Φ_e（z）成為z^-1的有限項多項式的條件就是Φ（z）/P（z）為z^-1的有限項多項式，也就是說，所設(shè)計的最少拍無波紋控制系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ（z）的零點(diǎn)應(yīng)包含系統(tǒng)廣義對象脈沖傳遞函數(shù)G（z）的全部零點(diǎn)，即應(yīng)有

式中，M（z）為待定的z^-1多項式，可根據(jù)其他條件確定。

因此，最少拍無波紋控制系統(tǒng)的設(shè)計方法，除應(yīng)增加式（8-72）的附加條件外，其余和最少拍系統(tǒng)設(shè)計方法相同，也是針對具體典型輸入形式設(shè)計的。

例8-27在例8-26的離散控制系統(tǒng)中，如果要求在單位斜坡給定輸入作用下設(shè)計最少拍無波紋控制系統(tǒng)，試求數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D（z）。

解：在例8-26中，已經(jīng)求出系統(tǒng)廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為

當(dāng)r（t）=t時，由表8-7查出最少拍系統(tǒng)應(yīng)具有的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)為

Φ_e（z）=（1-z^-1）²Φ（z）=2z^-1-z^-2

進(jìn)行最少拍系統(tǒng)設(shè)計時，要求Φ_e（z）的零點(diǎn)可以完全對消R（z）=z^-1/（1-z^-1）-2的極點(diǎn)，且Φ_e（z）的零點(diǎn)z=1正好可以補(bǔ)償G（z）在單位圓上的極點(diǎn)z=1，而Φ（z）已包含G（z）的傳遞函數(shù)延遲z^-1，滿足最少拍系統(tǒng)設(shè)計的限制性要求。為使系統(tǒng)的輸出無波紋，要求Φ（z）的零點(diǎn)應(yīng)包含G（z）的全部零點(diǎn)，故選取

Φ_e（z）=（1-z^-1）²（1+a₁z^-1）=1+（a₁-2）z^-1+（1-2a₁）z^-2+a₁z^-3

Φ（z）=z^-1（1+0.718z^-1）（b₀+b₁z^-1）=b₀z^-1+（b₁+0.718b₀）z^-2+0.718b₁z^-3

根據(jù)Φ_e（z）=1-Φ（z），可得

a₁-2=-b₀，1-2a₁=-（b₁+0.718b₀），a₁=-0.718b₁

解得

a₁=0.593，b₀=1.407，b₁=-0.826

于是，可以求得

數(shù)字控制器輸出信號u^*（t）的z變換為

U（z）=D（z）Φ_e（z）R（z）=3.823z^-1+0.172z^-2+0.998（z^-3+z^-4+…）

因此，u^*（t）的脈沖序列為u（0）=0，u（1）=3.823，u（2）=0.172，u（3）=u（4）=…=0.998。數(shù)字控制器的輸出信號u^*（t）從第三拍起達(dá)到穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)的輸出無波紋。可以畫出誤差信號e^*（t）、控制信號u^*（t）和系統(tǒng)輸出信號c^*（t）的響應(yīng)如圖8-41所示。

圖8-41 例8-27最少拍無波紋系統(tǒng)的各點(diǎn)波形

a）誤差信號 b）控制信號 c）輸出信號

圖8-41的計算及繪制程序：prog82.m

clear;clc

sim（'fig841',5）

numv=[2-1];denv=[100];numv1=[1];denv1=[1-1];

numv=conv（numv,numv1）;denv=conv（denv,dens1）;

y=dstep（numv,denv,6）;t=0:length（y）-1;

subplot（1,3,1）;plot（yv1（:,3）,yv1（:,1）,'bo'）;

subplot（1,3,2）;plot（yv1（:,3）,yv1（:,2）,'bo'）;

hold on;plot（yv2（:,1）,yv2（:,2）,'r-'）;hold off

subplot（1,3,3）;plot（t,y,'bo'）;hold on;plot（tout,yv（:,1）,tout,yv（:,2））;hold off

SIMULINK仿真模型fig841.mdl如圖8-42所示。在仿真模型中，設(shè)置離散零極點(diǎn)模型、零階保持器以及變量yv1的采樣時間為1s，其他模塊的采樣時間和仿真時間相同。

圖8-42 例8-27最少拍無波紋系統(tǒng)的SIMULINK仿真模型

4.可物理實(shí)現(xiàn)的數(shù)字控制器設(shè)計

在上面的討論中，沒有討論系統(tǒng)廣義被控對象G（z）的穩(wěn)定性。實(shí)際上，若G（z）的零極點(diǎn)均在z平面的單位圓內(nèi)部，則由式（8-64）或式（8-65）確定的數(shù)字控制器D（z）就一定是穩(wěn)定的。若G（z）含有z平面不在單位圓內(nèi)部的零極點(diǎn)，則所確定的D（z）就含有這些零極點(diǎn)。從理論上說可以相互抵消，但實(shí)際上G（z）的不穩(wěn)定零極點(diǎn)靠數(shù)字控制器來抵消是不允許的，這是由于不可避免的參數(shù)變化等原因而可能出現(xiàn)不能完全抵消的情況，況且D（z）中的不穩(wěn)定極點(diǎn)會引起控制器的不穩(wěn)定。因此，當(dāng)G（z）含有不穩(wěn)定的零極點(diǎn)時，由式（8-65）

