4.8　球極平面投影公式

在本節中，我們要推導球面 上的點 和它在 上的球極平面投影 之間坐標關系的顯式公式。為簡化問題，我們僅考慮 的標準情形。

令點 的直角坐標為 ，球面 上點 的直角坐標為 。我們選擇 軸和 軸分別與平面 的 軸和 軸重合， 軸正半軸經過北極 。為了讓你適應這兩個坐標系，請驗證以下事實： 的方程為 ，北極 的坐標為 ，南極 的坐標為 ，以及 ，。

已知球面 上點 的坐標為 ，它的球極像為 ，我們來求聯系二者的公式。設點 到平面 的垂足為 。顯然，球極像 與垂足 具有相同的方向，所以

圖 4-12a 繪出了過北極 和點 的球面 和平面 的縱剖面。顯然，點 和 都在這個縱剖面上。由圖 4-12a 中所示分別以 和 為斜邊的兩個直角三角形的相似性，立即可得［練習］：

由此得到第一個球極平面投影公式：

為方便使用，我們反過來求出用 的坐標表示的 的坐標。因為［練習］

我們有［練習］

用三維坐標 表示球面 上的點常常是很有用的，但肯定是不自然的，因為球面的內蘊幾何是二維的。使用更自然的（二維）球面極坐標 ，會得到一個特別整齊的球極平面投影公式。

回憶一下，我們知道 表示繞 軸旋轉的角度， 定義為過 軸正半軸的縱向半平面。因此，對于平面 上的點 ， 就是正實軸到 的通常角度。如圖 4-12b 所示， 定義為球面 上從北極 到點 的圓心角。20例如，赤道表示為 。按照慣例，。

20這是美國的慣例。在我的故鄉英國， 和 的角色與這里說的正好相反。Penrose and Rindler (1984, 第 1 卷, 第 12 頁) 有一張同樣的圖，但是，坐標是用英國慣例標記的。

假設點 的的坐標為 ，它的球極像為 ，顯然有 ，于是我們只需求出 關于 的函數。從圖 4-12b 可知，三角形 和 相似［練習］，又因為 ，所以 ［練習］。由此得到第二個球極平面投影公式：

羅杰 · 彭羅斯爵士提出過球極平面投影的一個漂亮的不同解釋，我們會在第 108 頁習題 33 里介紹怎么用這個公式建立彭羅斯的新解釋。

為了說明這個公式的一個應用，我們簡單討論一下表示對徑點的復數之間的關系。回憶一下，一對對徑點就是球的直徑的兩個端點。例如，南極和北極互為對徑點。我們要證明

注意到 和 實際上是對稱的（這是顯然的），我們有 。現在證明式 (4.27)：如果 的坐標是 ，則 的坐標是 。于是，

第 96 頁習題 7 是式 (4.27) 的初等幾何證明。