第1章　聲音的規律及傳播

奇妙又壯觀的大自然中，各種各樣的聲音交織在一起。小鳥的尖鳴、知了的聒噪、蟋蟀的吟唱……如果沒有它們的點綴，大自然將蕭瑟凄涼，毫無生機。聲音的存在給大自然增添了無窮的魅力。

聲音現象很早就引起了人們的注意，古希臘數學家畢達哥拉斯（約前580—前500）有一項重要發現就來自于音樂。據說有一天，他在大街上散步，不遠處的鐵匠鋪傳來“叮叮當當”響亮的聲音，他停下腳步，上前細探究竟（圖1.1）。原來，這些聲音是鐵匠用各式錘子鍛打鐵塊時產生的。錘子越重，鍛打鐵塊產生的聲音越低沉；相反，錘子越輕，產生的聲音越尖銳。當不同的錘子交替敲打時，能夠發出和諧的聲響。這個現象激發了畢達哥拉斯探索的興趣。通過深入研究，畢達哥拉斯發現當兩把錘子的重量具有簡單的整數關系時，它們交替敲打鐵塊時就會發出好聽的聲音，而其他重量搭配的錘子交替敲打，發出的聲音就不好聽。

回到家中，畢達哥拉斯利用七弦琴1繼續進行實驗，潛心研究弦長和琴聲之間的關系。他將若干條琴弦的一端固定住，另一端懸掛著重量相等的重物，重物能夠讓琴弦繃緊并發出聲音。這時，他調整弦長，發現當弦長之比具有簡單的整數關系時，可以得到一對和弦。例如，2:1的弦長對應的是八音度，3:2對應第五音，4:3對應第四音等。用現代物理術語可以這樣描述這個發現：在給定的張力作用下，一根給定弦每秒振動的次數與弦長成反比。這就是有名的畢達哥拉斯琴弦定律（圖1.2）。

兩把錘子的重量具有簡單的整數關系時交替敲打鐵塊就會發出好聽的聲音，兩根弦的弦長具有簡單的整數關系時就能產生悅耳的和弦，這些現象使畢達哥拉斯得出了一個結論：整數的規則揭示出音樂的秘密，甚至世界上的一切都是如此。

在聲音的探索方面，很多物理學家都有特殊有趣的發現。

意大利物理學家伽利略·伽利雷（1564—1642）年輕時發現了單擺的周期定律，這激發了他對弦線振動的興趣，他認為單擺的運動和弦線振動之間具有相同的物理原理。在《關于兩門新科學的對談》一書中，伽利略寫道：首先必須觀察到，每一個擺都有它自己的振動時間，這時間是那樣確切而肯定，以致不可能使它以不同于大自然給予它的周期的任何其他周期來振動。

伽利略證明了音調依賴于弦的振動頻率，即給定時間內弦的振動次數。伽利略發現，當他用一個銳利的鐵鑿子刮一塊黃銅片以除去上面的一些斑點并且讓鑿子在那上面活動得相當快時，在多次的刮削中有一兩次聽到銅片發出了相當強烈而清楚的尖嘯聲；當更仔細地看那銅片時，他注意到上邊有長長的一排細條紋，彼此平行并且等距地排列著。當他用鑿子一次又一次地再刮下去時，注意到只有當銅片發出“嘶嘶”的聲音時，上面才能留下記號；當刮削并不引起摩擦聲時，就連一點記號的痕跡也沒有。多次重復這種玩法并且使鑿子運動得時快時慢時，嘯聲的調子也相應地時高、時低。當聲調較高時，得出的記號就排得較密；而當音調降低時，記號就相隔較遠。他還發現，在一次刮削中，當鑿子在結尾處運動得較快時，響聲也變得更尖銳，而條紋也靠得更近。此外，每當刮削造成“嘶嘶”聲時，他就覺得鑿子在他的手掌中發抖，而一種顫動便傳遍整只手。

伽利略曾經觀察到大鍵琴2上有兩條弦和上述那種由刮削而產生的兩個音相合，而在那些音調相差較多的音中，有兩條弦是恰好隔了一個完美的五度音的音程。

通過測量由這兩種刮削所引起的各細條紋之間的距離，他發現了一個音的45條細條紋（因而有45次振動）的距離上包含了另一個音的30條細條紋（因而有30次振動），二者之間正好是指定給五度音的那個比率。

