9.2 相平面法

相平面法是龐加萊（Poincare）于1885年首先提出的，它是一種求解一、二階常微分方程的圖解方法。這種方法的實(shí)質(zhì)是將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)，通過(guò)研究這個(gè)點(diǎn)移動(dòng)的軌跡，就能獲得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的全部信息，可以用來(lái)分析一、二階線性和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時(shí)間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件和參數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。由于它能比較直觀、全面地表征系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，因而得到廣泛應(yīng)用。相軌跡的繪制方法步驟簡(jiǎn)單、計(jì)算量小，特別適用于分析常見(jiàn)非線性特性和一階、二階線性環(huán)節(jié)組合而成的非線性系統(tǒng)。

9.2.1 相平面法的基本概念

1.相平面圖的概念

二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程來(lái)描述

式中，為x和的線性或非線性函數(shù)。該系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)一般可以用兩種方法來(lái)表示：一種是分別用x（t）和與t的關(guān)系圖來(lái)表示；另一種是在x（t）和中消去t，把t作為參變量，用x（t）和的關(guān)系圖來(lái)表示。用x和分別作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的直角坐標(biāo)平面稱(chēng)為相平面。該系統(tǒng)在每一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都對(duì)應(yīng)相平面上的一個(gè)點(diǎn)，稱(chēng)為相點(diǎn)。當(dāng)時(shí)間t變化時(shí)，該點(diǎn)在平面上便描繪出一條表征系統(tǒng)狀態(tài)變化過(guò)程的軌跡，稱(chēng)為相軌跡。在相平面上，由不同初始條件對(duì)應(yīng)的一簇相軌跡構(gòu)成的圖形，稱(chēng)為相平面圖。所以，只要能繪出相平面圖，通過(guò)對(duì)相平面圖的分析，就可以完全確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性、靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能，這種分析方法稱(chēng)為相平面法。

例如，典型線性二階系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程為

若0<ζ<1，在初始條件x（0）>0，的作用下，其響應(yīng)x（t）、如圖9-7a、b所示。對(duì)應(yīng)的相平面圖如圖9-7c所示。

圖9-7 時(shí)域響應(yīng)與相軌跡

繪制圖9-7的MATLAB程序：prog91.m

t=0:0.01:10;x0=[11]';

[t,x]=ode45（'sys61',t,x0）;

subplot（1,3,1）;plot（t,x（:,1））;grid

subplot（1,3,2）;plot（t,x（:,2））;grid

subplot（1,3,3）;plot（x（:,1）,x（:,2））;grid

調(diào)用函數(shù):sys91.m

function dx=sys91（t,x）

dx1=x（2）;

dx2=-0.5*x（2）-x（1）;

dx=[dx1 dx2]';

2.相軌跡的特點(diǎn)

（1）相軌跡的走向

若，則x增大；若，則x減小。因此，在相平面的上半部，相軌跡從左向右運(yùn)動(dòng)；而在相平面的下半部，相軌跡從右向左運(yùn)動(dòng)。

（2）相軌跡的普通點(diǎn)和奇點(diǎn)

相軌跡在相平面上任意一點(diǎn)處的斜率為

只要在點(diǎn)）處不同時(shí)滿(mǎn)足和，相軌跡的斜率就是一個(gè)確定的值。這樣，通過(guò)該點(diǎn)的相軌跡只有一條，相軌跡不會(huì)在該點(diǎn)相交，這些點(diǎn)是相平面上的普通點(diǎn)。相平面上同時(shí)滿(mǎn)足和的點(diǎn)處，相軌跡的斜率為

即相軌跡的斜率不確定，通過(guò)該點(diǎn)的相軌跡不止一條，這些點(diǎn)是相軌跡的交點(diǎn)，稱(chēng)為奇點(diǎn)。顯然，奇點(diǎn)只分布在相平面的x軸上。由于在奇點(diǎn)處，，故奇點(diǎn)也是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。穩(wěn)定系統(tǒng)一般穩(wěn)定在奇點(diǎn)上。

（3）相軌跡通過(guò)x軸的方向

相軌跡總是以垂直方向穿過(guò)x軸的普通點(diǎn)。因?yàn)樵?span id="in8rtzh" class="italic">x軸上的所有點(diǎn)均滿(mǎn)足，所以除去其中的奇點(diǎn)外，在其他點(diǎn)上的斜率。

（4）相軌跡的對(duì)稱(chēng)性

相軌跡的對(duì)稱(chēng)性是通過(guò)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)上相軌跡的斜率來(lái)判斷的。相軌跡對(duì)稱(chēng)于橫軸或縱軸的條件是：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)上的相軌跡曲線斜率大小相等、符號(hào)相反；對(duì)稱(chēng)于坐標(biāo)原點(diǎn)的條件是：對(duì)稱(chēng)點(diǎn)上的曲線斜率大小相等、符號(hào)相同。若，即是的偶函數(shù)，則相軌跡對(duì)稱(chēng)于x軸；若，即是x的奇函數(shù)，則相軌跡對(duì)稱(chēng)于軸；若，則相軌跡對(duì)稱(chēng)于坐標(biāo)原點(diǎn)。

（5）漸近線

在相平面圖中，一種孤立的斜率等于常值的相軌跡稱(chēng)為漸近線。所謂孤立，是指在漸近線相軌跡的鄰近區(qū)域內(nèi)，其他相軌跡的斜率均不為常值。由于漸近線的斜率等于常值，表明漸近線必為直線，因此只有線性系統(tǒng)才可能有漸近線。

