第2章　平衡問題的研究

在數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、文學(xué)和藝術(shù)等方面，古希臘人都表現(xiàn)出驚人的創(chuàng)造才能。但是，他們在物理學(xué)方面的成果就比較少。早期古希臘人的物理學(xué)思想絕大部分是含糊的、微不足道甚至是毫無價值的，因為他們從未嘗試或者很少嘗試通過實驗來證實自己的判斷。從阿基米德開始，古希臘才出現(xiàn)了為研究課題而專門從事實驗的物理學(xué)家。

阿基米德（前287—前212）的父親是一位天文學(xué)家，良好的家庭教育讓阿基米德很早就對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣，并且熟練掌握了許多數(shù)學(xué)技巧。他曾對數(shù)學(xué)的若干分支做出過很重要的貢獻(xiàn)，例如在立體幾何方面，他找到了圓柱體及其內(nèi)接球的面積和體積之間的關(guān)系式。按照他本人的意愿，他的墓碑上就是用一個圓柱體內(nèi)有一個內(nèi)切球作為主要標(biāo)志的。

阿基米德在《論平面圖形的平衡》一書中提到了杠桿。什么是杠桿呢？一般而言，它就是圍繞固定支點轉(zhuǎn)動的硬棒，屬于一種簡單機(jī)械，在生活的各個方面都有十分重要的應(yīng)用。根據(jù)實際需要，杠桿的形式多種多樣，例如剪刀、扳手、撬棍、蹺蹺板等。

在阿基米德的時代，希臘數(shù)學(xué)完全局限于幾何學(xué)，甚至連物理學(xué)領(lǐng)域中的各種證明都是由幾何作圖來完成。阿基米德討論靜力學(xué)的平衡問題時，就是遵從歐幾里得《幾何原理》的傳統(tǒng)，先提出公設(shè)，然后再從中推演出若干定理。阿基米德把杠桿在實際生活應(yīng)用中的一些經(jīng)驗知識當(dāng)做不證自明的公設(shè)。這些公設(shè)如下：

1.相同的重物放在相同的距離上就處于平衡狀態(tài)；而相同的重物放在不同的距離上則不平衡，杠桿會朝著放在較遠(yuǎn)距離上的那個重物傾斜。

2.當(dāng)放在一定距離上的重物處于平衡狀態(tài)時，如果在其中一個重物上加一點分量，它們就不平衡了，杠桿會向加了分量的那個重物傾斜。

3.同理，如果從其中一個重物中取出一點分量，它們也不平衡，杠桿向沒有取出分量的那個重物一邊傾斜。

4.全等的平面圖形如果互相重疊地放在一起，則它們的重心也同樣重合。

5.如果圖形不相等但是相似，則其重心也有相似的位置。所謂相似圖形有相似位置的點，是指如果過這些點分別到相等的角作直線，則它們與對應(yīng)的邊所成之角也是相等的。

6.如果處于一定距離上的兩個重物處于平衡狀態(tài)，則另外兩個與它們相等的重物處于同樣距離時也會處于平衡狀態(tài)。

7.任何一個圖形，如果沿同一方向其周邊都是下凹的，其重心必在圖形之內(nèi)。

從這些公理出發(fā)，運用幾何學(xué)，通過直接的邏輯論證，阿基米德推出了十五條定理。其中第六條定理就是著名的杠桿原理，用現(xiàn)代的話說就是：兩個重物平衡時，它們離支點的距離與重量成反比。

阿基米德對杠桿的研究不是僅停留在理論研究層面，他還進(jìn)行了一系列的實踐活動。在第二次羅馬和迦太基的戰(zhàn)爭中，為了保衛(wèi)錫拉庫薩免受羅馬海軍的襲擊，阿基米德利用杠桿原理制造了遠(yuǎn)近距離的投石器，利用它們射出各種飛彈和巨石攻擊敵人，將羅馬人阻于錫拉庫薩城外達(dá)三年之久。

