3.1　變差平方和的分解

在分析測試中，對一個樣品進(jìn)行重復(fù)測試，所得到的測量值不盡相同，它們之間的差異稱為變差。如果一個測量值受多個因素的影響，則每個因素都要對測量的總變差做貢獻(xiàn)。

數(shù)理統(tǒng)計中通常用變差平方和來表征測量結(jié)果變動性的大小，變差平方和是一組測量數(shù)據(jù)每個測量值x_i與平均值之差的平方總和：

變差平方和簡稱平方和，是表示每個測量值x_i偏離測量平均值的程度的一個總量度，它的數(shù)值愈大，表示測量值之間的差異愈大。變差平方和的特點是考慮了每一個測量值所提供的信息，變差平方和隨測量值數(shù)目的增加而增大。如果不知道測量次數(shù)的多少，單純以變差平方和還不能判斷測量數(shù)據(jù)變動性的大小。為此，數(shù)理統(tǒng)計中更常用方差s²來表征變差的大小：

式中，ν為自由度。方差s²表征了變差大小的統(tǒng)計平均值。方差中采用了平方和的表示式，因此測量值中偏離平均值大的測量值對平方和的貢獻(xiàn)就大，這在統(tǒng)計中有利于對異常因素和異常值的判斷。

總的變差平方和等于各因素引起的變差平方和的總和。變差平方和的加和性是方差分析的基礎(chǔ)。

在認(rèn)識方差分析前，以實例說明變差平方和的加和性和方差分析的基本思想。

【例3-1】　某產(chǎn)品生產(chǎn)中一直使用甲廠提供的原料，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)甲廠原料純度變動較大，進(jìn)行了不同批次原料對產(chǎn)品的收得率試驗，試驗結(jié)果如表3-1所示，試問不同批次原料對產(chǎn)品的收得率是否有顯著影響。

顯然，如果沒有試驗誤差，那只要對各批次各做一次試驗，就可比較其收得率大小。然而，試驗結(jié)果總是受試驗誤差的影響。雖然每批次的平均值有明顯的差別，但因不知道試驗誤差影響的大小，仍然不能判斷其差別是試驗誤差引起的還是原料批次引起的。因此，為能做出一個合理的判斷，我們首先要對試驗誤差影響的大小有個定量的估計，并計算原料批次影響的大小，然后加以比較，從統(tǒng)計上給出合理的評價。

所有試驗收得率的總變差平方和用Q_T表示，它表示全部15次試驗的收得率與收得率總平均值（76.573%）之差平方的總和：

試驗誤差影響的大小可以用每次收得率與其批平均收得率之差的平方和Q_e表示，即

試驗進(jìn)行3批次，每批次收得率平均值分別為78.02%、76.56%和75.14%，則每批次平均值與總平均值之差的平方和表示批次對收得率的影響，由于每批次進(jìn)行5次試驗，因此其平方和還要乘以5，以Q_A表示原料批次對收得率影響的大小：

不難看出，有

計算表明，收得率的變動性可分解成原料批次引起的變動性和試驗誤差引起的變動性兩個部分，即數(shù)據(jù)總的變差平方和等于因素A（批次）變動引起的變差平方和加上試驗誤差變差平方和。對多因素的試驗，總的變差平方和等于各因素引起的變差平方和的總和。

從變差平方和的計算方法可知，變差平方和不僅與數(shù)據(jù)本身大小有關(guān)，還與數(shù)據(jù)數(shù)目有關(guān)。為消除數(shù)據(jù)數(shù)目對平方和的影響，在統(tǒng)計方法中采用平均平方和Q_A/ν_A、Q_e/ν_e進(jìn)行比較，這里的ν_A和ν_e分別是Q_A和Q_e的自由度。

平方和中能夠獨立地變化的項數(shù)，稱為這個平方和的自由度。上例中Q_e涉及3組15個數(shù)據(jù)，其自由度ν_e=15-3=12；Q_A涉及3組數(shù)據(jù)，自由度ν_A=3-1=2；Q_T涉及15個數(shù)據(jù)，ν_T=15-1=14。由此，Q_T的自由度ν_T等于Q_A的自由度ν_A加上Q_e的自由度ν_e。即總變差平方和的自由度等于各因素變差平方和自由度之和（ν_T=ν_A+ν_e），這就是自由度的加和性。

這樣，就可以進(jìn)行批次引起的變差因素與試驗誤差因素的比較了，計算統(tǒng)計量F_A，

顯然，如果F_A接近1，表明批次因素A的影響與試驗誤差的影響相近，無顯著性差異；當(dāng)F_A大于1，表示因素A的影響比誤差的影響大；而F_A小于1，表示因素A的影響比誤差的影響要小。一般來講，影響大，并不表示在統(tǒng)計上是顯著的。現(xiàn)在要問，F_A多大時才認(rèn)為因素A的影響是顯著的。統(tǒng)計研究表明，F_A是服從F分布的。由此，在進(jìn)行統(tǒng)計分析時，由F分布表查出給定顯著性水平α的臨界值，當(dāng)時，可認(rèn)為相對于試驗誤差，因素A的影響不顯著，而當(dāng)時，則認(rèn)為因素A的影響顯著。

由此，

查F分布表，F_{0.05（2，12）}=3.89，F_{0.01（2，12）}=6.93

方差分析表明，在0.05顯著性水平下，原料批次對收得率有顯著的影響，而在0.01顯著性水平，認(rèn)為其影響不顯著。如果要得到更為可靠的結(jié)論，需增加原料批次的試驗。表3-2列出了本例方差分析各統(tǒng)計參數(shù)。