（6）極限環(huán)

極限環(huán)是指在相平面圖中存在的一種孤立的封閉相軌跡。所謂孤立的封閉相軌跡是指在這類(lèi)封閉曲線的鄰近區(qū)域內(nèi)只存在著卷向它或起始于它而卷出的相軌跡。極限環(huán)把相平面分為其內(nèi)部平面和外部平面。相軌跡不能從環(huán)內(nèi)穿越極限環(huán)進(jìn)入環(huán)外，也不能從環(huán)外直接進(jìn)入環(huán)內(nèi)。極限環(huán)有穩(wěn)定、不穩(wěn)定和半穩(wěn)定之分。分析極限環(huán)鄰近相軌跡的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，可以判斷極限環(huán)的類(lèi)型。

1）穩(wěn)定極限環(huán)。如果在極限環(huán)附近，起始于極限環(huán)外部和內(nèi)部的相軌跡都趨于該極限環(huán)，即環(huán)內(nèi)的相軌跡發(fā)散到該環(huán)，環(huán)外的相軌跡收斂到該環(huán)，則這樣的極限環(huán)稱(chēng)為穩(wěn)定極限環(huán)，如圖9-8a所示。具有穩(wěn)定極限環(huán)的系統(tǒng)將出現(xiàn)自持振蕩。因?yàn)榉€(wěn)定極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡都發(fā)散至極限環(huán)，而外部的相軌跡都收斂于極限環(huán)，從這種意義上講，極限環(huán)內(nèi)部為不穩(wěn)定區(qū)域，而外部為穩(wěn)定區(qū)域。對(duì)具有穩(wěn)定極限環(huán)的控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)準(zhǔn)則通常是盡量減小極限環(huán)的大小，使自持振蕩的振幅盡量減小，以滿(mǎn)足準(zhǔn)確度的要求。

圖9-8 極限環(huán)

a）穩(wěn)定極限環(huán) b）半穩(wěn)定極限環(huán)1 c）半穩(wěn)定極限環(huán)2 d）不穩(wěn)定極限環(huán)

2）半穩(wěn)定極限環(huán)。半穩(wěn)定極限環(huán)如圖9-8b和圖9-8c所示，有兩種不同的情況。一種是起始于極限環(huán)外部的相軌跡收斂于極限環(huán)，起始于極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡收斂于環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)。它反映小偏差時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，大偏差時(shí)系統(tǒng)等幅振蕩。另一種情況相反，起始于極限環(huán)外部的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡發(fā)散到極限環(huán)。它反映小偏差時(shí)系統(tǒng)等幅振蕩，大偏差時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3）不穩(wěn)定極限環(huán)。如果在極限環(huán)附近起始于極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡離開(kāi)該極限環(huán)逐漸收斂，而起始于極限環(huán)外部的相軌跡離開(kāi)該極限環(huán)而發(fā)散，則該極限環(huán)稱(chēng)為不穩(wěn)定極限環(huán)，如圖9-8d所示。在相平面上，不穩(wěn)定極限環(huán)內(nèi)部是穩(wěn)定區(qū)域，外部是不穩(wěn)定區(qū)域。對(duì)具有不穩(wěn)定極限環(huán)的非線性系統(tǒng)，會(huì)出現(xiàn)小偏差時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定、大偏差時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量擴(kuò)大極限環(huán)，以擴(kuò)大穩(wěn)定區(qū)。

應(yīng)當(dāng)指出，只有穩(wěn)定極限環(huán)所對(duì)應(yīng)的周期運(yùn)動(dòng)在實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中才可以觀察得到。系統(tǒng)中可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的極限環(huán)，但在相鄰的兩個(gè)極限環(huán)之間存在著卷向某個(gè)極限環(huán)，或從某個(gè)極限環(huán)卷出的相軌跡。只有非線性系統(tǒng)才可能出現(xiàn)極限環(huán)，它是非線性系統(tǒng)所特有的自持振蕩在相平面圖中的體現(xiàn)。

9.2.2 相平面圖的繪制

1.線性系統(tǒng)的相軌跡

線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的特例。對(duì)于許多非線性一階和二階系統(tǒng)（系統(tǒng)中所含非線性環(huán)節(jié)可用分段折線表示），常可以分成多個(gè)區(qū)間進(jìn)行研究，而在各個(gè)區(qū)間內(nèi)，非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性可用線性微分方程描述。此外，對(duì)于某些非線性微分方程，為研究各平衡狀態(tài)附近的運(yùn)動(dòng)特性，可在平衡點(diǎn)附近作增量線性化處理，即對(duì)非線性微分方程中的各非線性函數(shù)作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并取一次項(xiàng)近似，獲得平衡點(diǎn)處的增量線性微分方程。因此，研究線性一階、二階系統(tǒng)的相軌跡及其特點(diǎn)是十分必要的。下面研究線性一階、二階系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡，所得結(jié)論可作為非線性一階、二階系統(tǒng)相平面法分析的基礎(chǔ)。

