4.7　球面的共形球極地圖

喜帕恰斯（約公元前 150 年）13可能是第一個繪制球面共形14地圖的人，他使用的方法如圖 4-8 所述，即所謂的球極平面投影法。到了公元 125 年，托勒密（他通常被認為是該方法的發現者）用這種方法繪制了天體在天球上的位置。

13羅得島的喜帕恰斯（約公元前 190—約公元前 120），古希臘數學家、天文學家、地理學家，史稱“天文學之父”。——譯者注

14圖 4-8 所示投影法的共形性并不明顯，將在圖 4-9 中簡單解釋。

這個投影法類似于中心投影，不同的是點光源在北極 ，而不是在球心，投影到的是一個橫截赤道的平面，而不是南極的切平面。15穿過球面 上點 的光線射到復平面 上的一點 （稱為點 的球極像）。這樣我們就建立了從 上的點到 上的點一一對應的關系，所以也可以說 是 的球極像。因為上下文清楚地表明我們考慮的是從 到 的映射，還是從 到 的映射，所以，球極像是 還是 一目了然，不會引起混淆。

15一些老教科書采用投影到南極的切平面。這樣做也可以，［練習］只需要將地圖的比例乘以 。

注意以下立即可得的事實：(i) 的南半球被映射到 上圓周 的內部，特別地，南極 被映射到復平面的原點 ；(ii) 球面 赤道上的每個點被映射到復平面 的圓周 上（即映射到自身）；(iii) 在復平面 上，圓周 的外部被映射到 的北半球，但北極 不是復平面 上任何有限點的像。然而，很明顯，隨著 （在任何方向上）越來越遠離原點，像 越來越接近北極 。在這之后，直到第二幕結束，我們都將采用復分析中慣例，將 取成單位球面，它的每個點以其球極像的復數標記，這個球面稱為黎曼球面。北極 就是無窮遠點的具體表現。這樣的復平面稱為擴充復平面。

圖 4-8 說明了以下事實：

要弄清這一點，首先觀察到，當點 沿著圖 4-8 所示的直線運動時，連接北極 和點 的直線掃出了一個經過北極 的平面的一部分。于是球極像 沿著這個平面與球面 的交線運動，其軌跡是經過北極 的圓周。其次，注意到球面 在北極 的切平面平行于平面 。我們用第三個平面與這兩個平行平面相交，得到兩條平行的直線，一條是原像直線，另一條是圓周在北極 的切線。所以，圓周在北極 的切線平行于原像直線。

由此可知，球極平面投影是保持角度不變的16。圖 4-9 顯示了兩條相交于點 的直線，它們的球極平面投影像都是經過北極 的圓周。

16此處原文為“preserves angles”，就是“保持角度不變”的意思，不是 conformal（共形、保角）的另一種翻譯。——譯者注

注意到兩個圓周在兩個交點（ 和北極 ）處夾角的大小是相同的，這是因為球面上的圖形關于由球心和兩個圓心決定的平面具有鏡像對稱性。17又因為圓在北極 處的切線與平面上的原像直線平行，所以圖 4-9 中所示在點 和 處的兩個角具有相等的大小。但是，在說球極平面投影是“共形的”之前，我們必須定義球面上角度的方向。

17如果你在橘子表面上畫任意兩個相交的圓，這就會變得非常清楚。（事實上，圓周關于直徑對稱，而經過圓心的直線都是直徑，所以圓周關于經過圓心的直線對稱；同理，球面關于經過球心的平面對稱。所以，球面及其上面的兩個圓周關于由球心和兩個圓心決定的平面都是對稱的，即這里所說的鏡像對稱。——譯者注）

根據我們的約定，圖 4-9 所示在點 處的角（從黑色線條到白色線條）是正的，也就是說，當從平面上方向下看時，它是逆時針的。從圖 4-9 可以看出，在點 處的角是負的（順時針）。然而，如果我們從球內部向外看這個角，它是正的。因此，

歷史注釋：值得注意的是，托勒密在公元 125 年左右首次將球極平面投影法付諸實際應用，從此這種方法廣為人知。但是，直到近 1500 年后，球極平面投影的共形性這個至關重要的美麗性質才被發現。這是托馬斯 · 哈里奧特在 1590 年左右首先發現的18——是的，就是在 1603 年發現球面的角盈與面積關系的基本公式 (1.3) 的那個托馬斯 · 哈里奧特！

18見 Stillwell (2010, 16.2 節)。關于哈里奧特的生平，見 Stillwell (2010, 17.7 節) 以及牛津大學出版社 2019 年出版的哈里奧特的傳記：《托馬斯 · 哈里奧特的科學人生》，羅賓 · 阿里安霍德（Thomas Harriot: A Life in Science, by Robyn Arianrhod, Oxford University Press, 2019）。

由共形性可知，球面的度量具有式 (4.13) 的形式。如圖 4-10 所示，球面上一個半徑為 的小圓周最終映射為平面上一個半徑為 的圓周，其中

現在我們來求出這個 。

因為 僅依賴于點 ，與半徑 及其方向無關，所以我們可以自由地選取一個方向使得幾何分析盡量簡單。于是，我們選取水平方向，即沿著緯線圓的方向。

在球極平面投影的作用下，球面上的緯線圓被均勻放大，生成一個以原點為圓心，經過點 的圓周，而 指向點 。當點 沿著經過它的緯線圓轉動時，點 也在平面上和它一樣地轉動，它們的移動的距離與它們到北極 的距離成比例。于是，19

19式中 和 分別表示相應線段的長度，下同。——編者注

圖 4-11 顯示的是圖 4-10 中經過三點 的縱剖面。三角形 相似于三角形 ，所以

結合前面得到的結果，我們有

最后，令 ，利用勾股定理，從三角形 可知 ，于是球極地圖的共形度量公式為

這是我們第一次嘗試共形曲率公式 (4.16)，當然會得到 。建議你用以下兩種方式確認這個結果。一是，記 ，利用拉普拉斯算子在直角坐標系里最初的形式，即式 (4.15)。二是，利用拉普拉斯算子在極坐標系里的如下形式：