9.1 概述

9.1.1 非線性系統(tǒng)

非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)之間存在著本質(zhì)的差別：對于線性系統(tǒng)，當(dāng)有小的輸入變化時(shí)，必定引起小的輸出變化，大的輸入變化對應(yīng)于大的輸出變化；而非線性系統(tǒng)則不然，小的輸入變化可引起大的輸出變化，大的輸入變化倒不一定引起大的輸出變化。

凡是輸入和輸出關(guān)系不是線性成比例變化的環(huán)節(jié)，稱之為非線性環(huán)節(jié)。如果一個(gè)控制系統(tǒng)中含有一個(gè)或一個(gè)以上的非線性環(huán)節(jié)，則稱這種系統(tǒng)為非線性控制系統(tǒng)，簡稱非線性系統(tǒng)。由于物理系統(tǒng)本質(zhì)上是非線性的，因此所有的系統(tǒng)在一定程度上都是非線性系統(tǒng)。

非線性系統(tǒng)無處不在，例如圖9-1a所示的質(zhì)量-阻尼器-彈簧構(gòu)成的非線性機(jī)械系統(tǒng)。該系統(tǒng)含有非線性彈簧，根據(jù)牛頓第二定律建立描述系統(tǒng)的非線性微分方程為

式中，k（y）（=k₁y+k₂y³）為非線性彈簧力；m為物體的質(zhì)量；f為黏性摩擦系數(shù)；F為外力；k₁、k₂為常數(shù)。參數(shù)m、f和k₁為正的常數(shù)，而k₂為表征系統(tǒng)非線性程度的參數(shù)。當(dāng)k₂>0時(shí)，相應(yīng)的非線性彈簧為硬彈簧；當(dāng)k₂<0時(shí)，相應(yīng)的非線性彈簧為軟彈簧。彈簧力的特性如圖9-1b所示，由圖可知，彈簧力是彈簧位移y的非線性函數(shù)。式（9-1）是非線性力學(xué)中經(jīng)常討論的杜芬（Duffing）方程。

圖9-1 非線性機(jī)械系統(tǒng)

在控制系統(tǒng)中存在各種非線性特性，例如隨動(dòng)系統(tǒng)的齒輪傳動(dòng)具有齒隙和干摩擦等，許多執(zhí)行機(jī)構(gòu)都不可能無限制地增加其輸出功率而存在飽和非線性特性。對于非線性控制系統(tǒng)，若非線性程度較小，在一定的工作范圍和條件下可以近似為線性系統(tǒng)時(shí)，可運(yùn)用小偏差法將非線性模型線性化，這樣便可采用線性系統(tǒng)的方法進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，這種非線性稱為非本質(zhì)非線性。但是，對于非線性程度比較嚴(yán)重，且系統(tǒng)工作范圍較大的非線性系統(tǒng)，只有使用非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法，才能得到正確的結(jié)果，這種非線性稱為本質(zhì)非線性。有些非線性對系統(tǒng)的運(yùn)行是有害的，應(yīng)設(shè)法克服它的有害影響；有些非線性是有益的，應(yīng)在設(shè)計(jì)時(shí)予以考慮。由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性和普遍性，因此，從事控制工程的工程師和研究人員應(yīng)對非線性控制系統(tǒng)的分析研究予以極大的關(guān)注。

9.1.2 常見的非線性特性

為了便于分析非線性控制系統(tǒng)，采用簡單的折線代替實(shí)際的非線性曲線，將非線性特性典型化，而由此產(chǎn)生的誤差一般處于工程所允許的范圍之內(nèi)。在非線性控制系統(tǒng)中的非線性特性，有的是組成系統(tǒng)的元器件所固有的，如飽和、死區(qū)、間隙、摩擦、滯環(huán)等；有的是為了改善系統(tǒng)的性能而加入的，如繼電器、變增益放大器等。下面簡要地介紹在非線性控制系統(tǒng)中常見的非線性特性及其對系統(tǒng)性能的影響。

1.飽和特性

飽和特性如圖9-2所示，圖中，x、y為非線性元件的輸入、輸出信號，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，a為線性區(qū)寬度；k為線性區(qū)的斜率；開關(guān)函數(shù)sgnx（t）為