（1）線性一階系統(tǒng)的相軌跡

描述線性一階系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程為

相軌跡方程為

設(shè)系統(tǒng)的初始條件為c（0）=c0，，相軌跡如圖9-9所示。

圖9-9 線性一階系統(tǒng)的相軌跡

a）T<0 b）T>0

由圖9-9可知，相軌跡位于過(guò)原點(diǎn)，斜率為-1/T的直線上。當(dāng)T>0時(shí)，相軌跡沿該直線收斂于原點(diǎn)；當(dāng)T<0時(shí)，相軌跡沿該直線發(fā)散至無(wú)窮遠(yuǎn)處。

（2）線性二階系統(tǒng)的相軌跡

若在式（9-7）中，是x和的線性函數(shù)，則線性二階系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程可以表示為

分別取x和為相平面的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，并將上式改寫(xiě)成

式（9-10）代表描述線性二階系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的相軌跡各點(diǎn)處的斜率。令

則有x=0，，即系統(tǒng)奇點(diǎn)的位置在坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）。當(dāng)ζ取不同值時(shí)，系統(tǒng)的特征根在復(fù)平面上的分布情況不同，相應(yīng)奇點(diǎn)的類(lèi)型也不同。

1）中心點(diǎn)。當(dāng)ζ=0時(shí)，系統(tǒng)的特征根是一對(duì)純虛根，位于復(fù)平面的虛軸上。系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)為不衰減的正弦振蕩，相平面圖是一簇圍繞原點(diǎn)的橢圓。這種情況下的奇點(diǎn)稱(chēng)為中心點(diǎn)。

2）穩(wěn)定焦點(diǎn)。當(dāng)0<ζ<1時(shí)，系統(tǒng)的特征根是一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，位于復(fù)平面的左半部。系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)為收斂于平衡點(diǎn)的周期性衰減振蕩，相平面圖是一簇收斂于原點(diǎn)的對(duì)數(shù)螺線。這種情況下的奇點(diǎn)稱(chēng)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。

3）穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。當(dāng)ζ≥1時(shí)，系統(tǒng)的特征根是兩個(gè)負(fù)實(shí)根，位于復(fù)平面的負(fù)實(shí)軸上。系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)是收斂于平衡點(diǎn)的非周期性衰減運(yùn)動(dòng)。這種情況下的奇點(diǎn)稱(chēng)為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。

4）不穩(wěn)定焦點(diǎn)。當(dāng)-1<ζ<0時(shí)，系統(tǒng)的特征根是一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，位于復(fù)平面的右半部。系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)是發(fā)散的周期性振蕩，相軌跡的曲線也是向外發(fā)散的。這種情況下的奇點(diǎn)稱(chēng)為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。

5）不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。當(dāng)ζ≤-1時(shí)，系統(tǒng)的特征根是兩個(gè)正實(shí)根，位于復(fù)平面的正實(shí)軸上。系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)是非周期的發(fā)散過(guò)程，相軌跡的曲線背離奇點(diǎn)向外發(fā)散。這種情況下的奇點(diǎn)稱(chēng)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。

6）鞍點(diǎn)。當(dāng)出現(xiàn)項(xiàng)時(shí)，線性二階系統(tǒng)的微分方程則表示為

這相當(dāng)于正反饋系統(tǒng)的情況，這時(shí)系統(tǒng)的特征根為一正、一負(fù)兩個(gè)實(shí)根。系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)也是非周期性發(fā)散的，相軌跡中有直線和雙曲線族。這種情況下的奇點(diǎn)稱(chēng)為鞍點(diǎn)。

這六種不同類(lèi)型的奇點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的特征根的分布及相平面圖列于表9-1中。

表9-1 奇點(diǎn)的類(lèi)型

（續(xù)）

2.非線性系統(tǒng)的相軌跡

式（9-7）的非線性二階系統(tǒng)的微分方程為

若函數(shù)是解析的，系統(tǒng)的平衡點(diǎn)是，則可在平衡點(diǎn)處將其進(jìn)行小偏差線性化近似。具體方法是將在奇點(diǎn)處按泰勒級(jí)數(shù)公式展開(kāi)成下式

得增量線性化方程為

然后按線性二階系統(tǒng)分析奇點(diǎn)類(lèi)型，確定系統(tǒng)在奇點(diǎn)附近的穩(wěn)定性。也可以繪制系統(tǒng)的相平面圖，全面研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

例9-1 已知非線性系統(tǒng)的微分方程為

試求系統(tǒng)的奇點(diǎn)，并繪制系統(tǒng)的相平面圖。

解：系統(tǒng)相軌跡的斜率方程為

由，求得系統(tǒng)的兩個(gè)奇點(diǎn)為（0，0）和（-2，0）0為確定奇點(diǎn)類(lèi)型，需計(jì)算各奇點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)及增量線性化方程。

在奇點(diǎn)（0，0）處

特征根為s_1，2=-0.25±j1.39，故奇點(diǎn)（0，0）為穩(wěn)定焦點(diǎn)。

在奇點(diǎn)（-2，0）處

特征根為s₁=1.19，s₂=-1.69，故奇點(diǎn)（-2，0）為鞍點(diǎn)。

根據(jù)奇點(diǎn)的位置和奇點(diǎn)類(lèi)型，結(jié)合線性系統(tǒng)奇點(diǎn)類(lèi)型和系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，繪制系統(tǒng)的相平面圖，如圖9-10所示。圖中，相交于鞍點(diǎn)（-2，0）的兩條相軌跡為奇線，將相平面劃分為兩個(gè)區(qū)域，相平面圖中陰影線內(nèi)區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域，陰影線外區(qū)域?yàn)橄到y(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)域。凡初始條件位于陰影線內(nèi)區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)均收斂至原點(diǎn)；凡初始條件位于陰影線外區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)發(fā)散至無(wú)窮大。該例說(shuō)明，非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)及其穩(wěn)定性與初始條件有關(guān)。

