4.6　講一點(diǎn)兒可視化的復(fù)分析

即使我們將曲面 選為平面，討論平面到平面的共形映射，這也仍然是一個(gè)豐富而深刻的研究領(lǐng)域。需要強(qiáng)調(diào)的是，這些共形映射與復(fù)數(shù)錯(cuò)綜復(fù)雜的糾纏關(guān)系是無(wú)法避免的，本節(jié)只準(zhǔn)備進(jìn)行簡(jiǎn)單的介紹。（在這一幕的后面將給出更多具體的例子。）我的第一本書(shū)《復(fù)分析》中全面介紹了復(fù)分析中的精彩結(jié)果是如何從這個(gè)幾何的基礎(chǔ)性問(wèn)題中產(chǎn)生的，在此冒昧地向你推薦它。

每個(gè)曲面 一定有共形地圖，而且是無(wú)窮多種共形地圖！我們首先要指出，為生成滿(mǎn)足度量公式 (4.14)

的共形 坐標(biāo)系，特定的 曲線(xiàn)和與之正交的 曲線(xiàn)并不需要有什么獨(dú)特之處。

真正神奇的是共形映射 本身。給定一個(gè)共形映射 ，通過(guò)對(duì)復(fù)平面 上的 坐標(biāo)網(wǎng)格做旋轉(zhuǎn)、伸縮和平移，就可以在曲面 上創(chuàng)建無(wú)窮多個(gè)不同的共形 坐標(biāo)系，（利用映射 ）得到曲面 上全新的 曲線(xiàn)和與之正交的 曲線(xiàn)。 上這個(gè)全新的正交 坐標(biāo)系與原先的坐標(biāo)系一樣，也是共形的。

我們引入一些記號(hào)來(lái)充分解釋這一點(diǎn)。按照復(fù)分析中的慣例，可以認(rèn)為 位于復(fù)平面 的一個(gè)副本上，它在復(fù)函數(shù) 下的像 位于復(fù)平面 的另一個(gè)副本上：

在我們剛剛討論過(guò)的例題里，有 ，它由拉伸（實(shí)數(shù)） 倍、旋轉(zhuǎn)（角度）、平移（復(fù)數(shù)） 組成。

將映射 與映射 復(fù)合，得到從復(fù)平面 到曲面 的新共形映射 。如果 沿著小復(fù)數(shù) 的方向移動(dòng)距離 ，則它在第一個(gè)映射 的像從 出發(fā)，沿著 的方向移動(dòng)距離 （其中 是 的像），顯然有

于是，距離 被拉伸 倍，所以 。接著，在第二個(gè)映射 的作用下（這時(shí)映射到曲面 上），距離 被拉伸 倍，其中 是共形度量因子。于是， 在復(fù)合映射 下的拉伸因子是這兩個(gè)拉伸因子的乘積：

　　　其中

這只勉強(qiáng)觸及了表面，為了解釋原因，我們簡(jiǎn)單地引用復(fù)分析中的如下基本事實(shí)，詳情請(qǐng)參見(jiàn)《復(fù)分析》。你一定研究過(guò)一些有用的常見(jiàn)實(shí)函數(shù)，例如 。只要將自變量換成復(fù)數(shù) ，每一個(gè)這樣的實(shí)函數(shù) 就能唯一延拓為復(fù)函數(shù) 。像之前一樣，可以把它想象成從一個(gè)復(fù)平面 到另一個(gè)復(fù)平面 的映射。復(fù)分析的神奇之處是，所有這些自然出現(xiàn)的映射 自動(dòng)地都是共形的。

例如，圖 4-6 說(shuō)明了平方映射

的作用，它將每個(gè)復(fù)數(shù)的模平方，輻角加倍。如你所見(jiàn)，左邊那些小“正方形”12變成右邊的相似“正方形”。當(dāng)然，這兩組“正方形”只在收縮到一點(diǎn)時(shí)才是真正的正方形。同樣，左圖中黑色的 T 形越小，就與被映射到右圖中的 T 形像越相似。

12這個(gè)圖形在直角坐標(biāo)系里不是嚴(yán)格的正方形，而是由兩段圓弧和兩條直線(xiàn)段為邊構(gòu)成的四邊形，所以作者用引號(hào)加以區(qū)別。作者沒(méi)有用表示四邊形的單詞 quadrilateral 或 tetragon，而是用 square，因?yàn)檫@個(gè)單詞既有“正方形”的意思，又有“平方”的意思。——譯者注

為了看出這有多神奇，假設(shè)隨機(jī)寫(xiě)下兩個(gè)實(shí)函數(shù) 和 （實(shí)變量 和 的函數(shù)），然后將它們強(qiáng)制合并成單一的復(fù)映射 。那么 根本不可能是共形的。我們將會(huì)看到，這也意味著導(dǎo)數(shù) 不可能存在！