杠桿的工作原理在中國歷史文獻(xiàn)上也有記載。戰(zhàn)國時代后期，在《墨經(jīng)》（成書時間約為公元前388年）中就有關(guān)于桿秤平衡（圖2.1）的記載：“衡，加重于其一旁，必捶，權(quán)重相若也相衡……”這句話的意思是當(dāng)桿秤平衡時，若在其一端加重物，一定會使它傾斜。一端同加重物，另一端必須調(diào)整臂長，桿秤才能平衡。墨家成員大多數(shù)來自生產(chǎn)的第一線，具有豐富的實踐經(jīng)驗，刻苦研究的風(fēng)氣也很盛行，做了很多新發(fā)明。雖然墨家發(fā)現(xiàn)杠桿原理的時間比阿基米德要早200多年，但是沒有就此建立起完善的力學(xué)體系。

阿基米德應(yīng)用杠桿原理發(fā)明了另一種機(jī)械裝置，它就是滑輪。滑輪是一個能夠繞軸轉(zhuǎn)動的小輪，可以通過繩索或者鉸鏈傳遞力。根據(jù)軸的位置可以將滑輪分為兩大類：一類為定滑輪，其軸的位置固定，可以承受力，通過定滑輪可以改變力的方向；另一類為動滑輪，其軸的位置隨被拉物體一起運動，它不能改變力的方向，但是牽引一邊時可以節(jié)省一半的力。如圖2.2所示，多個定滑輪和動滑輪組合在一起，構(gòu)成滑輪組。公元1世紀(jì)，亞歷山大城的數(shù)學(xué)家海倫分析并且證明了滑輪原理，即負(fù)載與施力之比等于承擔(dān)負(fù)載的繩索段的數(shù)目。

阿基米德曾應(yīng)用滑輪組移動了一艘沉重的大船，古希臘著名傳記作家普魯塔克（46—120）向公眾介紹了這個故事。阿基米德是錫拉庫薩的希羅國王的親戚和朋友，他曾寫信給希羅說，用任何給定的力能夠移動任何給定的重物，而且正如我們所知道的，他由于受到自己的實驗演示的巨大鼓舞，便宣稱假如另外有一個世界，他又可以到那里去的話，他就能移動地球！希羅國王大為驚奇，要他把他的主張付諸實施，表演一下怎樣用微小的力去移動很大的重物。于是阿基米德決定拉動一艘皇家船隊的三桅貨船，這種船通常要用很多勞力在岸邊拉纖才能靠岸。因為提前設(shè)計并安裝了一套滑輪組，所以在船上乘有許多旅客并裝滿了普通的貨物后，阿基米德就坐在離船一段距離的地方，安靜地轉(zhuǎn)動手里的圓盤，通過滑輪組毫不費勁地就把船平穩(wěn)地拉動起來了。

除了工程機(jī)械方面的貢獻(xiàn)以外，阿基米德還發(fā)現(xiàn)了流體靜力學(xué)中的浮力定律，并在《論浮力》一書中給出了詳細(xì)的證明。古羅馬著名建筑師維特魯威烏斯（約前80或前70—前25）根據(jù)傳說詳細(xì)描述了它的發(fā)現(xiàn)過程。阿基米德有許多各種各樣的發(fā)現(xiàn)，在他所有的發(fā)現(xiàn)當(dāng)中，有一個是最精彩、最巧妙的，就是浮力定律。傳說，希羅國王為了顯示自己的豐功偉績，決定在一座圣廟里供奉一頂純金的皇冠，獻(xiàn)給不朽的神靈。希羅國王與承包商談好價錢，按照約定精確地稱出黃金交給了他。到了規(guī)定的日期，承包商送來了制作極其精美的皇冠，國王極為滿意。看起來皇冠的重量與所給的黃金重量完全相符。可是有人告發(fā)說，在做皇冠時，承包商竊取了部分黃金，并將其替換為等重的廉價金屬。希羅國王覺得自己受了欺騙，非常生氣，但又沒有辦法把竊賊的嘴臉揭露出來，就命令阿基米德想想辦法。阿基米德連洗澡的時候都在想著這件事，當(dāng)進(jìn)澡盆時，發(fā)現(xiàn)自己身體越往里浸，澡盆里的水溢出得越多，解決問題的辦法找到了。他從澡盆里跳出來，光著身子欣喜若狂地跑到大街上，一邊跑還一邊大喊：“找到了，找到了！”阿基米德向國王討來與皇冠等重的一塊黃金，把這塊黃金緩慢地完全浸入到灌得滿滿的容器中，收集溢出的水，溢出的水和黃金的體積是相等的。把黃金取出來，再次用水灌滿容器，將皇冠緩慢地完全浸入到容器中，同樣收集溢出的水。通過比較發(fā)現(xiàn)皇冠的體積比等重黃金的體積稍微大一些，他找到了皇冠中摻入了廉價金屬的確鑿證據(jù)。