許多非線性系統(tǒng)所含有的非線性特性是分段線性的，或者可以用分段線性特性來(lái)近似。用相平面法分析這類(lèi)系統(tǒng)時(shí)，首先根據(jù)非線性特性的線性分段情況，用分界線將相平面分成幾個(gè)線性區(qū)域。然后，分別繪出在各線性區(qū)域內(nèi)的相軌跡。最后，將相鄰區(qū)域內(nèi)的相軌跡銜接成連續(xù)的曲線，即可獲得系統(tǒng)的相平面圖。

圖9-10 例9-1系統(tǒng)的相平面圖

3.繪制相軌跡的方法

應(yīng)用相平面法分析非線性系統(tǒng)，首先要繪制出相軌跡。下面介紹幾種常用的繪制方法。

（1）解析法

一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)描述系統(tǒng)的微分方程比較簡(jiǎn)單，或者可以分段線性化時(shí)，可采用解析法繪制相軌跡。用解析法繪制相軌跡時(shí)要先求出相軌跡方程，然后根據(jù)這個(gè)方程在相平面上作圖。

解析法求相軌跡方程有兩種方法：第一種方法是對(duì)斜率方程進(jìn)行積分求相軌跡方程；第二種方法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程分別求出時(shí)間解x（t）和，然后再?gòu)倪@兩個(gè)關(guān)系式中消去時(shí)間變量t，便得相軌跡方程。

式（9-7）的非線性二階系統(tǒng)的微分方程為

相軌跡的斜率方程為

若斜率方程比較簡(jiǎn)單，可直接進(jìn)行積分，求得包含初始條件的相軌跡方程。

例9-2 衛(wèi)星控制系統(tǒng)。簡(jiǎn)單衛(wèi)星模型的控制系統(tǒng)如圖9-11所示，u為推進(jìn)器提供的轉(zhuǎn)矩，θ為衛(wèi)星天線的指向角度。圖9-11a所示的衛(wèi)星是由一對(duì)推進(jìn)器控制的旋轉(zhuǎn)慣性體，正向點(diǎn)火時(shí)能提供恒值正向轉(zhuǎn)矩U，而反向點(diǎn)火時(shí)能提供恒值反向轉(zhuǎn)矩-U。該控制系統(tǒng)的目的是通過(guò)合理控制噴嘴的點(diǎn)火，維持衛(wèi)星天線的指向角度為零，即θ_d=0。試?yán)L制衛(wèi)星控制系統(tǒng)的相軌跡。

圖9-11 衛(wèi)星控制系統(tǒng)

解：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

考慮到e=θ_d-θ=-θ，代入運(yùn)動(dòng)方程得

可以寫(xiě)為

進(jìn)行分離變量法積分，得到相軌跡方程為

由上式可知，，，為系統(tǒng)的初始條件。由相軌跡方程可繪制衛(wèi)星控制系統(tǒng)的相軌跡圖如圖9-12所示。

繪制圖9-12的MATLAB程序：prog92.m

t1=0;0.01:2;t2=0:0.01:4;t3=0:0.01:6;

[t1,x1]=ode45（'sys92',t1,[0 1]）;

[t2,x2]=ode45（'sys92',t2,[0 2]）;

[t3,x3]=ode45（'sys92',t3,[0 3]）;

plot（x1（:,1）,x1（:,2）,x2（:,1）,x2（:,2）,x3（:,1）,x3（:,2））

調(diào)用函數(shù):sys92.m

function dx=sys92（t,x）

dx1=x（2）;

ifx（1）>=0

dx2=-1;

else dx2=1;

end

dx=[dx1 dx2]';

圖9-12 例9-2系統(tǒng)的相平面圖

例9-3 系統(tǒng)的微分方程為

其中，0<ζ<1。試?yán)L制系統(tǒng)的相平面圖。

解：式（9-12）可以改寫(xiě)為

上式不能直接進(jìn)行積分，故采用求出時(shí)間解的解法。解式（9-12），得系統(tǒng)的時(shí)間解為

式中，；常量A、φ由初始條件確定，其值為

式（9-13）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

由式（9-13）和式（9-14）消去t，得到相軌跡方程為

式中，常量。

令rcosθ=ω_dx，將式（9-15）化為下列極坐標(biāo)形式

式（9-16）是對(duì)數(shù)螺旋線方程。隨著t的增大，θ不斷增大，r不斷減小，因此系統(tǒng)的相軌跡是從外面向平衡點(diǎn)（即奇點(diǎn)）不斷趨近的一簇向心螺旋線。設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)為ζ=0.5，ω_n=1，可繪制不同初始條件下的相軌跡如圖9-13所示。

（2）等傾線法

任一曲線都可以用一系列足夠短的折線來(lái)近似。如果我們能用簡(jiǎn)便的方法求得相平面中任意一點(diǎn)相軌跡的斜率，就可作出通過(guò)該點(diǎn)的相軌跡切線方向的短線，用它來(lái)近似該點(diǎn)附近的相軌跡曲線。

