4.9　球極平面投影的保圓性

本節致力于證明一個美麗、令人驚訝且至關重要的事實：

我們已經知道，每一個共形映射都將無窮小圓周映射為無窮小圓周。球極平面投影不僅如此，還將球面上任意大小、任意位置的有限圓周映射為平面上的正圓周，盡管球面上的圓心不被映射為平面上的圓心。我們指出，當球面上的圓周靠近北極 時，它的像特別大；如果圓周經過 ，它的像就會變成圖 4-8 所示的直線。

《復分析》3.4.2 節最后給出了命題 (4.28) 漂亮、完全概念化的幾何解釋，在此代之以計算性的處理。

單位球面 上的每一個圓周都是 與一個平面的交線，這個平面到球心 的距離小于 ：

　　其中

把式 (4.25) 代入這個平面方程，得到這個平面與球面 的交線在平面 上的球極平面投影曲線，其方程為［練習］

如果 ，則這個圓周在球面 上經過北極 ，它的像是一條直線（當然如此！），其方程為 ［練習］。如果 ，配方，將方程寫為［練習］

這是一個圓，其中

圓心 　　半徑

（評論：這是一個非常好的例子，說明計算極具魅力，但也很有腐蝕能力。我們調用“魔鬼機器”（見序幕）在短短幾行中完成工作，證明了結果。但我們站在這里，完全不知道為什么結果是真的！）

有了保圓性，借助圖 1-5 容易證明：球面上的測地線（即大圓）在地圖上表現為圓周，它與赤道相交于一條直徑的兩個端點。