1.1　期權

期權是衍生品市場上的金融產品，最早可以追溯到16世紀的阿姆斯特丹[36]，到17世紀在倫敦流行起來[63]。當芝加哥期權交易所成立時，期權這種金融衍生品隨著標準交易規(guī)則的引入而正式確立[34]。它賦予了期權持有者權利而不是義務，以既定價格（執(zhí)行價格K）購買或出售標的資產，期權賣出方則有義務在行使該期權時以K價格出售或購買標的資產。如果期權購買者在行使期權時有權以K價格購買標的資產，則該期權合同被稱為“看漲期權”。如果期權購買者在行使期權時有權以K價格出售標的資產，那么此類期權被定義為“看跌期權”。當行使期權可以給期權持有者帶來利潤時，期權被稱為“實值期權”（in the money）；當行使期權給期權持有者帶來損失時，期權被稱為“虛值期權”（out of the money）。當執(zhí)行價格等于標的資產價格時，期權被描述為“在值期權”（at the money）。上面所描述的期權執(zhí)行價格與標的資產價格之間的比較，被稱為“貨幣性”（the moneyness）[13]。

在期權類別中，有兩種最簡單直接的期權類型，即歐式期權和美式期權，它們被統(tǒng)稱為“香草期權”。歐式期權只允許期權持有者在期權到期日行使期權。那么歐式期權在時刻t（t≤T）的期權期望值就等于到期支付的期望貼現(xiàn)。B（t，T）表示從t到到期的貼現(xiàn)因子。對于歐式看漲期權的期望值V的計算公式為

式中，S為標的資產在時刻t的價格；S_T為標的資產在到期日的價格；K_c為歐式看漲期權的執(zhí)行價格。相應地，歐式看跌期權在時刻t的期望值V的計算公式為

式中，K_p是歐式看跌期權的執(zhí)行價格。因此，看跌期權的期望值也等于到期時收益的期望貼現(xiàn)。

美式期權允許持有者在期權期內的任何時間行使期權。美式期權通常比歐式期權價格高，因為它有回旋余地[13]。由于美式期權的早期行權特性，所以美式期權不存在封閉形式的期權定價公式。那么美式期權（不分紅）基于標的資產在時刻t的價格S_t=S的價值V（S，t）與歐式期權的價值是有所不同的。對于美式期權，在期權被執(zhí)行時存在停時τ，對于每條可能的路徑，美式期權都是在最優(yōu)的停時τ處執(zhí)行，這就使我們得到了美式期權收益的最優(yōu)值。美式期權的定義：令V（S，t）表示美式期權在時刻t的期望值，等于在停時τ與標的資產價格為S_τ時提前行權的預期收益的貼現(xiàn)值。對于美式看漲期權，期望值為

其中，B（t，τ）是從t到τ的貼現(xiàn)因子。公式（1.3）定義了看漲期權在t時刻的價值，等于看漲期權從停時τ時貼現(xiàn)到即時的期望收益。對于美式看跌期權，其期望值被描述為

因此，該看跌期權在t時刻的價值等于行權時τ貼現(xiàn)的最大收益。除了香草期權外，還有一些具有更復雜結算定義的奇異期權，如數(shù)字期權、障礙期權、回望期權等。

在金融文獻中，最流行的兩種方法是Cox、Ross和Rubinstein提出的二叉樹期權定價模型和Black-Scholes模型[12]。這兩種方法都假設投資者能夠全面了解標的資產的所有信息，如CRR模型和Black-Scholes模型不僅都是在風險中性的世界中建立的，而且價格狀態(tài)的轉移概率都是恒定的。另外，對于這些模型應假設市場是完整的且沒有套利機會。而且，Black-Scholes模型在具有提前行權性質的期權（如美式期權）估值中并不實用，因為它在為美式期權定價時，往往會在行權價格、到期時間和方差方面表現(xiàn)出系統(tǒng)的經驗偏差[38]。由于Black-Scholes模型是在連續(xù)時間環(huán)境下建立的，而本書的研究是在離散環(huán)境下，因此在本書中沒有考慮Black-Scholes模型。在現(xiàn)實世界中，這些假設都不太可能得到滿足，許多研究都在挑戰(zhàn)這些不切實際的假設，并提出新的期權定價模型。例如，Jackwerth和Rubinstein使用二次極小化準則[47]，使用非參數(shù)方法從期權價格推導出期權概率。GMPOP是廣義多期期權定價模型的簡稱，是現(xiàn)實世界中對期權定價具有主觀概率的二叉樹期權定價模型，但由此方法推導出的主觀概率仍然為恒定的值[4]。而NPI方法為每一步提供一個區(qū)間概率并實時更新觀測信息。從這個角度來看，在期權定價過程中采用NPI方法無疑是更為合理的。因為在現(xiàn)實中的情況總是在變化的，而且信息的有限性導致得到的信息不是精確的。所以，在本書中，我們通過引入NPI推斷法，提出了一種新的方法來定價離散時間下的期權。NPI推斷法是一種基于歷史數(shù)據(jù)的頻率統(tǒng)計方法，能夠在較低的市場完整性和較少的標的資產假設條件下完成期權定價，而且非精確的區(qū)間概率為定價模型提供了更高的不確定性包容度。

現(xiàn)有一些期權定價的模型都是基于貝葉斯范式的。Boyle和Ananthanarayanan[16]提出了一種利用貝葉斯方法估計期權定價模型中方差的方法。Bauwens和Lubrano[9]在GARCH期權定價模型中進行貝葉斯推斷，并引入風險中性測度。Jacquier和Jarrow[48]在Black-Scholes模型中引入了貝葉斯推理，以減少模型誤差。Polson和Stroud[65]利用貝葉斯模擬方法建立了隨機波動率模型。Martin等[56]使用貝葉斯方法定義了一個期權價格，該期權價格允許時變波動和條件區(qū)間的非正態(tài)性。但是，貝葉斯方法也有缺點，它產生的市場期權價格是有偏估值的，而NPI方法則從歷史數(shù)據(jù)中獲取所有信息，以使推斷不存在偏差。