相軌跡斜率為常數(shù)的點(diǎn)連成的曲線即為等傾線。式（9-8）的相軌跡斜率方程為

圖9-13 例9-3系統(tǒng)的相平面圖

該方程給出了相軌跡在相平面上任一點(diǎn)處切線的斜率。取相軌跡切線的斜率為某一常數(shù)α，得等傾線方程

對(duì)應(yīng)每一個(gè)α值，由該方程可在相平面上畫(huà)出一條曲線。當(dāng)相軌跡經(jīng)過(guò)該等傾線上任一點(diǎn)時(shí)，其切線的斜率都相等，均為α。取α為若干不同的值，即可在相平面上繪制出若干條等傾線，并在等傾線上各點(diǎn)處作斜率為α的短直線。相軌跡的繪制過(guò)程如下：

首先確定相軌跡斜率為不同常數(shù)值的等傾線，然后在每一條等傾線上畫(huà)出代表相軌跡斜率的短線，最后從初始點(diǎn)出發(fā)，光滑連接相平面上的短線段即可繪制出系統(tǒng)的相軌跡曲線。

等傾線法又稱(chēng)折線法，它是繪制相軌跡的一種作圖方法，不需要求解微分方程。對(duì)于求解困難的非線性微分方程，圖解方法顯得尤為實(shí)用。

例9-4 范達(dá)波爾（Vanderpol）微分方程

這是一個(gè)著名的非線性微分方程，當(dāng)μ取不同數(shù)值時(shí)，它可以描述許多不同非線性系統(tǒng)的物理過(guò)程。當(dāng)μ=1時(shí)，試用等傾線法在相平面內(nèi)繪制這個(gè)方程的相平面圖。

解：（1）確定平衡點(diǎn)的坐標(biāo)。

令范達(dá)波爾微分方程中，，得到

于是平衡點(diǎn)坐標(biāo)為。

（2）確定平衡點(diǎn)的類(lèi)型。

將范達(dá)波爾方程在平衡點(diǎn)（0，0）的鄰域內(nèi)線性化，得到的線性化模型為

其特征方程為

λ²-μλ+1=0

兩個(gè)特征根為

當(dāng)μ<2時(shí)，平衡點(diǎn)（0，0）為不穩(wěn)定焦點(diǎn)；當(dāng)μ>2時(shí)，平衡點(diǎn)（0，0）為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。給定μ=1，則平衡點(diǎn)（0，0）為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。

（3）等傾線方程。

按式（9-8）求范達(dá)波爾方程的相軌跡斜率，并令其為常數(shù)，則有

當(dāng)μ=1時(shí)，等傾線方程為

（4）畫(huà)相軌跡。

在相平面內(nèi)按等傾線方程畫(huà)出不同α值的等傾線。畫(huà)出一些給定初始狀態(tài)的相軌跡，得到一個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)如圖9-14所示。這表明，當(dāng)μ=1時(shí)，范達(dá)波爾方程描述的非線性系統(tǒng)將產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的周期振蕩（即自持振蕩）。

圖9-14 例9-4系統(tǒng)的相平面圖

9.2.3 非線性控制系統(tǒng)的相平面分析

在非線性控制系統(tǒng)中，常見(jiàn)的非線性環(huán)節(jié)有些是分段線性的，有些可以用分段線性來(lái)近似。這樣，一個(gè)非線性系統(tǒng)就可以通過(guò)幾個(gè)分段線性的系統(tǒng)來(lái)近似。在用相平面法分析時(shí)，首先要根據(jù)非線性特性的分段情況，將相平面分成幾個(gè)區(qū)，即所謂“非線性分段，相平面分區(qū)”。然后列寫(xiě)各區(qū)的線性微分方程，畫(huà)出各區(qū)的相軌跡，最后根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變化的連續(xù)性，在各區(qū)的分界線上，將相軌跡彼此銜接成連續(xù)曲線。通常將各區(qū)域的分界線稱(chēng)為切換線。在切換線上相軌跡的銜接點(diǎn)稱(chēng)為切換點(diǎn)。

在分區(qū)繪制相軌跡時(shí)，首先要確定奇點(diǎn)的位置和類(lèi)型，它們均取決于支配該區(qū)域工作狀態(tài)的微分方程，也可能與輸入信號(hào)的形式和大小有關(guān)。每個(gè)區(qū)域都可能具有奇點(diǎn)，奇點(diǎn)的位置可以在本區(qū)域之內(nèi)，也可以在本區(qū)域之外。如果奇點(diǎn)的位置在本區(qū)域之內(nèi)，稱(chēng)為實(shí)奇點(diǎn)，該區(qū)的相軌跡可以匯集于這個(gè)實(shí)奇點(diǎn)；如果奇點(diǎn)的位置在本區(qū)域之外，則稱(chēng)為虛奇點(diǎn)，該區(qū)的相軌跡不可能匯集于虛奇點(diǎn)。在非線性二階控制系統(tǒng)中，只能有一個(gè)實(shí)奇點(diǎn)，而其余的奇點(diǎn)都是虛奇點(diǎn)。辨明虛、實(shí)奇點(diǎn)對(duì)于正確分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是非常重要的。

用相平面法分析可以分段線性化的非線性系統(tǒng)的一般步驟如下：

1）將非線性特性用分段的直線特性來(lái)表示，寫(xiě)出各段的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

2）選擇合適的坐標(biāo)，常用誤差e及其導(dǎo)數(shù)分別作為相平面的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，根據(jù)非線性特性將相平面分成若干區(qū)域，使非線性特性在每個(gè)區(qū)域內(nèi)都呈線性特性。