我們重做一次之前的分析，但現(xiàn)在用導(dǎo)數(shù) 存在的一般映射 （稱(chēng)為解析映射）替換線(xiàn)性函數(shù)。正如我們剛才指出的，解析映射非常罕見(jiàn)，但還是包括了從數(shù)學(xué)和物理學(xué)中自然產(chǎn)生的所有有用函數(shù)。

現(xiàn)在，與式 (4.17) 類(lèi)似，我們有

主要的區(qū)別是，現(xiàn)在伸縮系數(shù) 和旋轉(zhuǎn)角 都依賴(lài)于位置 ，而不是在整個(gè)復(fù)平面 上不變。例如，在圖 4-6 中，我們可以看到網(wǎng)格左上角的白色“正方形”比下面毗連實(shí)軸的黑色“正方形”擴(kuò)大得更多一些，所以 在黑色“正方形”內(nèi)比在白色“正方形”內(nèi)小。同樣，這個(gè)黑色“正方形”很明顯沒(méi)有旋轉(zhuǎn)，所以這里的 ，但白色“正方形”顯然必須經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)才能得到它的像。

如果 ，由式 (4.18) 可知，每一個(gè)從點(diǎn) 出發(fā)的微小復(fù)箭頭 ，經(jīng)過(guò)同樣的拉伸 和旋轉(zhuǎn) ，都能得到從點(diǎn) 出發(fā)的像箭頭 。如圖 4-7 所示，從點(diǎn) 出發(fā)的兩個(gè) 之間的夾角，將與它們的像［從點(diǎn) 出發(fā)的兩個(gè) ］之間的夾角相同。由此可知，可微復(fù)映射都是自動(dòng)共形的。

我們知道導(dǎo)數(shù) 描述了共形映射的局部性質(zhì)，并在《復(fù)分析》中引入了一些（非標(biāo)準(zhǔn)）術(shù)語(yǔ)來(lái)刻畫(huà)這個(gè)性質(zhì)的幾何意義。我們稱(chēng)局部拉伸因子 為伸縮，稱(chēng)局部旋轉(zhuǎn)角度 為扭轉(zhuǎn)，稱(chēng)伸縮和扭轉(zhuǎn)的組合（將原始圖形轉(zhuǎn)換為像）為伸扭。綜上，

在討論空間曲面上的共形度量公式之前，我們?cè)俅位氐?，演示如何借助圖 4-6 利用幾何方法推導(dǎo)出平方函數(shù)的伸扭。

考慮圖 4-6 中有一個(gè)頂點(diǎn)為 的白色“正方形”。它經(jīng)過(guò)點(diǎn) 、輻角為 的徑向邊被映射為經(jīng)過(guò)點(diǎn) 、輻角為 的徑向邊，即這條邊在映射作用下扭轉(zhuǎn)了角度 ，所以

扭轉(zhuǎn)

為了求出拉伸因子 ，注意白色“正方形”加黑的外邊（它最終等于經(jīng)過(guò)點(diǎn) 、連接兩個(gè)白點(diǎn)的那段圓弧）。它對(duì)應(yīng)的圓心角為 ，長(zhǎng)度最終等于 。因?yàn)槠椒接成涫沟幂椊羌颖叮赃@段弧的像（稱(chēng)為像弧）對(duì)應(yīng)的圓心角為 ，又因?yàn)橄窕≡诎霃綖? 的圓周上，所以這段像弧的長(zhǎng)度最終為 。因此，

于是，我們得到結(jié)論：

這個(gè)結(jié)果與實(shí)函數(shù)的結(jié)果 看起來(lái)完全一樣，但它包含的意義要多得多。

將這個(gè)幾何方法推廣到冪函數(shù) ，不難得到 ［練習(xí)］。其他重要映射的伸扭也可以用純幾何的方法推導(dǎo)出來(lái)，詳情請(qǐng)參見(jiàn)《復(fù)分析》。

現(xiàn)在回到我們的主要關(guān)注點(diǎn)：曲面上的共形坐標(biāo)。我們可以把簡(jiǎn)單的線(xiàn)性函數(shù)重新放到極其豐富的可微（即共形）映射 里。再次定義從復(fù)平面 到曲面 的復(fù)合映射 ，新的度量公式為

只要有一個(gè)共形映射 ，任選一個(gè)解析映射 ，然后變換到 ，就可以構(gòu)作從曲面 到自身的共形映射。為看清這一點(diǎn)，考慮作用在 上的復(fù)合映射

首先， 是從曲面 到復(fù)平面 的共形映射；其次， 將 共形映射到 ；最后， 將復(fù)平面 共形映射到曲面 。因?yàn)檫@三個(gè)映射都保持角度不變，所以復(fù)合映射也保持角度不變，從而復(fù)合映射 的確是共形的。

在下一節(jié)中，我們將遇到一個(gè)非常重要的例子，即球面 上的共形映射 。稍后，我們將用這個(gè)映射 ，經(jīng)由映射 (4.20)，將球面 的旋轉(zhuǎn)變換表示為復(fù)函數(shù)［由式 (6.10) 給出］。這些旋轉(zhuǎn)變換不僅是共形的，而且是在球面上（保向）等距的。