伽利略認識到，弦的振動頻率與其長度、張力以及質量有關。法國物理學家馬林·默森（1588—1648）在伽利略的影響和指導下，也進行了聲學研究。為了確定一個律音的音調與產生該音的給定材料，弦的長度、粗細以及張力之間的關系，默森做了大量的實驗。

用n和n'表示兩個不同律音的音調，l和l'表示同一種弦的不同長度，d和d'表示弦的不同直徑，p和p'表示為伸長弦所施加的不同張力，q和q'表示弦本身的不同重量。默森提出下列幾個等式：

1.當弦的長度和直徑相等，但由不等的張力伸長時，。

2.當弦的長度和伸長弦的張力相等，但本身重量不等時，。

3.當弦的直徑和張力相等，但長度不等時，n/n'=l'/l。

4.當同樣材料的弦的長度和張力相等，但直徑不等時，n/n'=d/d'。

默森還用不同的金屬（例如金、銀、銅、黃銅和鐵等）制成琴弦，進行實驗，發現弦的長度、粗細和張力相等時，音調和金屬的密度成反比。

發聲體整體振動發出的聲音稱為基音，具有單一的基頻。以基音為標準，其他部分（二分之一、三分之一、四分之一等）振動發出的聲音就是泛音。默森還發現，一根振動的弦除了基音以外，還產生泛音。當然，當一根弦自由振動時，基音是非常明顯的，但當這個音變弱時，就會覺察到某些音比基音延續得更長。默森聽到了比基音高的十二度音和十七度音。他將這個發現告訴了法國朋友勒內·笛卡爾（1596—1650），笛卡爾指出泛音可能是這根振動弦的每一部分各自的振動所引起的，絕大多數的發聲體發出的聲音都包含多個頻率。

在與聲學有關的各種問題中，聲速的測量也同樣引起了人們的關注。最早的實驗是由法國人皮埃爾·伽桑狄（1592—1655）做的。按照亞里士多德的觀點，通過空氣時高音的速度比低音要快，伽桑狄決定用實驗來檢驗。他首先利用一門大炮向遠方某處射擊，在適當的位置安排一位觀察員，記錄他看到閃光和聽到聲音的時間間隔，用大炮與觀測員的距離除以這個時間間隔，就得到了炮聲的速度。然后，再用一支步槍重復同樣的實驗，也得到了槍聲的速度。多次實驗的結果表明大炮和步槍各自聲音的速度基本相同，約為每秒1473英尺3（約449米），這證明亞里士多德的觀點是錯誤的。

1636年，默森反復做了伽桑狄實驗。根據已知距離內的火槍的聲音和閃光之間的時間差測定了空氣中的聲速，他得到的值約為421米/秒。大約在20年以后，意大利的波雷里（1608—1679）和維維安尼（1622—1703）也重復了類似的實驗，他們得到的聲速約為328米/秒。

在以上關于聲速的測量實驗中，基本上都沒有注意溫度以及風向、風速等因素的影響，伽桑狄甚至根據觀測數據得出了一個錯誤的結果，就是風向不影響聲速。1705年，威廉·德勒姆（1657—1735）通過實驗發現風向對聲速有影響，糾正了伽桑狄的錯誤。德勒姆還試圖找出溫度、大氣濕度變化對聲速的影響規律，不過，他得出的結論比較含糊。

1676年，英國的羅伯特·胡克（1635—1703）對金屬器件特別是彈簧的彈性進行了研究，為了獲得發現的優先權4，他在一本敘述太陽鏡的書籍后面，發表了一條用拉丁文寫的字謎“ceiiinosssttuv”。按當時慣例，如果暫時還不能確認自己的發現，可以先把發現用一串打亂順序的字母發表，確認后再恢復正常順序。兩年后，他公布了謎底“ut tensio sic vis”，意思是任意彈簧的力與其張力同比。例如一分力可使該彈簧彎曲一空間單位，二分力就能使它彎曲二空間單位，三分力就能使它彎曲三空間單位，如此類推。這就是著名的胡克定律，意思是說彈簧應力與伸長量成正比。胡克定律的數學表達式為：