3）確定每個(gè)區(qū)域奇點(diǎn)的類(lèi)型和在相平面上的位置。奇點(diǎn)的位置還與輸入信號(hào)的形式和大小有關(guān)。

4）畫(huà)出各區(qū)的相軌跡。

5）在切換點(diǎn)上將相鄰區(qū)域的相軌跡連接起來(lái)。

1.具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)

設(shè)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)如圖9-15所示。圖中，T=1，K=4，a=0.2，b=0.2。假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，即c（0）=0，。

圖9-15 具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)

線性環(huán)節(jié)的微分方程為

其中，飽和特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

考慮到e=r-c，代入線性環(huán)節(jié)的微分方程，得到在相平面內(nèi)的三個(gè)分區(qū)線性微分方程

可知分界線e=-a和e=a將相平面分為負(fù)飽和區(qū)、線性區(qū)和正飽和區(qū)，對(duì)應(yīng)相平面圖中的Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)。下面分別研究系統(tǒng)在r（t）=R·1（t）和r（t）=R+V₀t作用下的相軌跡。

1）r（t）=R·1（t）。整理式（9-17）得

Ⅰ區(qū)：系統(tǒng)的微分方程為

由上式可知

相軌跡無(wú)奇點(diǎn)。而等傾線方程為

令其斜率等于相軌跡的斜率，即時(shí)，得相軌跡的漸近線為。

Ⅱ區(qū)：系統(tǒng)的微分方程為

由上式可求得相軌跡有一個(gè)奇點(diǎn)（0，0），且該奇點(diǎn)為實(shí)奇點(diǎn)。代入給定參數(shù)求得微分方程的特征根為s_1，2=-0.5±j1.94，對(duì)應(yīng)相軌跡的奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。

Ⅲ區(qū)：系統(tǒng)的微分方程為

由上式可知

相軌跡無(wú)奇點(diǎn)。而等傾線方程為

令其斜率等于相軌跡的斜率，即時(shí)，得相軌跡的漸近線為。

由初始條件和給定輸入得e（0）=r（0）-c（0）=R，，則相軌跡的起始點(diǎn)為點(diǎn)（R，0）。利用等傾線法，并結(jié)合相軌跡的特點(diǎn)，繪制系統(tǒng)的相軌跡如圖9-16所示。相軌跡最終趨于坐標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖9-16 階躍輸入作用下的相平面圖

2）r（t）=R+V₀t。由，，可得下述三個(gè)分區(qū)線性微分方程

仿照1）的討論，在給定參數(shù)值下，線性區(qū)的奇點(diǎn)（V₀/K，0）為穩(wěn)定焦點(diǎn)；Ⅰ區(qū)內(nèi)的漸近線為；Ⅲ區(qū)內(nèi)的漸近線為。r（t）=R+V₀t對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響，與r（t）=R·1（t）的情況相比較，奇點(diǎn)將沿橫軸向右平移V₀/k，兩條漸近線將沿縱軸向上平移V₀。由初始條件和給定輸入得，e（0）=r（0）-c（0）=R，，則相軌跡的起始點(diǎn)為點(diǎn)（R，V₀）。由于系統(tǒng)參數(shù)及給定輸入信號(hào)變化速率的不同，引起奇點(diǎn)和漸近線的位置變化，使得奇點(diǎn)的虛實(shí)性發(fā)生變化，從而導(dǎo)致系統(tǒng)相軌跡的運(yùn)動(dòng)變得復(fù)雜，因此需根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)及給定輸入信號(hào)變化速率的不同，分別加以研究。下面僅討論其中的三種情況。

當(dāng)V₀=1.2>Kb時(shí)，在線性區(qū)內(nèi)相軌跡的奇點(diǎn)（0.3，0）為穩(wěn)定焦點(diǎn)，且為虛奇點(diǎn)。飽和區(qū)的兩條漸近線和均位于相平面的上半平面。系統(tǒng)的相平面圖如圖9-17a所示，起始于任何初始點(diǎn)的相軌跡將沿正飽和區(qū)的漸近線發(fā)散至無(wú)窮遠(yuǎn)處。

當(dāng)V₀=0.4<Kb時(shí)，在線性區(qū)內(nèi)相軌跡的奇點(diǎn)（0.1，0）為穩(wěn)定焦點(diǎn)，且為實(shí)奇點(diǎn)。負(fù)飽和區(qū)和正飽和區(qū)的兩條漸近線和分別位于相平面的上半平面和下半平面。系統(tǒng)的相平面圖如圖9-17b所示，起始于任何初始點(diǎn)的相軌跡最終都收斂于實(shí)奇點(diǎn)（0.1，0），系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.1。

當(dāng)V₀=0.8=Kb時(shí)，在線性區(qū)內(nèi)相軌跡的奇點(diǎn)（0.2，0）為穩(wěn)定焦點(diǎn)，且為實(shí)奇點(diǎn)，位于開(kāi)關(guān)線e=a上。負(fù)飽和區(qū)存在一條漸近線。正飽和區(qū)的線性微分方程為

按線性系統(tǒng)的相軌跡分析可知，該區(qū)域內(nèi)的相軌跡是斜率為-1/T的直線，該區(qū)域內(nèi)橫軸上的各點(diǎn)都是奇點(diǎn)。起始于任何初始點(diǎn)的相軌跡最終都穩(wěn)定在e≥0.2的橫軸上，系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差的大小取決于初始條件。相平面圖如圖9-17c所示。

