3.2.2　唯象理論模型

（1） Mooney-Rivlin應變能函數(shù)

通過觀察橡膠材料在小變形條件下的簡單剪切實驗，Mooney發(fā)現(xiàn)其力學響應符合線性關(guān)系，因此建立基于I₁、I₂的W：

　　（3.9）

式中，C₁₀與C₀₁為材料參數(shù)。

Rivlin等^[52]對其進行了發(fā)展，認為橡膠材料拉壓同性，因此將式（3.9）變?yōu)榛?i>I₁、I₂的高階多項式的形式，即：

　　（3.10）

式中，C_ij為材料參數(shù)，并賦值C₀₀=0。

式（3.10）中，在材料變形不大并取值i=1，j=0及i=0，j=1時，式（3.10）即可轉(zhuǎn)變?yōu)槭剑?.9）。Mooney-Rivlin應變能函數(shù)被廣泛地應用于中等變形條件下。

（2）Neo-Hookean應變能函數(shù)

Neo-Hookean應變能函數(shù)是形式最簡單的橡膠應變能函數(shù)，僅具有一個材料參數(shù)C₁₀，其函數(shù)形式如下：

　　（3.11）

對比式（3.10）與式（3.11）可知，式（3.10）取一項（i=1，j=0）時，Mooney- Rivlin應變能函數(shù)即可轉(zhuǎn)變?yōu)镹eo-Hookean應變能函數(shù)。

當變形不大時，應用分子統(tǒng)計理論可得到橡膠材料的應變能函數(shù)：

　　（3.12）

式中，n是分子鏈的鏈密度；k是Boltzmann常數(shù)；T是熱力學溫度。

對比式（3.11）與式（3.12）可知，雖然唯象理論與統(tǒng)計理論的機理不同，但式（3.11）與式（3.12）卻表現(xiàn)出高度的相似性，可見Neo-Hookean應變能函數(shù)的準確性及重要性。Neo-Hookean應變能函數(shù)適用于小應變條件。

（3） Yeoh應變能函數(shù)

Yeoh通過對Mooney-Rivlin應變能函數(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)其對于表征橡膠材料在大應變時的“硬化”現(xiàn)象存在缺陷；另外在此模型中，在大變形時要遠大于，且隨著變形的增大而逐漸趨近于零^[42,53]。基于以上兩點，Yeoh提出僅基于I₁的三階多項式應變能函數(shù)：

　　（3.13）

式中，C_i0為材料參數(shù)。

與Neo-Hookean應變能函數(shù)及Mooney-Rivlin應變能函數(shù)相比，Yeoh應變能函數(shù)能夠表征橡膠材料在大應變時的“硬化”現(xiàn)象，同時Yeoh應變能函數(shù)具有更大的應變適用范圍。

（4）Gent應變能函數(shù)

不同于Mooney-Rivlin應變能函數(shù)以及Yeoh應變能函數(shù)，Gent應變能函數(shù)^[54]引入了分子鏈極限拉伸比的概念，即引入I₁的最大值I_m，并將W以自然對數(shù)的形式加以描述。函數(shù)關(guān)系如下：

　　（3.14）

式中，E、I_m為材料參數(shù)。

當I_m趨于無窮時，式（3.14）可等價為式（3.11），即Neo-Hookean應變能函數(shù)。Gent應變能函數(shù)表達形式較為簡單，但不適用于小變形條件。

（5）Yeoh-Fleming應變能函數(shù)

Yeoh與Fleming^[55]對四種不同橡膠材料進行拉伸測試，發(fā)現(xiàn)在大應變條件下，減縮的Mooney應力趨近于常值而與I₁無關(guān)。故對Gent應變能函數(shù)進行了改進，得到Y(jié)eoh-Fleming應變能函數(shù)：

　　（3.15）

式中，A、B、C₁₀、I_m均為材料參數(shù)。

（6）Ogden應變能函數(shù)

基于I₁、I₂所描述的應變能函數(shù)需要復雜的數(shù)學計算，因此Ogden提出一種直接使用拉伸比的多項式函數(shù)關(guān)系：

　　（3.16）

式中，μ_i及α_i均為材料參數(shù)。

此外，Rivlin與Sawyers^[56]及Treloar^[57]均指出，Ogden應變能函數(shù)為Mooney-Rivlin應變能函數(shù)的特殊等效形式。當i取值1和2、α_i取值2和–2時，Ogden應變能函數(shù)可化為下式：

　　（3.17）

Ogden應變能函數(shù)適用的應變范圍較寬，3階的Ogden應變能函數(shù)就可較好地模擬不同拉伸狀態(tài)下的應力-應變行為。

（7）Valanis-Landel應變能函數(shù)

鑒于λ表示的應變能函數(shù)可直接利用實驗數(shù)據(jù)的優(yōu)點，Valanis-Landel提出一種不可壓縮材料應變能函數(shù)的分離對稱式：

　　（3.18）

應變能函數(shù)W的確定受到ω(λ_i)的限制，對此Valanis-Landel提出了如下的關(guān)系：

　　（3.19）

基于實驗，Valanis-Landel進一步給出如下關(guān)系：

　　（3.20）

該應變能函數(shù)適用于中等應變條件。

（8）Peng-Landel應變能函數(shù)

Peng與Landel^[58]在Valanis-Landel應變能函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出了Peng-Landel應變能截斷函數(shù)：

　　（3.21）

與已發(fā)表的雙軸實驗數(shù)據(jù)相比，Peng-Landel應變能函數(shù)的有效適用范圍為1<λ<2.5。

（9）混合型應變能函數(shù)

考慮到大多數(shù)應變能函數(shù)不能同時適用于小變形與大變形條件或者僅適用于單一的變形狀態(tài)，因此混合型應變能函數(shù)便成了一種不錯的選擇。混合型應變能函數(shù)既能夠保證模擬的精度，同時又能兼顧兩種應變能函數(shù)各自的特點。Beda及Chevalier^[45]綜合考慮了Gent應變能函數(shù)和Ogden應變能函數(shù)的特點，以Gent應變能函數(shù)描述小應變狀態(tài)、以O(shè)gden應變能函數(shù)描述大應變狀態(tài)，得到了Gent + Ogden應變能函數(shù)：

　　（3.22）

式中，α為大于2的實數(shù)。該混合應變能函數(shù)能夠適用于較大的應變范圍。