3.2.1　基本概念

連續(xù)體的一切復雜行為，都可歸結(jié)為由最簡單的微元行為構(gòu)成。反映微元屬性的基本規(guī)律稱為本構(gòu)關(guān)系，亦即本構(gòu)方程^[39]。橡膠材料的本構(gòu)關(guān)系通常是指其應力-應變關(guān)系。

不同于其他彈性固體，橡膠材料表現(xiàn)出明顯的非線性高彈性。其非線性表現(xiàn)為：大變形所導致的幾何非線性，以及由于材料本身所引發(fā)的物理非線性。由于橡膠材料的本構(gòu)非線性，其本構(gòu)關(guān)系一般由應變能函數(shù)（W）表示，而不是簡單的應力-應變關(guān)系。針對W的研究主要有以下兩種途徑：一是基于連續(xù)介質(zhì)力學的唯象理論；二是基于分子鏈微觀結(jié)構(gòu)及構(gòu)象熵改變的統(tǒng)計理論。

其中，唯象理論的研究大致可分為三部分。第一，以應變不變量（I）為研究基礎(chǔ)，建立W與I的函數(shù)，即W=（I₁，I₂，I₃）。典型的代表有：Neo-Hookean應變能函數(shù)^[40]、Mooney-Rivlin應變能函數(shù)^[41]、Yeoh應變能函數(shù)^[42]等。第二，以拉伸比λ為研究基礎(chǔ)，建立W與λ的函數(shù)，即W=（λ₁，λ₂，λ₃）。典型的代表有：Ogden應變能函數(shù)^[43]、Valanis-Landel應變能函數(shù)^[44]。第三，混合型模型，即混合上述兩種典型的W所得到，如：Gent + Ogden應變能函數(shù)^[45]。

而統(tǒng)計理論的研究亦可分為三部分。第一，基于Gaussian統(tǒng)計理論的模型，滿足如下假定：①交聯(lián)點由4個有效鏈組成，且交聯(lián)點是無規(guī)分布的；②交聯(lián)點間的鏈段為Gaussian鏈，末端距符合無規(guī)分布；③由Gaussian鏈組成的各向同性網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)象總數(shù)為各網(wǎng)鏈構(gòu)象數(shù)目的乘積；④交聯(lián)點固定在它們的平衡位置上，當橡膠試樣變形時，交聯(lián)點隨之發(fā)生仿射變形。典型的代表有Neo-Hookean應變能函數(shù)（小變形條件）。第二，基于非Gaussian統(tǒng)計理論的模型，典型的代表有：James-Guth 3鏈應變能函數(shù)^[46]、Flory 4鏈應變能函數(shù)^[47]、Arrude-Boyce 8鏈應變能函數(shù)^[48]。第三，混合型模型，典型的代表有：Flory-Erman + Arrude-Boyce應變能函數(shù)^[49]、James-Guth + Arrude-Boyce應變能函數(shù)^[50]。

對于各向同性材料，第一、第二、第三應變不變量如下：

　　（3.3a）

　　（3.3b）

　　（3.3c）

式中，λ表示拉伸比，下標1、2、3代表三個方向。橡膠材料通常認為是不可壓縮材料，即I₃=1，此時Cauchy應力σ可表示為^[51]：

　　（3.4）

式中，p表示靜水壓力，取決于邊界條件；B表示左Cauchy-Green變形張量。

為了準確模擬橡膠制品在不同工況下的應力-應變行為，需要考慮的外部加載方式應包括單軸拉伸、平面拉伸（純剪切）、雙軸（或等雙軸）拉伸等加載方式，因而由式（3.4）可得到不同拉伸狀態(tài)下的σ-λ的關(guān)系式。

①單軸拉伸：

　　（3.5）

② 平面拉伸（純剪切）：

　　（3.6）

③雙軸拉伸：

　　（3.7a）

　　（3.7b）

④等雙軸拉伸：

　　（3.8）

單軸拉伸、等雙軸拉伸以及平面拉伸的測試夾具分別見圖3.23（a）～（c），單軸拉伸、等雙軸拉伸以及平面拉伸的測試樣條在加載前后的變形情況分別見圖3.23（d）～（f）。圖3.24是炭黑填充天然橡膠在三種加載條件下的應力-應變曲線。下面簡要地介紹橡膠材料的典型本構(gòu)模型，包括唯象理論模型和分子統(tǒng)計理論模型。