圖9-17 斜坡輸入作用下的相平面圖

2.具有變?cè)鲆嫣匦缘姆蔷€性控制系統(tǒng)

設(shè)具有變?cè)鲆嫣匦缘姆蔷€性控制系統(tǒng)如圖9-18所示。假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，即c（0）=0，。

線性環(huán)節(jié)的微分方程為

其中，變?cè)鲆嫣匦缘臄?shù)學(xué)表達(dá)式為

圖9-18 具有變?cè)鲆嫣匦缘姆蔷€性控制系統(tǒng)

考慮到e=r-c，代入線性環(huán)節(jié)的微分方程，得到在相平面內(nèi)的兩個(gè)分區(qū)線性微分方程為

可知分界線e=-a和e=a將相平面分為增益不同的兩個(gè)區(qū)，對(duì)應(yīng)相平面圖中的Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)。下面分別研究系統(tǒng)在r（t）=R·1（t）和r（t）=R+V₀t作用下的相軌跡。

（1）r（t）=R.1（t）時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

整理式（9-18）得

非線性增益特性是為了解決系統(tǒng)的快速性與平穩(wěn)性之間的矛盾而引入的非線性環(huán)節(jié)，故k₁、k₂應(yīng)按如下原則取值：為保證系統(tǒng)的快速性，使系統(tǒng)在Ⅱ區(qū)工作于欠阻尼狀態(tài)，相應(yīng)的奇點(diǎn)（0，0）為穩(wěn)定焦點(diǎn)；為保證系統(tǒng)的平穩(wěn)性，在Ⅰ區(qū)使系統(tǒng)工作在臨界阻尼狀態(tài)，相應(yīng)的奇點(diǎn)（0，0）為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。

由式（9-19）計(jì)算出Ⅰ區(qū)相軌跡的漸近線后，便可參照表9-1中穩(wěn)定焦點(diǎn)和穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)的相軌跡，注意相軌跡垂直穿越橫軸、相似成比例特性和相點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性等繪制出系統(tǒng)的概略相圖。圖9-19畫(huà)出了系統(tǒng)在零初態(tài)、單位階躍輸入作用下的一條相軌跡。Ⅰ區(qū)的奇點(diǎn)為實(shí)奇點(diǎn)，Ⅱ區(qū)的奇點(diǎn)為虛奇點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定在Ⅰ區(qū)的實(shí)奇點(diǎn)上。因Ⅰ區(qū)相軌跡屬穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)相軌跡，故系統(tǒng)的振蕩次數(shù)大大減少；因Ⅱ區(qū)相軌跡屬穩(wěn)定焦點(diǎn)相軌跡，相點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的平均速度高，系統(tǒng)的快速性好。

圖9-20 變?cè)鲆嫣匦苑蔷€性控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

當(dāng)參數(shù)取值為T=0.5、K=5、k₁=0.1、k₂=0.3、a=0.7時(shí)，非線性增益控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖9-20所示。曲線①對(duì)應(yīng)增益取值較大，系統(tǒng)快速性好，但超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多；曲線②對(duì)應(yīng)增益取值較小，則超調(diào)量和振蕩次數(shù)將減小，甚至沒(méi)有超調(diào)，但快速性較差；采用變?cè)鲆娣蔷€性環(huán)節(jié)，誤差較大時(shí)增益較大以保證系統(tǒng)的快速性，誤差較小時(shí)增益較小以保證系統(tǒng)的平穩(wěn)性，從而獲得了較理想的響應(yīng)曲線③。

（2）r（t）=R+V₀t時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析

整理式（9-18）得

由式（9-20）可知，Ⅰ區(qū)的奇點(diǎn)P₁位于點(diǎn)（V₀/Kk₁，0），是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)；Ⅱ區(qū)的奇點(diǎn)P₂位于點(diǎn)（V₀/Kk₂，0），是穩(wěn)定焦點(diǎn)。因k₂>k₁，故P₂位于P₁的左邊。

奇點(diǎn)P₁、P₂的虛實(shí)性取決于輸入信號(hào)速度V₀的大小，分以下三種情況進(jìn)行討論：

1）當(dāng)|V₀|<Kk₁a時(shí)，P₁為實(shí)奇點(diǎn)，P₂為虛奇點(diǎn)。系統(tǒng)穩(wěn)定在實(shí)奇點(diǎn)P₁上，穩(wěn)態(tài)誤差為e（∞）=V₀/kk₁。相平面圖如圖9-21a所示。

2）當(dāng)Kk₁a<|V₀|<Kk₂a時(shí)，P₁與P₂均為虛奇點(diǎn)。系統(tǒng)的相軌跡沒(méi)有實(shí)奇點(diǎn)，既不會(huì)穩(wěn)定在Ⅰ區(qū)，又不會(huì)穩(wěn)定在Ⅱ區(qū)，最終收斂于Ⅰ、Ⅱ區(qū)的分界線與實(shí)軸的交點(diǎn)上，穩(wěn)態(tài)誤差為|e（∞）|=a。相平面圖如圖9-21b所示。

3）當(dāng)|V₀|>Kk₂a時(shí)，P₁為虛奇點(diǎn)，P₂為實(shí)奇點(diǎn)。系統(tǒng)穩(wěn)定在實(shí)奇點(diǎn)P₂上，穩(wěn)態(tài)誤差為e（∞）=V₀/Kk₂。相平面圖如圖9-21c所示。