圖9-2 飽和特性

當(dāng)輸入信號在一定范圍內(nèi)時(shí)，飽和特性的輸出與輸入之間具有線性關(guān)系；當(dāng)輸入信號超過該范圍時(shí)，其輸出不再隨輸入變化而變化，將保持不變，出現(xiàn)所謂飽和現(xiàn)象。這種現(xiàn)象在鐵磁元器件及各種放大器中都存在。在存在飽和特性的控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)在大信號作用下的等效增益降低，使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、快速性等變差，深度飽和情況下，甚至使系統(tǒng)喪失閉環(huán)控制作用。但飽和非線性并非只給系統(tǒng)帶來不利影響，有些系統(tǒng)有目的地利用飽和特性作信號限幅，如限制功率、電壓、電流、行程等，以保證系統(tǒng)或元器件能在額定和安全情況下運(yùn)行。

2.死區(qū)特性

死區(qū)特性如圖9-3所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，a為死區(qū)寬度；k為線性輸出的斜率。

圖9-3 死區(qū)特性

死區(qū)又稱為不靈敏區(qū)。當(dāng)輸入信號的幅值較小時(shí)，死區(qū)特性無輸出；當(dāng)輸入信號的幅值大于一定數(shù)值時(shí)，其輸出隨輸入線性變化。控制系統(tǒng)中的測量元件、執(zhí)行元件（如伺服電動(dòng)機(jī)、液壓缸）等一般都具有死區(qū)特性。例如測量元件對小輸入信號不敏感，伺服電動(dòng)機(jī)只有在輸入信號大到一定程度以后才會動(dòng)作。控制系統(tǒng)中的死區(qū)特性，將使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增加。一般說來，在控制系統(tǒng)的前向通道中，前面環(huán)節(jié)的死區(qū)特性對系統(tǒng)造成的影響較大，而后面環(huán)節(jié)的死區(qū)特性對系統(tǒng)的不良影響可以通過提高前級環(huán)節(jié)的放大系數(shù)來減小。

3.間隙特性

間隙特性如圖9-4所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，2a為間隙寬度；k為線性段的斜率。

間隙特性的輸出不但與輸入信號的大小有關(guān)，而且與輸入信號增加或減小的方向有關(guān)。從圖9-4中可以看出，間隙特性形成了一個(gè)回環(huán)，即輸入輸出關(guān)系不是單值對應(yīng)的。齒輪傳動(dòng)的齒隙及液壓傳動(dòng)的油隙等都屬于間隙特性。在齒輪傳動(dòng)中，由于間隙存在，當(dāng)主動(dòng)齒輪方向改變時(shí)，從動(dòng)輪保持原位不動(dòng)，直到間隙消除后才改變轉(zhuǎn)動(dòng)方向。控制系統(tǒng)中存在間隙特性時(shí)，將使系統(tǒng)的輸出信號在相位上產(chǎn)生滯后，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度減少、動(dòng)態(tài)性能變差。另外，間隙特性的存在還常常引起系統(tǒng)的自持振蕩和穩(wěn)態(tài)誤差的增加。因此應(yīng)盡量減小和避免間隙，如采用雙片彈性無隙齒輪代替一般的齒輪，采用低速的力矩電動(dòng)機(jī)來代替減速齒輪箱等。

圖9-4 間隙特性

4.變增益特性

變增益特性如圖9-5所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，a為切換點(diǎn)；k₁、k₂為變增益特性的斜率。

對于變增益特性，當(dāng)輸入信號幅值不同時(shí)，其放大系數(shù)也可能不同。當(dāng)誤差信號大時(shí)，使系統(tǒng)具有較大的放大系數(shù)，從而使系統(tǒng)的響應(yīng)迅速且穩(wěn)態(tài)性能變好；當(dāng)誤差信號小時(shí)，使系統(tǒng)具有較小的放大系數(shù)，從而使系統(tǒng)的響應(yīng)既緩慢且平穩(wěn)。具有這種非線性特性的系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)品質(zhì)較好。

圖9-5 變增益特性

5.繼電器特性

實(shí)際的繼電器特性如圖9-6a所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，a為繼電器吸合電壓；ma為繼電器釋放電壓；M為飽和輸出。

由于繼電器吸合與釋放狀態(tài)下磁路的磁阻不同，其吸合電壓與釋放電壓一般不相等。當(dāng)a=0時(shí)，即繼電器吸合電壓和釋放電壓均為零，典型的繼電器特性退化為理想繼電器特性，如圖9-6b所示。當(dāng)m=1，a≠0時(shí)，即吸合電壓和釋放電壓相等，則成為死區(qū)繼電器特性，如圖9-6c所示。當(dāng)m=-1，a≠0時(shí)，即正向釋放電壓等于反向吸合電壓而反向釋放電壓等于正向吸合電壓，則成為滯環(huán)繼電器特性，如圖9-6d所示。在控制系統(tǒng)中，繼電器特性通常會使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。但繼電器特性能夠使執(zhí)行機(jī)構(gòu)在最大工作范圍內(nèi)工作，實(shí)現(xiàn)快速控制。

