4.3　一般曲面上的度量

地圖對于航行至關重要，幾個世紀以來，數學家們探索了許多不同的方法來繪制地圖，這里只簡要介紹其中特別重要的一種，其他制圖法留到這一幕末尾的習題中探討。現在我們只想指出：每一種這樣的制圖法都有各自不同的度量公式，盡管它們表達了同樣的內蘊幾何。

例如，給地球上某個地方定位的最常用方法是提供它的經度 和緯度 。可以在平面上用這兩個角度畫出直截了當的地圖：橫軸坐標為 ，縱軸坐標為 。也就是說，如果一幢房屋在平面地圖上有經度 和緯度 ，可以用直角坐標 表示它的位置。借助圖 2-4，易知［練習］度量公式為

它告訴了我們球面上對應于地圖上那些鄰近點之間的真實距離。這個公式看起來與式 (4.2) 很不一樣，但我們知道，實際上它們表達的是完全相同的內蘊幾何。

即使我們把曲面簡單地選取為平面，也有無窮多種可能的度量公式。例如，用直角坐標系有 ，用極坐標系有 。

現在，我們來考察普通曲面最一般的度量公式的形式和意義。圖 4-3 展示了如何給曲面 上的一小片畫一張一般的地圖。對于這一小片上的每個點 ，我們的第一個目標是指定它的坐標為 ，使得可以在平面地圖上用復數 來表示它。

首先，在這一小片曲面上隨意畫滿一族曲線，對于曲面上的每個點 ，有且只有一條曲線經過。我們給每一條曲線標記唯一的數 ，這些曲線稱為 曲線。標數可以很隨意，只要求數值平緩變化，也就是說，當我們在曲面上移動越過 曲線時， 的值按照確定的變化率變化（即可微的，稍后解釋可微的意義）。

要完成坐標系，我們還要畫第二族曲線，畫法也很隨意，只要求它們與 曲線相交，但不重合。現在給新曲線標記 值，也要求它們按照確定的變化率可微地變化（按照與前面同樣的方式）。新曲線族稱為 曲線。這樣，如圖 4-3 所示，對于點 ，可以用在此相交的唯一一對 曲線（例如 ）和 曲線（例如 ）來標記。在地圖上可以用復數 表示 。如圖 4-3 所示，在地圖上 曲線被映射為垂直直線， 曲線被映射為水平直線。

現在，我們至少在曲面的某個局部建立了坐標系，接下來的任務就是找到定義兩個鄰近點之間距離的度量公式。在地圖上讓 沿著方向 做微小移動。由于 值對 曲線可微，根據可微的定義，對應微小變化 ，曲面上沿著 曲線的微小移動 與 最終成比例。我們設 為這個比例在這個點處的值：

這一點很重要，我們重申： 是在 地圖水平方向上的局部比例因子，必須在地圖上拉伸一小段水平距離獲得曲面上的真實距離，從而得出這個因子。

還有另一種形象化的方法，甚至可以不看地圖。在圖 4-3 中，想象 曲線是按照固定的增量 畫出來的（即 ），則 也可以看作與 曲線的聚集度（或密度）成反比： 曲線越密集，曲面上給定的移動 引起地圖上的變化 就越大。

同樣，（在 保持不變時）由地圖上的微小變化 引起的曲面上的移動 與 最終成正比，于是，可以設 為地圖垂直方向上的局部比例因子：

最后，如圖 4-3 所示，我們記 為 曲線與 曲線的夾角。這個角顯然不是常數：與比例因子 和 一樣，角 是位置的函數。

現在將勾股定理應用于圖 4-3 中放大鏡里顯示的直角三角形：

經過簡化，并用回基于無窮小的符號（這是更標準的表示方法），我們有

你應該還會看其他的書，所以我們應該立即說明：在 1827 年的杰出原作中，高斯決定將這個度量公式記為4

4事實上，高斯用的記號是 和 ，而不是 和 ，但是后者后來成了標準記號。我們選擇忽略使用 和 的歷史。

在隨后的幾個世紀里，幾乎所有5的微分幾何研究論文和教科書都盲從地延用了 記號。我們知道 和 ，前面已經給出了簡單的幾何解釋，因此就不奇怪為什么在許多重要的公式中出現的是 和 （而不是 和 ）。結果就是，文獻被不必要的平方根弄得亂七八糟。因此，我們將在整本書中繼續使用符號 和 （代替 和 ），當你在別處遇到用 記號表達的度量公式時，可以像下面這樣翻譯。

5只有少數幾個例外。例如，海因茨 · 霍普夫（Hopf, 1956, 第 92 頁）偶爾寫過 和 ，布拉施克（Blaschke, 1929, 第 162 頁）偶爾用了和我們完全一樣的 記號。他們的“高貴血統”使得我們對記號的選擇有了幾分體面。

一般的度量公式有如下的簡化方法。顯然，一旦我們畫出了 曲線族，就可以畫出它們的正交曲線族，并選擇這個正交曲線族作為 曲線。在這種結構中始終有 ，從而 。因此，

然而請注意，通常不可能用一個 坐標系覆蓋整個曲面，即使非正交坐標系也不行。問題出在你無法避免兩條 曲線（和/或 曲線）相交的情況發生，在這種情況下，在交點處就會有兩個不同的 值。事實上，我們將會在第 19 章中看到，對于每個封閉曲面（除了甜甜圈以外）這些問題都是不可避免的。

例如，在地球表面，假設我們選擇 曲線為緯線圓（不一定要用 緯度），那么其正交曲線（即 曲線）一定是經線圓：所有的大圓都相交于南極和北極。因此，在南極點和北極點一定有無限個 值。