第二幕　度量

第4章　曲面映射：度量

4.1　引言

球面具有完美的外在對稱性，優點就是，顯而易見其內蘊幾何也具有同樣的一致性。因為球面的幾何一致性，一個緊貼球面的形狀可以在球面上自由地滑動和旋轉。在圖 2-5 中的曲面上也可以這樣，但不像在球面上那樣明顯。事實上一定如此。上面的討論說明：要在一個曲面內判斷這個曲面在空間中的實際形狀是件很難的事情。例如，從內蘊幾何的角度來看，圖 2-5 中的曲面與球面（至少在局部上）是無法區分的。

從這個觀點來看，最好用一個更抽象的模型來把握所有具有相同內蘊幾何的曲面的本質。我們所說的“本質”指的是任意兩點間距離決定的所有性質，因為由此（而且僅僅由此）就可以決定內蘊幾何。事實上，按照高斯對微分幾何的基本見解，只要有一個規則來定義兩個鄰近點之間的無窮小距離（即無窮小線段的長度）就夠了。這個規則就是度量1。有了度量，只要任意曲線可以分割成無窮多段無窮小線段，我們就可以用這些無窮小線段的長度的無窮和（即積分）來定義曲線的長度。因此，我們可以確定幾何中的測地線是從一點到另一點的最短路徑，同樣可以確定角度。

1另一個常見的名稱是第一基本形式，特別是在一些較早的研究中。

根據這個見解，為認識任意一個（不一定是常曲率的）曲面的本質，可以有如下策略。為了避免不知道曲面在空間中的形狀的困擾，我們在一張平整的紙上為曲面畫一張（制圖學意義上的）地圖。也就是說，我們在曲面上的點與平面上的點之間建立了一一對應關系（即一一映射）。當然，對于球形的大地和夜空，水手和天文學家幾千年來一直在設計這樣的地圖，即現在仍然常用的地理圖和天體圖。

一般來說，為一張真正彎曲的曲面建立沒有變形的地圖是不可能的：如果將剝下來的橘子皮壓平到桌面上，它一定會破。歐拉在 1775 年第一個證明了，為地球繪制一張完美的地圖，也就是說，地球表面的所有“直線”（測地線）在地圖上都變成直線，所有的地面距離都可以用地圖上的距離乘以一個固定的比例系數來表示，在數學上是不可能的。

前面的討論用橘子皮解釋了繪制完美地圖是不可能的，下面再來看一個幾何解釋。我們知道地球表面的三角形會有角盈，但是，如果這個三角形可以被壓平而不改變它上面的距離，那么它在地圖中的圖像就是一個滿足的歐幾里得三角形：這就產生矛盾了。