4.2　球面的投影地圖

圖 4-1 展示的是用中心投影法繪制南半球地圖的方法，說明了式 (4.1) 的意義。想象南半球是一個玻璃碗，放在復平面的原點 0 上，并想象在球心處有一個點光源，將一束光線穿過半球上的點 射到了復平面 上的點 。這樣就得到了南半球的平面地圖，稱為投影地圖（或投影模型）。

如果我們在半球上畫一個圓 ，那么穿過它的光線就會在三維空間中形成一個圓錐，落在復平面 上形成一個完美橢圓 。這是中心投影制圖法的一個非常特殊和不尋常的特性。如果 是一般曲面 （例如圖 1-9 中的曲面）上按照內蘊幾何定義的圓，則當 的半徑收縮時，它在一般地圖上的像 最終是橢圓。2回過頭來討論中心投影中的完美橢圓。顯然， 的主軸是徑向的，筆直指向遠離玻璃碗與平面的接觸點的方向。換言之，如果想象 繞 旋轉，則 分別在 和 處取得最小值和最大值。

2這是因為，如果映射是可微的，則它是一個局部線性變換，將圓局部變換為橢圓。

選擇如何繪制一個曲面的地圖取決于我們希望準確或忠實地表現哪些特征。例如，圖 4-1 說明中心投影地圖忠實地表現了直線：地圖上的一條直線代表球面上的一個大圓（即測地線）。但是，為保證對于直線的忠實表示，我們付出了一些代價，那就是不能準確地表示角的大小：球面上的兩條曲線相交的角度（通常）不是它們在地圖上對應曲線相交的角度。

實際上，球面上確實存在兩組正交曲線，它們映射到平面地圖上的曲線也是正交的：這就是經線和緯線。一個緯線圓(即半球上的水平橫截線) 映射為平面地圖上以原點為中心的圓周，經線（半）圓（即半球與過球心的縱向平面的截線）映射為平面地圖上通過原點的直線。如上所述，這些圓和直線確實相交成直角。我們現在利用這個事實，推導出球面上的度量在中心投影地圖中用極坐標 表示的公式。通過計算來完成這個任務［練習］并不難，但我們要用牛頓的幾何推理（就是在序幕中介紹過的推論方式）取而代之，并在本書里一直這樣做。

來看看圖 4-2。在平面地圖上做一個角度為 的小旋轉，使得點 在半徑為 的圓周上旋轉移動一段距離 ，則球面上的點 在水平的緯線圓上旋轉移動 。接著讓點 徑向外移 ，則點 沿縱向的經線圓向北移動 。由勾股定理，，現在分別計算式中的每一項。（回憶一下， 是序幕中引入的符號，表示牛頓“最終相等”的概念。）

在圖 4-2 中，令 表示在 中從球心 到復數 的距離。因為 到 的距離為 ，而且旋轉變換引起的 和 到球心 的距離改變量成比例，所以

然后，想象 是一根長度不變的細繩，一端固定在球心 上。如果我們讓它的自由端在垂直于復平面的平面內向上擺動距離 ，則點 相應地按照上式的比例向北移動 。而且，我們可以看出，以 和 為邊的灰色縱向小三角形最終相似于以 和 為邊的大三角形 。于是

　且　

最后，由勾股定理有 。用回以無窮小為基礎的表示法，描述球面上真實距離的度量可以用中心投影地圖的坐標表示為

在地理學中，通常的做法是把在赤道處的緯度 定義為 ，但是我們選擇從一個極點開始計量緯度3（見圖 4-2 和圖 2-4）。回到圖 4-1，我們現在可以通過考察小橢圓 的形狀來量化由地圖產生的變形了。當 收縮時，現在應該能夠證明［練習］

3在地理學中，緯度的取值范圍為 ，赤道為 ，經度的取值范圍為 ；在數學的球坐標系里，緯度的取值范圍為 ，赤道為 ，經度的取值范圍為 。 ——譯者注

因此，當 向北移動到邊緣（）時，它在地圖上被映射到無窮遠處。