3.3　雙因素試驗(yàn)方差分析

試驗(yàn)研究中經(jīng)常遇到兩個(gè)因素同時(shí)影響試驗(yàn)結(jié)果的情況。通過雙因素試驗(yàn)的方差分析，便能在一組試驗(yàn)中確定兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無顯著影響以及兩因素之間是否存在交互作用。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)，雙因素方差分析有不帶重復(fù)試驗(yàn)和有重復(fù)試驗(yàn)兩種情況，同時(shí)存在無交互作用和有交互作用兩種情況?？紤]交互作用是雙因素方差分析和單因素方差分析的一個(gè)很大區(qū)別，它有助于在進(jìn)行雙因素試驗(yàn)和分析時(shí)做出更為可靠、精確的結(jié)論。例如，在農(nóng)業(yè)試驗(yàn)中，將A個(gè)品種在B塊不同土地進(jìn)行試驗(yàn)。以其產(chǎn)量作為考核指標(biāo)。這是一個(gè)典型的雙因素試驗(yàn)，通過對(duì)產(chǎn)量的方差分析，可考察不同土地對(duì)品種的影響，或不同品種對(duì)土地的適應(yīng)性。

3.3.1　交互效應(yīng)

在雙因素試驗(yàn)中，除了兩個(gè)因素各自對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響外，還存在兩個(gè)因素一起對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響，即存在兩個(gè)因素各水平之間的一種聯(lián)合搭配的影響，這種兩因素聯(lián)合的影響就是所謂的交互效應(yīng)。

例如，實(shí)驗(yàn)室合成某化合物，試驗(yàn)不同添加劑用量、不同反應(yīng)時(shí)間、不同反應(yīng)溫度對(duì)化合物產(chǎn)率的影響，分別進(jìn)行了兩批試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果分別如表3-7和表3-8所示。

在表3-7中，無論反應(yīng)時(shí)間是60min還是90min，添加劑用量2.0g的產(chǎn)率均比1.0g的產(chǎn)率高5.8%，試驗(yàn)結(jié)果還表示，無論添加劑是用1g還是2g，反應(yīng)時(shí)間90min的產(chǎn)率均比反應(yīng)時(shí)間60min的高7.4%，即添加劑用量對(duì)產(chǎn)率提高的效果與反應(yīng)時(shí)間沒有直接的關(guān)系，反應(yīng)時(shí)間對(duì)產(chǎn)率提高的效果與添加劑用量也沒有直接的關(guān)系。而表3-8的試驗(yàn)情況完全不同，反應(yīng)溫度50℃時(shí)添加劑用量2.0g比1.0g時(shí)的產(chǎn)率高5.2%，反應(yīng)溫度80℃時(shí)添加劑2.0g反而比1.0g時(shí)的產(chǎn)率低4.8%，表示添加劑的用量對(duì)產(chǎn)率的變化與反應(yīng)溫度的高低有關(guān)；采用1g添加劑時(shí)反應(yīng)溫度80℃時(shí)的產(chǎn)率比50℃時(shí)的高7.9%，當(dāng)2g添加劑時(shí)反應(yīng)溫度80℃時(shí)的產(chǎn)率比50℃時(shí)的反而低2.1%。添加劑用量對(duì)產(chǎn)率的影響與反應(yīng)溫度有一種特殊的相關(guān)性，這種特殊的相關(guān)性稱為交互作用。試驗(yàn)表明，添加劑用量與反應(yīng)時(shí)間之間沒有交互效應(yīng)，而添加劑用量與反應(yīng)溫度之間有明顯的交互效應(yīng)。又如，在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)試驗(yàn)中，某作物只施氮肥畝（1畝=666.7m²）產(chǎn)增加30kg，只施磷肥畝產(chǎn)增加15kg，而同時(shí)施氮肥和磷肥畝產(chǎn)可增加85kg，大大超過單獨(dú)施氮肥和磷肥增產(chǎn)之和，這說明同時(shí)使用氮肥和磷肥產(chǎn)生了交互作用而使畝產(chǎn)大幅增加。

在雙因素試驗(yàn)中，因素A與因素B的交互作用是指兩因素聯(lián)合作用引起的效應(yīng)，而不是指因素A、B在不同水平組合A_iB_j對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的總效應(yīng)。因?yàn)椴煌浇M合下的總效應(yīng)既包括了因素A和因素B的主效應(yīng)，又包括因素A、B間的交互效應(yīng)。在方差分析中用A×B表示因素A和B的交互作用。

要考察雙因素交互作用，在試驗(yàn)安排上，應(yīng)對(duì)各A_iB_j組合設(shè)計(jì)重復(fù)實(shí)驗(yàn)，從試驗(yàn)總的變差平方和中分解出A和B交互效應(yīng)的變差平方和。

