4.5　共形地圖

雖然球面投影地圖具有保持直線不變的優點，但是對于幾乎所有的目的，為了保持角度不變而放棄保持直線不變會好得多。如果一張地圖能保持角的大小和指向8都不變，則稱為共形的9；如果它保持角的大小不變，而使角的指向相反，則稱為反共形的。

8逆時針（）或順時針（）。

9也常譯為保形的，或保角的。——譯者注

我們所說的兩曲線的夾角是指它們交點處兩切線的夾角，見圖 4-4。

根據度量公式 (4.1)，一個地圖是共形的，當且僅當擴張因子 不依賴于從 出發的無窮小向量 的方向 ：

共形地圖的一大優點是

事實上，18 世紀的數學家所稱的無窮小相似，就是現代術語中的共形概念。

顯然，由結論 (4.13) 右邊的等式可推出共形性，現在通過圖 4-5 說明反過來也是可以的。圖 4-5 左圖是曲面的共形地圖，其中的三角形在向一個點收縮。此時，曲面上對應的曲線三角形就會收縮到一個直線三角形，用序幕里介紹的術語來說就是，地圖上的三角形與曲面上的三角形是最終相似的，即存在某個與三角形的邊 和 的方向無關的 ，使得

于是，我們證明了，由共形性可推出結論 (4.13) 右邊的等式。

在討論一般度量公式 (4.7) 時，顯然可以只考慮曲面上由 曲線和 曲線組成正交坐標系的情形，地圖上與其對應的是由縱橫直線組成的正交坐標系。但是在這個階段，一般來說，兩個方向上的拉伸因子 和 是不同的，所以地圖上的無窮小圓就拉伸為曲面上的橢圓了，而且夾角也會改變。

現在考慮更特殊的情形：拉伸因子在所有方向上都是相同的，即 。于是無窮小圓映射為無窮小圓，角度保持不變。在這種情況下， 坐標稱為共形坐標（或等溫坐標），式 (4.9) 簡化為歐幾里得度量的簡單倍數：

這是一個很強的限制條件，以至于有人擔心這樣的地圖可能根本不存在。但是，高斯在 1822 年發現，對于一般曲面，總是有可能（至少局部地）畫出一張這樣的地圖。值得注意的是，這個證明（見第 97 頁習題 8）依賴于復數——事實上，復分析和共形地圖之間有很深的聯系，這是下一節的主題。

曲率公式 (4.10) 已經很優美了，但是現在可以變得更加優美。10回憶一下二階拉普拉斯微分算子11：

10根據 Dombrowski (1979, 第 128 頁)，這是高斯最早發現的曲率公式，記錄在他 1822 年 12 月 13 日的個人筆記中，見 Gau? (1973, 第 381 頁)。直到 1825 年，他才發現了一般（非共形的）正交坐標系的曲率公式，但是他也沒有公布。最后，在 1827 年，他終于建立了在非正交坐標系里最一般的曲率公式（見 Gauss, 1827）。這個公式極其復雜、丑陋，但只有這個公式出現在了高斯最后的杰作里。我們注意到，高斯有深思熟慮的習慣，也有故意隱瞞自己研究動機和過程的習慣，而且他對自己的這個習慣感到非常自豪，曾宣稱“沒有建筑師會在建筑完工后還留著腳手架不拆”。但我們認為故意隱瞞自己研究動機和過程的習慣是可悲的。

11物理學家喜歡用 表示這個算子，數學家傾向于用記號 。我們不用后者，因為通常用 表示三角形。

現在，有了條件 ，容易［練習］將式 (4.10) 簡化為