1.2　二叉樹期權定價模型

由于我們的期權定價方法是基于二叉樹期權定價模型和NPI方法，所以在本節中我們將介紹經典的二叉樹期權定價模型。CRR是一個在離散環境下的期權定價模型，當時間增量趨近零時，它收斂于Black-Scholes公式[30]。由于CRR模型的靈活性和計算的便捷性，它既可以用于歐式期權定價，也可以用于美式期權定價。

二叉樹期權定價模型設計為時間離散定價模型，期權的壽命被劃分為間隔長度為Δt的多個時間間隔[45]。而且，假設其標的資產只有兩種可能的價格：在不支付股息的情況下，從初始價格S₀開始，要么上升到S₀u，要么下降到S₀d，其中u和d分別是上、下波動因子。圖1.1描述了基于CRR模型的標的資產以及對應期權在一個單位時間增量下的波動情況。一般來說，u>1和d<1時，標的資產向上移動的概率用p表示，而標的資產向下移動的概率則由1-p表示。然后，下一個時間間隔的預期股票價格可以計算為，其中r是股票的預期收益。除此之外，在CRR模型中，估值過程被假設是在風險中性的市場環境和完整的信息量情況下完成的，即

（1）期權是在沒有套利機會的基礎上計算的。

（2）市場上的所有投資者都是風險中性的，即投資者無風險偏好，以同樣的價格簽訂具有相同價值的期權。

（3）市場是無摩擦的，即市場上沒有交易成本或其他費用。

因此，標的資產的真實概率p在該模型中幾乎沒有發揮任何作用，其中期權價格由風險中性概率q（向上波動）和1-q（向下波動）衡量。此外，二叉樹期權定價模型與標的資產的真實市場的預期收益率無關。原因是雖然風險中性世界中的期權與我們現實世界中的即風險厭惡世界中的期權價格相同，但在風險中性世界中是以無風險利率作為預期收益率的。在這種情況下，所有風險中性測度將真實概率p改變為風險中性概率q是合理的。因為在風險中性世界中，無論股票還是基礎資產的衍生品如期權，所有金融產品的預期收益率都是無風險收益率，所以使用風險中性測度可以有效避免估計衍生品預期收益的困難。在真實市場中，衍生品的預期收益高于標的資產且難以估計[45]。這是由于衍生品是以標的資產的價值為基礎定價，因此它的杠桿率較高，從而導致其比標的資產的風險有更大的頭寸。但是，由于衍生品市場的流動性不足，其風險溢價難以評估，所以出現了貼現率估計難的問題。因此，貼現率在定價中十分重要，而且對于貼現率，本書將在第1.3節中進行討論。

根據風險中性估值對二叉樹期權定價模型進行求解，可以通過以下流程對期權價格進行估值。

（1）基于期權有效期內無風險利率r_f計算風險中性概率q，并假設其在期權有效期內保持恒定，該值通過以下標的資產期望收益公式計算可得

或

則

（2）對期權到期的償付價值進行估值，并通過以無風險利率貼現償付來獲得期權價格。具體計算步驟為

其中，VCRR為t時刻的期權價格；和為期權在t+Δt時刻經過標的資產完成上、下波動后的期權價格。無論期權類型如何，都包含和兩個波動后的期權價值，但不同類型期權的結算方式不同，即對于看漲期權，對于看跌期權，其中K為執行價格。我們上面討論的只是1個單位時間間隔的評估步驟，當我們向二叉樹期權定價模型添加更多時間間隔時，風險中性的評估原則將繼續被保留。由于期權價格始終等于在風險中性世界中償付價值，并利用無風險利率的貼現，所以經過整個期權生命周期的所有迭代過程，最終得到我們想要推導的期權價格。對于期限為T=m的看漲期權，執行價格為K_c，基于標的的初始價格S₀和波動因子u和d，歐式期權有一個封閉的公式[30]

其中，表示公式的解；表示大于或等于的最小整數。對于看跌期權，CRR模型給出的預期價格為[30]

其中，表示公式求得的解；表示小于或等于的最大整數。

與著名的Black-Scholes模型相比，二叉樹期權定價模型更簡單、更容易使用，也更加多樣化。因為它可以針對各種期權進行估值，其中有些期權具有在到期前可以提前行權的特性，如美式期權。在極限情況下，當時間間隔被壓縮并趨近于零時，二叉樹期權定價模型估值下股票價格呈對數正態分布，并服從Black-Scholes模型[30]。由于CRR模型收斂于幾何布朗運動，Jarrow和Rudd[50]利用一階矩信息及二階矩信息提出了一種新的二叉樹期權定價模型。Tian[72]介紹了一種新的樹結構模型，匹配了前三個矩信息以及標的資產的幾何布朗運動情況。Kim等[52]將這三種方法都進行了推廣，建立樹形模型擬合所有矩信息以近似收斂于幾何布朗運動。Tian[73]還開發了一種具有“傾斜”參數的靈活二叉樹期權定價模型，以提高二叉樹期權定價模型預測的準確性。Ji和Brorsen[51]開發的開放的二叉樹期權定價模型考慮了底層分布的偏態，放松了對對數正態的假設。二叉樹期權定價模型因其可理解性和直觀性而得到廣泛應用和發展。將跳躍擴散添加到二叉樹期權定價模型中，為美式期權[65]、亞洲期權[52]和回望期權[51]定價。Gerbessiotis[37]針對乘法二叉樹期權定價模型的香草期權定價問題提出了一種容錯并行算法，實現了理論上的估值加速。