第5章　偽球面和雙曲平面

5.1　貝爾特拉米的洞察

在 1830 年左右，隨著羅巴切夫斯基和波爾約發現雙曲幾何，對平行線的長期研究達到高潮。幾乎與此同時，隨著高斯在 1827 年發現微分與幾何的聯系，一條完全不同的平行線——對微分幾何的研究也達到高潮。就像球面上最初平行的線1最終會相交一樣，這兩條思想的平行線也會以強有力而富有成效的方式相交。

1想象過赤道上兩個鄰近點的經線。

圖 5-1　歐金尼奧 · 貝爾特拉米（1835—1900）

1868 年，意大利幾何學家歐金尼奧 · 貝爾特拉米（見圖 5-1）認識到，來自看似不相關思想領域的兩個結果之間可能存在聯系。一方面，他知道蘭伯特的結果 (1.8)——后來被高斯、羅巴切夫斯基和波爾約重新發現——即在雙曲幾何中，一個三角形的角盈是一個負常數與其面積的乘積。另一方面，他也知道局部高斯 - 博內定理。

貝爾特拉米有一個深刻的認識：如果能找到一個常負曲率 的曲面，那么通過式 (2.6)，在這個曲面上構作的測地線三角形都會自動服從雙曲幾何的中心定律：

當時，羅巴切夫斯基和波爾約發現的雙曲幾何已經在不明不白之中沉寂了近 40 年，雖然因其匪夷所思被一些人詆毀，但還是被大多數人忽視了?，F在，貝爾特拉米終于有了一個想法，可以把它建立在一個可靠而直觀的基礎上。也許雙曲幾何僅僅是常負曲率曲面的內蘊幾何！一場長達 2000 多年的斗爭就此走向尾聲。