圖9-6 繼電器特性

a）死區(qū)-滯環(huán)繼電器特性 b）理想繼電器特性 c）死區(qū)繼電器特性 d）滯環(huán)繼電器特性

9.1.3 非線性控制系統(tǒng)的特點(diǎn)

非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)相比，在數(shù)學(xué)模型、穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)、頻率響應(yīng)、時(shí)間響應(yīng)等諸多方面均存在顯著的差別，且非線性系統(tǒng)具有線性系統(tǒng)所沒有的許多特點(diǎn)。這些差別主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

（1）系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程用線性微分方程來表示，滿足疊加原理。在線性系統(tǒng)中，若干個(gè)信號作用于系統(tǒng)上，我們可以分別求出每個(gè)信號單獨(dú)作用的響應(yīng)，然后疊加在一起就可以求出總的響應(yīng)。這給線性系統(tǒng)的分析與綜合帶來了很大方便。而非線性系統(tǒng)需要用非線性常微分方程或更加復(fù)雜的非線性微分方程描述，不能應(yīng)用疊加原理。

（2）穩(wěn)定性和平衡狀態(tài)

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與系統(tǒng)的輸入信號和初始條件無關(guān)。穩(wěn)定的線性系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài)。然而，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且還與系統(tǒng)的輸入信號和初始條件有關(guān)。非線性系統(tǒng)可能有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。

同一個(gè)非線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號不同（輸入信號的函數(shù)形式不同，或函數(shù)形式相同但幅值不同）或初始條件不同時(shí)，該非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性都可能不同。在研究非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時(shí)，不應(yīng)籠統(tǒng)地講系統(tǒng)是否穩(wěn)定，必須明確兩點(diǎn)：一是指明給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)；二是指明系統(tǒng)相對于哪一個(gè)平衡狀態(tài)來分析穩(wěn)定性。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題比線性系統(tǒng)要復(fù)雜得多，沒有一個(gè)適用于分析所有非線性系統(tǒng)的通用方法。

（3）正弦響應(yīng)

在線性系統(tǒng)中，輸入為正弦函數(shù)時(shí)，穩(wěn)態(tài)輸出也是頻率相同的正弦函數(shù)，兩者僅在幅值和相位上有所不同，因而可以用頻率特性法分析和綜合校正系統(tǒng)。但對于非線性系統(tǒng)，如輸入為正弦函數(shù)，其輸出通常是包含有一定數(shù)量的高次諧波的非正弦函數(shù)。非線性系統(tǒng)還可能出現(xiàn)跳躍諧振、倍頻振蕩和分頻振蕩等現(xiàn)象，所以不能用頻率特性法分析和綜合校正系統(tǒng)。

（4）自持振蕩

線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或者收斂于平衡狀態(tài)，或者發(fā)散。只有當(dāng)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，才會出現(xiàn)等幅振蕩，但在實(shí)際的情況下這種狀態(tài)是不能持久的。只要系統(tǒng)參數(shù)稍有變化，這一臨界狀態(tài)就不能繼續(xù)，而變?yōu)榘l(fā)散或收斂。然而在非線性系統(tǒng)中，除了發(fā)散或收斂于平衡狀態(tài)兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)外，即使沒有外界作用存在，系統(tǒng)也可能會產(chǎn)生某一固定振幅和頻率的振蕩，這種振蕩稱為自持振蕩、自振蕩或自激振蕩。改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，能夠改變這種自持振蕩的頻率和振幅。這是非線性系統(tǒng)所獨(dú)具的特殊現(xiàn)象，是非線性理論研究的重要問題。

由于非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性與特殊性，使得非線性問題的求解相當(dāng)困難。對于非線性系統(tǒng)，還缺乏具有普遍意義的分析研究方法。對于非本質(zhì)非線性系統(tǒng)，通常將其近似成線性系統(tǒng)來研究；對于本質(zhì)非線性系統(tǒng)，工程上常用相平面法和描述函數(shù)法來分析研究非線性系統(tǒng)。隨著計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)的發(fā)展，數(shù)值求解非線性微分方程，對非線性系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究已成為研究非線性系統(tǒng)的重要手段。