3.3.2　無交互作用雙因素試驗(yàn)方差分析

設(shè)影響試驗(yàn)結(jié)果的有A、B兩個(gè)因素，因素A取a個(gè)水平，B因素取b個(gè)水平，A、B每個(gè)水平搭配做一次試驗(yàn)，不考慮其交互作用。A的第i水平與B的第j水平搭配的試驗(yàn)結(jié)果為x_ij。試驗(yàn)水平、結(jié)果列于表3-9中。

其中

按單因素試驗(yàn)變差平方和的分解來討論雙因素試驗(yàn)結(jié)果變差平方和的分解，可推導(dǎo)得：

　　（3-17）

其中，因素A的變差平方和：

　?。?-18）

因素B的變差平方和：

　?。?-19）

誤差平方和：

　?。?-20）

各變差平方和的自由度：

并有

　?。?-21）

由此計(jì)算試驗(yàn)因素A、B和試驗(yàn)誤差e的方差估計(jì)值

分別計(jì)算因素A和B的統(tǒng)計(jì)量：

　?。?-22）

　?。?-23）

可以證明，F_A、F_B服從F分布，選擇顯著性水平α，統(tǒng)計(jì)量與相應(yīng)F分布的臨界值、比較，進(jìn)行方差檢驗(yàn)。表3-10列出了無交互作用雙因素試驗(yàn)方差分析參數(shù)。

【例3-3】　表3-11列出了催化劑濃度和反應(yīng)溫度對(duì)某化工產(chǎn)品產(chǎn)率影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)表列數(shù)據(jù)說明催化劑濃度和反應(yīng)溫度對(duì)產(chǎn)率的影響。

解　這是一個(gè)雙因素?zé)o重復(fù)的試驗(yàn)。由于無重復(fù)試驗(yàn)，不能考察催化劑濃度和反應(yīng)溫度的交互作用。按計(jì)算式（3-17）～式（3-20）計(jì)算催化劑濃度和反應(yīng)溫度影響的變差平方和、總的試驗(yàn)變差平方和和試驗(yàn)誤差的變差平方和：

本試驗(yàn)中a=5，b=6，計(jì)算自由度，ν_T=ab-1=29，ν_A=a-1=4，ν_B=b-1=5，ν_e=（a-1）（b-1）=20。

計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F，

將計(jì)算的統(tǒng)計(jì)參數(shù)填入表3-12中。

方差分析表明溫度對(duì)產(chǎn)品產(chǎn)率有顯著的影響，其F_B值遠(yuǎn)大于，溫度升高產(chǎn)率顯著增加；而催化劑濃度對(duì)產(chǎn)率有影響，F_0.01>F_A>F_0.05，其影響遠(yuǎn)不及溫度的影響顯著。最終選擇何種工藝條件，要綜合考慮工藝成本、原料成本和設(shè)備條件等因素。

另外為減少計(jì)算中計(jì)數(shù)的麻煩，本例亦可采用簡(jiǎn)化的計(jì)算方法，將原數(shù)據(jù)均減去80，其基本數(shù)據(jù)和簡(jiǎn)化計(jì)算的中間參數(shù)列于表3-13中，計(jì)算Q_T、Q_A、Q_B、Q_e和統(tǒng)計(jì)量F，并進(jìn)行F檢驗(yàn)。

以下同上計(jì)算。表3-13的統(tǒng)計(jì)結(jié)果與表3-11統(tǒng)計(jì)結(jié)果一致。如果采用Excel的數(shù)據(jù)分析或其他統(tǒng)計(jì)軟件，計(jì)算更為簡(jiǎn)捷。第13章圖13-17、圖13-18列出了無重復(fù)雙因素方差分析的Excel的數(shù)據(jù)分析表格計(jì)算實(shí)例。

3.3.3　有交互作用雙因素試驗(yàn)方差分析

在雙因素試驗(yàn)方差分析中，當(dāng)考慮交互作用，則要求兩個(gè)因素的每一個(gè)水平搭配至少做兩次重復(fù)試驗(yàn)。雙因素交叉分組試驗(yàn)安排如表3-14所示，因素A設(shè)a個(gè)不同水平，因素B設(shè)b個(gè)不同水平，每個(gè)水平搭配試驗(yàn)重復(fù)c次，共進(jìn)行a×b×c次獨(dú)立試驗(yàn)，試驗(yàn)的觀測(cè)值為x_ijk，因素A和B 的交互作用記為A×B。

表3-14試驗(yàn)結(jié)果的方差分析為：

　?。?-24）

　　（3-25）

其中，i=1，2，…，a；j=1，2，…，b；k=1，2，…，c。

總的變差平方和Q_T，反映全部測(cè)量數(shù)據(jù)的變動(dòng)性：

　?。?-26）

式中，

因素A的變差平方和Q_A反映因素A在各水平引起的變動(dòng)性，

　?。?-27）

式中，；bc為在A_i各水平試驗(yàn)搭配的次數(shù)。

因素B的變差平方和Q_B反映因素B在各水平引起的變動(dòng)性，

　?。?-28）

式中，ac為在B_j各水平試驗(yàn)搭配的次數(shù)。

因素A和B交互作用的變差平方和Q_A×B反映因素A和B的交互作用在各水平引起的變動(dòng)性，

式中，

試驗(yàn)誤差的變差平方和Q_e反映隨機(jī)誤差引起的變動(dòng)性，

　　（3-29）

當(dāng)不進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，即c=1，計(jì)算得Q_e=0，這時(shí)交互作用和試驗(yàn)誤差合并在一起，不能分離出來。當(dāng)c≥2，試驗(yàn)因素中的交互作用可從試驗(yàn)誤差中分離出來。

