3.2　單因素方差分析

3.2.1　單因素方差分析一般方法

以下進一步討論單因素方差分析的原理和一般統計方法。

設有m個樣本，它們來自具有共同方差σ²的m個正態總體。如果原假設H₀：μ₁=μ₂=…=μ_m=μ成立，則m個總體既具有共同的方差σ²，又有共同的均值。因此，從m個完全相同的總體中各抽取一個樣本，就相當于從同一總體中抽取m個樣本。在原假設H₀成立的條件下，總方差估計值、試驗因素和試驗誤差方差估計值具有相同的期望值σ²。由此，計算試驗數據總變差平方和、試驗因素變差平方和和試驗誤差平方和，根據各自的自由度，統計總方差估計值、試驗因素方差估計值和試驗誤差方差估計值，采用F檢驗法判斷試驗因素方差與試驗誤差方差是否存在顯著性差異。由于原假設為m個總體的均值μ₁、μ₂、…、μ_m都相同，方差分析的實質就是檢驗多個總體的均值是否一致。

通過對以上實例的分析，方差分析的統計程序可簡單表示為：

①提出原假設H₀和備擇假設H₁，

H₀：μ₁=μ₂=…=μ_m

H₁：各總體均值不全部相等

②由樣本值計算各項變差平方和及其自由度，計算各項方差估計值；

③選擇顯著性水平α，由F分布表查出相應自由度下的臨界值，顯著性水平α的取值由試驗和評價要求決定；

④計算統計量F值；

⑤將F值與比較，若，接受原假設，表示試驗因素沒有顯著影響。當，拒絕原假設H₀，接受備擇假設H₁，表示試驗因素有顯著影響；

⑥通常，如果，表示試驗因素的影響是顯著的，在“顯著性”欄標記^*，如果，表示試驗因素的影響是高度顯著的，標記^**。

為清晰顯示方差分析過程，可將試驗數據、方差分析統計參數分別列表表示，如表3-1～表3-4所示。

單因素方差分析有等重復測量次數和不等重復測量次數兩種試驗情況。

3.2.2　各水平等重復次數的單因素方差分析

設一個單因素試驗，因素A取m個不同水平，每個水平重復n次試驗，所得試驗結果如表3-3所示。

表中x_ij表示水平A_i在第j次試驗中的測量結果，

　　（3-1）

　　（3-2）

和分別表示水平A_i測量結果的平均值和測量的總平均值。

計算測量結果總的變差方和：

由于

因此

不難發現，試驗誤差變差平方和：

　　（3-3）

因素A的變差平方和：

　　（3-4）

所以

　　（3-5）

另外，Q_T、Q_A和Q_e還可表示為

令分別為各水平全部測量值的總和及第i水平時測量值總和，則

　　（3-6）

　　（3-7）

　　（3-8）

Q_T平方和與nm個數據有關，其自由度ν_T=nm-1，Q_A平方和與m個組（因素）有關，自由度ν_A=m-1，而Q_e涉及m組nm個數據，其自由度ν_e=nm-m=m（n-1）。由此：

　　（3-9）

分別計算因素A的方差估計值和誤差的方差估計值：

　　（3-10）

　　（3-11）

計算統計量F_A，進行F檢驗：

　　（3-12）

按原假設，和都是σ²的無偏估計，所以兩者的比值F_A應接近于1。如果F_A值比1大得很多，即因素A的方差估計值比試驗誤差方差估計值大得很多，說明樣本值同原假設有顯著差異，拒絕原假設。

對于給定顯著性水平α，查F分布表，如果，拒絕原假設。

對以上統計的方差分析參數以表3-4表示。

第9章表9-1、表9-2列出了標準物質均勻性檢驗方差分析表實例。

3.2.3　各水平不等重復次數的單因素方差分析

在試驗中，如果各水平的重復次數不同，分別為n_i，則

　　（3-13）

則Q_A、Q_e和Q_T可表示為：

　　（3-14）

　　（3-15）

　　（3-16）

試驗設計有m個水平，每水平進行n_i次，共N次試驗。因此，Q_T平方和的自由度ν_T=N-1，Q_A平方和的自由度ν_A=m-1，Q_e涉及m組N個數據，其自由度ν_e=N-m。

【例3-2】　采用ICP發射光譜法測定鐵礦石中的鋁，試樣用碳酸鈉/四硼酸鈉熔融分解，酸浸取，定容于250mL容量瓶中，于ICP光譜儀測量鋁308.22nm光譜強度。現考察樣品中的鐵量（30%～70%）對鋁含量測定的影響，試驗數據列于表3-5，所有測量結果均在含60%鐵量的校準曲線上查取，試評價樣品所含鐵量對鋁量測定的影響。

本例是不等重復次數的單因素多水平試驗，按式（3-14）～式（3-16）計算鐵量影響的變差平方和、試驗誤差的變差平方和和總的試驗變差平方和，以及相應的自由度，由此計算相應的方差估計值，將這些統計參數填入表3-6中，最后計算得方差分析統計量F_A=2.15，F_A小于F_{0.05（5，14）}和F_{0.01（5，14）}。

由此，樣品中的鐵量在30%～70%內變化，對鋁量測定的影響不顯著，在分析測試時可采用含同一鐵量（如60%或其他的鐵量）的校準曲線。本例試驗數據的Excel表格計算見第13章圖13-16。

不等重復次數的單因素多水平試驗較等重復次數的單因素多水平試驗的數據處理要麻煩。當總的試驗次數N相同時，等重復次數試驗的精度比不等重復次數試驗要好。通常情況下的試驗多設計為等重復測量次數。