1.3　貼現率

最初貼現率是從債務過程中產生的。當債務人允許延遲支付給債權人時，債務人是要收費的，而且所收取的費用為原始借出金額與未來將接收還款之間的差額。例如，一個債務人A在t時刻借入了一筆貸款l_t，并承諾在T時刻將該筆貸款連同額外的補償金一起全部償還，即l_T=l_t+ε。l_T等于l_t乘以它的收益率函數，該收益率的計算根據兩種利息計算法則，即單利或復利。那么，這筆交易的收益率，即貼現率對于單利情況是，對于復利情況是。在金融投資中，貼現率是投資者在持有期權期間預期獲得的收益率，即投資的預期收益。由于資產的價格高度依賴于風險水平，如有兩種金融產品W和H，它們在到期時具有相同的價值，即W_T=H_T，但H的風險大于W。所以，愿意購買這兩種產品的投資者會要求更高的H回報，因為它的收益更不穩定，即r_W<r_H。資產在初始時刻的價值等于以期望收益率為貼現率的資產的貼現期望值，即W₀=(1+r_W)-TW_T和H₀=(1+r_H)-TH_T。貼現后，H的價格低于W的價格，這就是高風險、高回報的含義。

眾所周知，在二叉樹期權模型中，這個貼現率是無風險利率，因為二叉樹期權定價模型是基于風險中性測度進行估值。使用風險中性測度的原因，是在風險中性的世界中所有的產品都是無風險的，所有的個體都對風險漠不關心，它們對所有產品的預期收益都是無風險的。而在風險世界中，不同的投資者所能承受的風險水平是不同的，所以每項投資都需要根據投資者的風險偏好進行調整，這既費時又難以準確估計。因此，風險中性估值因其簡單和有效而被廣泛使用。

假設一個投資者想在風險中性世界中投資一項資產，因為這個世界根本沒有風險，所以該投資者期望以無風險利率獲得利潤。如果同一個投資者在風險世界中投資相同的資產，由于風險世界的不確定性，該投資者希望在持倉期間獲得更多的利潤，因此預期收益率會高于無風險收益率。如前所述，貼現率是在持有期的收益率，因此在風險中性世界中貼現率是無風險利率，而在風險世界中它等于加入風險考量的資產回報率，故風險資產的貼現率高于無風險貼現率。

之前提到的關于兩個金融產品的例子中，W和H是基礎資產，而不是衍生品。當涉及衍生品時，在風險世界中事情會變得更為復雜。例如，在風險世界中包括期權在內的衍生品比基礎資產的風險更大，導致投資者對利潤的期望更高；而在風險中性世界中，期權價格由公式（1.8）推導得出。但是在風險世界中，假設股票上漲的概率是一個定值p>q，則期權價格由公式計算得出，此處等同于r>r_f。另外，同樣的期權使用這兩個公式將會有相同的價格[45]，這意味著貼現過程中消除了風險對同一產品的影響。這個風險世界中的貼現率是

其中，r_pr為金融產品風險的風險溢價對應收益率。公式（1.11）表明標的資產貼現率等于無風險利率加上該資產在市場上的風險溢價。雖然公式（1.11）能夠幫助我們計算風險世界中的貼現率，但是對于期權的貼現率則很難估計。因為期權的風險溢價參數要高于股票的風險溢價參數，并且根據市場的信息判斷公平的風險溢價并不容易[45]。

雖然在現實世界中得到貼現率是復雜的，但是我們沒有理由因此忽視或削弱它。由于貼現率通常被定義為項目風險評估后的證券的均衡預期收益率[59]，所以我們可以使用預期收益率作為貼現率。根據期權定價分析，在實證市場上有兩種估計貼現率的方法：一種方法是使用標的資產的預期收益率作為貼現率。但是，由于其對應的衍生品具有較高的風險，所以當存在較好的其他解決辦法時，這種估計方法就不太合適了。另一種方法是在完整市場的假設下，尋找一種能夠完美復制衍生品收益的證券組合總是可以實現的，那么該組合的預期收益率與該衍生品的預期收益率就是相等的。由于期權定價的NPI方法還處于理論研究階段，所以尋找一個可完全復制的證券組合是不可行的。因此，我們使用第一種策略來估計美式期權的貼現率，且貼現率等于標的資產的非負預期收益率。