圖9-21 斜坡輸入作用下的相平面圖

系統(tǒng)在斜坡輸入作用下，其主要矛盾不是快速性和平穩(wěn)性之間的矛盾，而是動(dòng)、靜態(tài)品質(zhì)之間的矛盾。由圖9-21可知，非線性增益特性并不能解決上述矛盾。

3.具有繼電特性的非線性控制系統(tǒng)

設(shè)具有繼電特性的非線性控制系統(tǒng)如圖9-22所示，分析在階躍輸入r（t）=R.1（t）作用下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。

線性環(huán)節(jié)的微分方程為

其中，繼電特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

考慮到e=r-c，代入線性環(huán)節(jié)的微分方程，得在相平面e-è.內(nèi)的兩個(gè)分區(qū)線性微分方程

由式（9-21）可知，分界線e=0將相平面分為左右兩個(gè)區(qū)，右半平面為Ⅰ區(qū)，左半平面為Ⅱ區(qū)。在階躍輸入r（t）=R·1（t）作用下系統(tǒng)的分區(qū)線性微分方程為

圖9-22 具有繼電特性的非線性控制系統(tǒng)

Ⅰ區(qū)：等傾線方程為

漸近線為

等傾線是平行于e軸的一簇直線，用等傾線法可畫(huà)出不同初始條件的相軌跡是沿水平方向平移的一簇曲線，相軌跡都趨向于漸近線。

Ⅱ區(qū)：等傾線方程為

漸近線為

等傾線是平行于e軸的一簇直線，用等傾線法可畫(huà)出不同初始條件的相軌跡是沿水平方向平移的一簇曲線，相軌跡都趨向于漸近線。

由式（9-22）可判斷系統(tǒng)在兩個(gè)區(qū)域的相軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此在繪制Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)的相軌跡時(shí)可以利用其對(duì)稱(chēng)性。使用等傾線法并考慮相軌跡的特點(diǎn)，繪制出系統(tǒng)的相軌跡如圖9-23所示。無(wú)論系統(tǒng)的初始相點(diǎn)落在何處，相點(diǎn)最終收斂于坐標(biāo)原點(diǎn)。在階躍函數(shù)作用下，系統(tǒng)從起始點(diǎn)（R，0）開(kāi)始的相軌跡如圖9-23中的實(shí)線所示，運(yùn)動(dòng)曲線呈衰減振蕩，靜態(tài)誤差為零。系統(tǒng)在大偏差時(shí)衰減快；進(jìn)入小偏差后，由于相軌跡在橫軸鄰近區(qū)域的上下近似對(duì)稱(chēng)，系統(tǒng)衰減小，振蕩次數(shù)多。

當(dāng)繼電元件存在延時(shí)τ時(shí)，可繪制系統(tǒng)的相軌跡如圖9-24所示。繼電元件的延時(shí)使相平面的分界線按順時(shí)針?lè)较蚱D(zhuǎn)一個(gè)角度θ，如圖9-24中直線AB所示。當(dāng)相軌跡與縱軸相交時(shí)的坐標(biāo)值為時(shí)，則偏轉(zhuǎn)角度為

圖9-23 理想繼電特性系統(tǒng)的相平面圖

圖9-24 存在繼電延時(shí)系統(tǒng)的相平面圖

由圖9-24可以看出，系統(tǒng)在大偏差時(shí)收斂，分界線的偏轉(zhuǎn)引起系統(tǒng)在小偏差時(shí)發(fā)散，相軌跡形成穩(wěn)定的極限環(huán)，運(yùn)動(dòng)曲線呈現(xiàn)自持振蕩。

為了克服理想繼電特性系統(tǒng)小偏差時(shí)衰減慢、振蕩次數(shù)多的缺點(diǎn)，可引進(jìn)速度反饋校正，如圖9-25所示。

系統(tǒng)在階躍輸入作用下，其分界線方程為

分界線是一條過(guò)原點(diǎn)、斜率為-1/K_s的直線，將相平面分為Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)線性域。帶速度反饋校正的繼電型非線性系統(tǒng)的相軌跡如圖9-26所示。速度反饋使相平面圖的分界線按逆時(shí)針?lè)较蚱D(zhuǎn)一個(gè)角度，如圖9-26中直線AB所示。Ⅰ區(qū)位于直線AB的右上方，對(duì)應(yīng)繼電特性輸出為M時(shí)系統(tǒng)的相軌跡；Ⅱ區(qū)位于直線AB的左下方，對(duì)應(yīng)繼電特性輸出為-M時(shí)系統(tǒng)的相軌跡。曲線①是與分界線AB相切且仍為M控制的一條相軌跡，切點(diǎn)為P₁；曲線②是與分界線AB相切且仍為-M控制的一條相軌跡，切點(diǎn)為P₂。當(dāng)相軌跡進(jìn)入分界線上的P₁P₂線段上時(shí)，相點(diǎn)將沿分界線滑動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)。

圖9-25 具有速度反饋的非線性控制系統(tǒng)

圖9-26 帶速度反饋校正的繼電型非線性系統(tǒng)的相軌跡

加入速度反饋校正后，系統(tǒng)相平面圖的分界線逆時(shí)針?lè)较蚱D(zhuǎn)，致使階躍響應(yīng)的超調(diào)量減小，振蕩次數(shù)減少，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短。