可知，對G（z）的不穩(wěn)定零點(diǎn)可以由Φ（z）的零點(diǎn)去對消，對G（z）的不穩(wěn)定極點(diǎn)可以由Φ_e（z）的零點(diǎn)去對消，這就可以避免在D（z）中存在這些不穩(wěn)定零極點(diǎn)。另外，當(dāng)G（z）含有延遲因子z^-1時，會使D（z）中出現(xiàn)超前因子z，這在物理上是無法實(shí)現(xiàn)的，要求Φ（z）也含有延遲因子z^-1進(jìn)行補(bǔ)償。

設(shè)系統(tǒng)廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為

式中，z_i（i=1，2，…，r）為單位圓上或單位圓外的零點(diǎn)；p_j（j=1，2，…，l）為單位圓上或單位圓外的極點(diǎn)；z^-q表示G（z）中含有的延遲因子；G₁（z）為只含有單位圓內(nèi)零極點(diǎn)的z^-1多項式的有理分式。

最少拍或最少拍無波紋控制系統(tǒng)的數(shù)字控制器設(shè)計步驟如下：

1）對于最少拍控制系統(tǒng)，選擇Φ（z）為

對于最少拍無波紋控制系統(tǒng)，選擇Φ（z）為

式中，P（z）為G（z）以z^-1形式表示的分子多項式；M（z）=b₀+b₁z^-1+b₂z^-2+…為不含z_i（i=1，2，…，r）和延遲因子z^-1的待定的z^-1多項式。

2）選擇Φ_e（z）為

式中，N為按式（8-67）確定的輸入信號的階數(shù)和G（z）含有z=1的極點(diǎn)個數(shù)中的較大者；F（z）=1+a₁z^-1+a₂z^-2+…為不含p_j（j=1，2，…，l）的待定的z^-1多項式。

按照性能指標(biāo)要求，合適地選取M（z）和F（z）的階，根據(jù)式（8-66）的關(guān)系式可解得M（z）和F（z）的待定系數(shù)。按式（8-65）確定數(shù)字控制器D（z）的脈沖傳遞函數(shù)，當(dāng)D（z）的分母多項式的階次大于或等于其分子多項式的階次時，所設(shè)計的數(shù)字控制器D（z）是可以物理實(shí)現(xiàn)的。

例8-28 設(shè)離散控制系統(tǒng)如圖8-43所示，采樣周期T=0.1s。

圖8-43 閉環(huán)離散系統(tǒng)

1）當(dāng)給定輸入信號為r（t）=1（t）時，試設(shè)計D（z），使系統(tǒng)為最少拍控制系統(tǒng)。

2）當(dāng)給定輸入信號為r（t）=1（t）時，試設(shè)計D（z），使系統(tǒng)為最少拍無波紋控制系統(tǒng)。

解：系統(tǒng)廣義對象的脈沖傳遞函數(shù)為

由上式可知，G（z）中含有一個單位圓外的零點(diǎn)z=-2.821，一個單位圓上的極點(diǎn)z=1。

1）最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計。按式（8-74）和式（8-76）選擇Φ（z）和Φ_e（z）：

Φ（z）=z^-1（1+2.821z^-1）b₀=b₀z^-1+2.821b₀z^-2

Φ_e（z）=（1-z^-1）（1+a₁z^-1）=1-（1-a₁）z^-1-a₁z^-2

根據(jù)Φ_e（z）=1-Φ（z），可得

1-a₁=b₀，a₁=2.821b₀

解得

a₁=0.738，b₀=0.262

于是，可以求得

，

當(dāng)系統(tǒng)的給定輸入信號為r（t）=1（t）時，系統(tǒng)輸出信號的z變換為

2）最少拍無波紋控制系統(tǒng)的設(shè)計。按式（8-75）和式（8-76）選擇Φ（z）和Φ_e（z）：

Φ（z）=z^-1（1+0.195z^-1）（1+2.821z^-1）b₀=b₀z^-1+3.016b₀z^-2+0.55b₀z^-3

Φ_e（z）=（1-z^-1）（1+a₁z^-1+a₂z^-2）=1-（1-a₁）z^-1-（a₁-a₂）z^-2-a₂z^-3

根據(jù)Φ_e（z）=1-Φ（z），可得

1-a₁=b₀，a₁-a₂=3.016b₀，a₂=0.55b0

解得

a₁=0.781，a₂=0.121，b₀=0.219

于是，可以求得

當(dāng)系統(tǒng)的給定輸入信號為r（t）=1（t）時，系統(tǒng)輸出信號的z變換為

設(shè)計得到的最少拍控制系統(tǒng)和最少拍無波紋控制系統(tǒng)如圖8-44a、b所示，圖中實(shí)線表示被控對象的輸出，小圓圈表示采樣時刻的值。在圖8-44a中，經(jīng)過兩個采樣周期，實(shí)現(xiàn)在采樣時刻無穩(wěn)態(tài)誤差，但在采樣時刻之間有波紋存在。在圖8-44b中，經(jīng)過三個采樣周期，實(shí)現(xiàn)了在采樣時刻無穩(wěn)態(tài)誤差，且在采樣時刻之間無波紋存在。

圖8-44 例8-28系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)