4.4　度量曲率公式

假設我們只有曲面 的一個度量公式 (4.9)，沒有掌握 的任何直接幾何知識，也不知道坐標 和 本身的幾何意義。那么這個曲面是什么樣的呢？就 的內蘊幾何而言，這個公式告訴了我們一切，但這只是在原理上。我們如何真正從這個公式獲取有用的信息呢？

如果我們（通過圖 2-3）知道每個點的曲率 ，則能清楚地了解曲面 的本質和形狀。又因為從度量可以知道關于內蘊幾何的一切信息，所以它一定包含（特別是）關于曲率的信息。因此，我們可以假設存在一個 的公式。而且，由于度量公式的對稱性，顯然， 的公式在同時交換 與 時也是對稱的。

下面這個 的公式美6得令人驚嘆：

6大多數教科書仍然保留高斯最初的 記號，由此，這個著名的公式中就出現了 5 個令人心煩的平方根，從而不必要地破壞了這個公式的美麗。

要得到這個簡單而優美的公式，路還很長：第四幕中的第 27 章首先利用幾何方法推導出這個公式，第五幕中的 38.8.2 節通過計算（使用嘉當的微分形式）再次推導出這個公式。但現在，我們認為它是來自未來的超先進技術，就像《星際迷航》里 23 世紀的相位槍：現在就可以用它向目標開火，盡管我們對它的工作原理7一無所知。

7這樣做并非沒有風險：在《星際迷航》的“永恒邊界之城”這集中，麥科伊醫生使用偷來的相位槍給 20 世紀帶來的悲劇就是明證。

例如，在歐幾里得度量 中有 ，所以就得到了我們已知的結果：

此外，在球面坐標度量公式 (4.4) 中有 ，再次得到了我們已知的結果：

雖然計算比較長，但我們鼓勵你親自動手嘗試將這個公式應用于球面的射影度量公式 (4.2)，也應該得到 。

在進入下一節之前，看看稍后需要的另一個結果。度量告訴我們怎樣將地圖上的一小段距離轉換為曲面上的距離。但是，我們應該如何轉換面積呢？在圖 4-3 中，地圖上一個小矩形的面積為 ，它在曲面上有一個對應平行四邊形，其面積最終等于 。因此，利用式 (4.7)，曲面上的無窮小面積元 由如下公式表示：

我們通常會指定使用正交坐標系，此時 ，這個公式簡化為