根據(jù)變差平方和的加和性原理，有：

　?。?-30）

其相應(yīng)自由度為：

并有

　?。?-31）

根據(jù)各因素的試驗(yàn)變差平方和和相應(yīng)的自由度進(jìn)行方差檢驗(yàn)，F值及相應(yīng)參數(shù)計(jì)算列于表3-15中。

對(duì)有重復(fù)試驗(yàn)的雙因素方差分析，應(yīng)先檢驗(yàn)兩因素之間的交互作用，如交互作用不顯著，可將交互作用變差平方和合并于誤差的平方和中（兩者自由度同時(shí)合并），作為誤差方差估計(jì)值，再進(jìn)行各因素的方差分析。如果交互作用顯著，則采用表3-15進(jìn)行有交互作用雙因素方差分析。

下面的實(shí)例是在相同的條件下進(jìn)行兩組試驗(yàn)，分別進(jìn)行無重復(fù)試驗(yàn)和有重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析，并剖析兩者的關(guān)系。

采用原子吸收法測(cè)定鋼鐵中的錳，試驗(yàn)了乙炔和空氣流量對(duì)錳279.5nm處吸光度的影響，試驗(yàn)結(jié)果列于表3-16。

采用3.3.2無交互作用雙因素試驗(yàn)方差分析的計(jì)算模式，計(jì)算結(jié)果和F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量列于表3-17中。

試驗(yàn)結(jié)果和方差分析表明，乙炔流量顯著影響錳的吸光度，而空氣流量對(duì)錳吸光度的影響并不顯著。

觀察表3-16的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，乙炔和空氣流量對(duì)錳吸光度的影響較復(fù)雜。在空氣流量7.0L/min和8.0L/min兩水平，隨著乙炔流量的增加，錳吸光度先增加后降低，而在9.0L/min和10.0L/min兩水平，隨著乙炔流量的增加，錳吸光度逐漸降低；在乙炔流量1.0L/min、1.5L/min和2.0L/min水平，隨著空氣流量的增加，錳吸光度先增加后降低，在2.5 L/min水平，錳吸光度隨空氣流量增加而增加。由于無重復(fù)試驗(yàn)，方差分析并不能發(fā)現(xiàn)乙炔和空氣流量對(duì)錳吸光度的影響是否存在交互作用。

為了進(jìn)一步探討乙炔流量和空氣流量對(duì)錳吸光度的影響，設(shè)計(jì)了在相同測(cè)量條件下的重復(fù)試驗(yàn)，即在每個(gè)乙炔和空氣流量搭配水平重復(fù)進(jìn)行兩次試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)見表3-18。

按有重復(fù)雙因素方差分析計(jì)算式計(jì)算：

將計(jì)算結(jié)果、各因素自由度和統(tǒng)計(jì)量寫入方差分析表（表3-19）中。

統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，乙炔流量、空氣流量及兩者的交互作用都是高度顯著的，其中乙炔流量的影響更為明顯。錳的吸光度隨乙炔流量的變化程度與空氣流量大小有關(guān)，說明兩者同時(shí)影響錳吸光度的變化，即乙炔流量與空氣流量對(duì)錳吸光度的變化有交互作用。

比較表3-17和表3-19，在無重復(fù)雙因素方差分析中，空氣流量對(duì)錳吸光度的影響并不顯著，這是因?yàn)榻换プ饔玫挠绊懓ㄔ谡`差的變差平方和中增大了誤差的方差估計(jì)量，降低了F檢驗(yàn)的靈敏度，妨礙了對(duì)空氣流量影響的判斷。而有重復(fù)雙因素方差分析中，將誤差的影響與交互作用的影響分離，提高了F檢驗(yàn)的靈敏度。

由此，當(dāng)被試驗(yàn)因素之間存在交互作用時(shí)，必須進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，估計(jì)試驗(yàn)誤差的影響和交互作用的影響，正確評(píng)價(jià)各試驗(yàn)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響。

通過雙因素方差分析，找出了乙炔流量和空氣流量對(duì)錳原子吸收法測(cè)量影響的主次關(guān)系，但乙炔和空氣流量多少時(shí)能得到最佳測(cè)量效果呢？進(jìn)行正交試驗(yàn)可很好地回答這個(gè)問題。

第13章圖13-19列出了有重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析的Excel表格計(jì)算實(shí)例。