皇冠懸案完美地解決了，但是阿基米德卻因此沉浸在探索物體在液體中的浮力問題中。如果在液體中對物體進(jìn)行稱重，則必須減去物體排開同體積液體的重量。于是，阿基米德發(fā)現(xiàn)浸在液體中的物體受到向上的浮力，浮力的大小等于物體排開的同體積液體的重量。這就是著名的浮力定律。

阿基米德以后，靜力學(xué)方面的研究幾乎停滯，直到十六世紀(jì)，由荷蘭學(xué)者西蒙·斯特文斯（1548—1620）重新發(fā)展起來。斯特文斯具有獨立的思想，并且對權(quán)威極少崇拜，在各方面都有很深的造詣，例如他是小數(shù)的發(fā)明者、研究過滑輪組的平衡問題、提出并應(yīng)用過力的平行四邊形原理等。

1586年，斯特文斯出版了《靜力學(xué)原理》一書。在這本書的封面上，畫了一幅圖。如圖2.3所示，許多金屬小球組成一根鏈條，放在一個棱柱形的支撐體上；棱柱體兩個斜面的傾角不同，但都是光滑的，可以忽略摩擦。在這種情況下會發(fā)生什么呢？因為斜面的傾角不同，右邊斜面（傾角較小）上的小球明顯比左邊斜面（傾角較大）上的多，而許多人認(rèn)為由于兩邊不平衡，鏈條將自左向右順時針滑動，因為鏈條是連續(xù)的，這個運動將永遠(yuǎn)地進(jìn)行下去。如果真如此，這個裝置就成為一臺永動機(jī)了。

斯特文斯否定了永動機(jī)的這種可能性。他找到了鏈條在斜面上的平衡條件，就是斜面上的一個物體沿斜面方向所受到的力與傾角的正弦值成正比。

顯然，左右兩個斜面上的小球數(shù)目與斜面長度成正比。如果左側(cè)每個小球受到的拉力為F_l，右側(cè)每個小球受到的拉力為F_r，那么有

F_l×AC = F_r×CB

若引入斜面的傾角為φ_l和φ_r，則有

這樣，斜面的平衡條件就可以寫為以下關(guān)系式：

斯特文斯在流體靜力學(xué)方面也有重要的貢獻(xiàn)。他用實驗演示了所謂的流體靜力學(xué)的下述定律，即液體對盛放液體的容器的底所施的力只取決于承受壓力的面積大小和它上面的液柱高度，與容器的形狀無關(guān)。

斯特文斯用圖2.4所示的實驗演示了這一性質(zhì)。一個容器ABCD內(nèi)注滿了水，底部有一個圓形開口EF，蓋上一個木盤GH。第二個容器IRL與第一個容器一樣高，也注滿了水，底部也有一個同樣大小的開口，也蓋了一個與GH同樣重的木盤OP。實驗結(jié)果顯示，木盤GH和OP都沒有浮起而保持頂住開口。這表明，實際上它們承受著相等的壓力。實驗方法表明，這兩個壓力相均衡，并且兩個圓盤剛好被重物S和T升起（S和T的重量彼此相等，且等于圓盤GH上水柱ERQF的重量）。斯特文斯注意到，按這樣的方式，一根細(xì)管中的一磅5水能輕易地對一個大容器中的一個插塞施以十萬磅的壓力。

斯特文斯還用實驗驗證了流體不但具有向下的壓力，還具有向上的壓力。如圖2.5所示，用金屬片G蓋住一個兩端開口的管子EF的下端，然后把它放入盛滿水的容器ABCD之中。這時他發(fā)現(xiàn)，即使沒有任何的固定措施，金屬片G也不下沉。這說明流體具有向上的壓力，并且能頂住金屬片G。

伽利略也對靜力學(xué)研究充滿了興趣。他和斯特文斯幾乎是同一時代的人，但他們的研究是各自獨立進(jìn)行的。伽利略不僅為區(qū)別于靜力學(xué)的動力學(xué)奠定了基礎(chǔ)，而且還通過靜力學(xué)和動力學(xué)的結(jié)合，發(fā)展了虛位移（或虛速度）原理。這個原理最早是由瑞士數(shù)學(xué)家約翰·伯努利（1667—1748）在寫給法國數(shù)學(xué)家瓦里尼翁（1654—1722）的一封信中明確提到的：當(dāng)質(zhì)點系通過一個平衡位置時，各個力同它們各自作用的質(zhì)點的位移乘積的總和為零。

如圖2.6所示，一根處于平衡狀態(tài)的杠桿的情形便是這樣，兩個力P和Q成直角地作用于杠桿的兩臂A和B。如果杠桿失去平衡，A和B分別發(fā)生的位移為AD和BE。當(dāng)位移的量很小時，可以認(rèn)為AD與AC成直角，并且BE與BC也成直角。如果杠桿仍然處于平衡狀態(tài)，考慮到位移AD和BE方向相反，可以寫出如下的公式：

P×AD = Q×BE

也可以說，力P和Q與它們各自的位移大小成反比關(guān)系。考慮到位移和它們的力臂的長度成正比關(guān)系，實際上就推導(dǎo)出了阿基米德的杠桿定律。

伽利略還把這條原理運用到對滑輪組和斜面的分析中。如圖2.7所示，有重物P和Q（為簡便起見，也將P和Q視作各自物體所受重力）在一個傾斜角為A的斜面上處于平衡狀態(tài)。因為重力來源于地球的引力，根據(jù)虛位移原理，這兩個物體是否平衡可通過它們靠近或者遠(yuǎn)離地球中心來確定。因為重物P下降（升高）的位移為h，所以重物Q將升高（下降）的位移為hsinA。因為P×h = Q×(hsinA)，所以P = Q sinA。

P實際上就是重物Q沿斜面方向所受到的力的大小，這就是說，用虛位移原理也證明了斯特文斯鏈的平衡條件。

1653年，法國人布萊士·帕斯卡（1623—1662）推廣了斯特文斯的流體靜力學(xué)方面的研究。經(jīng)過反復(fù)實驗，他提出由于流體具有流動性，封閉容器中的靜止流體的某一部分發(fā)生的壓強(qiáng)變化，將大小不變地向各個方向傳遞，壓強(qiáng)等于作用壓力除以受力面積。這就著名的帕斯卡定律。

帕斯卡欣喜地認(rèn)為：在這種新機(jī)器中，令人驚奇地也發(fā)現(xiàn)了諸如杠桿、滑輪、蝸桿等一切舊機(jī)器中發(fā)生的那種不變的規(guī)則性，即距離（反比地）隨力變化……。這可以看作是解釋這種效應(yīng)的真正理由，因為一百磅水移動一英寸6顯然與一磅水移動一百英寸相同。

水壓機(jī)就是應(yīng)用帕斯卡定律設(shè)計出來的。自1893年美國建成第一臺萬噸水壓機(jī)起，萬噸級水壓機(jī)就成為各個國家發(fā)展航空、船舶、重型機(jī)械、軍工制造等產(chǎn)業(yè)的關(guān)鍵設(shè)備。

1962年6月，上海江南造船廠1.2萬噸級自由鍛造水壓機(jī)（圖2.8）試車成功，這標(biāo)志著中國的第一臺萬噸級水壓機(jī)勝利誕生。