F = –kx

式中，F為彈性應力的大小；k為物體的彈性系數（也稱倔強系數、勁度系數等），在物體的線彈性范圍內是一個常數；x為彈簧相對于平衡狀態時伸長或者縮短的值。胡克定律如圖1.3所示。

胡克定律對現實世界中復雜的非線性本構關系進行了線性簡化，為研究聲源物體的機械振動提供了一個重要的物理模型，而實踐證明這種處理方法是有效的。

聲源物體的機械振動能夠引起周圍空氣的振動，形成了疏密相間的波動，向四面八方傳播（圖1.4）。如果將聲源物體的機械振動記錄下來，然后再按記錄重現，就會產生與原來一樣的聲音。1877年，美國發明家愛迪生（1847—1931）根據上述原理發明了一臺會說話的機器，即留聲機，轟動了全世界。

機械振動在各種介質（例如空氣）中向四面八方的傳播叫做聲波。聲波的傳播實質上是能量在介質中的傳遞，聲波所到之處的質點（如空氣分子）沿著傳播方向在平衡位置附近振動。

羅伯特·胡克曾利用緊繃的長繩研究聲音在固體中的傳播速度。不過，他給出了一個錯誤的結論，認為聲音在固體中的傳播是瞬時的，不需要時間。

空氣是傳播聲音的介質。有一些物理學家認為作為聲音介質的東西僅僅是空氣的某些部分，而不是全部。例如，伽桑狄把這種傳播聲音的功能歸結于某種特殊的原子，而德勒姆則認為傳播聲音的究竟是空氣本身還是某種以太微粒或者物質微粒是一個懸而未決的問題。不管怎么樣，在抽氣泵被發明之前，關于空氣在聲音傳播中扮演了什么角色的討論只能停留在猜測的層面。

1646年，德國物理學家奧托·馮·格里克（1602—1686）當選為馬德堡市市長。在緊張的城市管理工作之余，他仍然抽出時間致力于自然科學的研究。格里克受到吸取式抽水機工作原理的啟發，經過精心設計和反復試驗，發明了能夠產生真空的活塞式抽氣泵。由此，他進行了有關確定空氣和聲音之間關系的一系列實驗。例如，他在一個密閉的玻璃容器里用一根金屬絲懸掛了一個鈴鐺，由一個機構敲響鈴鐺（圖1.5）。然后，用抽氣泵將容器中的空氣抽去，在這個過程中，他發現鈴聲會變得越來越輕。這個實驗充分說明，真空不能傳播聲音，空氣在聲音傳播的過程中起到了關鍵作用。

格里克還發現，除了空氣以外，液體甚或固體也可以傳播聲音。他的實驗證據是能夠教會魚按照鈴聲來進食。不過，這個證據并不是很確鑿：魚游過來進食到底是因為看見敲擊鈴鐺的場景還是因為聽到鈴鐺發出的聲音？這個問題至今還存在爭論。

1705年，英國物理學家弗朗西斯·豪克斯比（1687—1763）重復了格里克驗證空氣傳播聲音的實驗。他把一個里面有空氣和一只鈴鐺的小玻璃球（內球）放在一個大玻璃球（外球）內。內球與外球之間用一根開口的管子連通。在兩個球之間，用抽氣泵將空氣盡量抽空，形成真空。當把連通管的管口封閉時，就幾乎聽不見里面的鈴聲；當管口被打開后，就可以清楚地聽到鈴聲。

豪克斯比還提供了水能傳播聲音的確鑿證據。他用一根繩子把一個內有空氣和鈴鐺的玻璃瓶放在水下。當鈴鐺發出聲音時，站在外面可以非常清楚地聽到鈴聲。

英國物理學家艾薩克·牛頓（1643—1727）對聲速也進行了詳細的研究，不過他沒有做實驗，而是根據聲音的物理模型，再應用數學工具對聲速進行理論上的推導。

可以拿一串彈簧和小球模擬聲音在空氣中的傳播。如圖1.6所示，只要撥動左邊的小球，這個小球就會帶動右邊緊挨著的小球振動，然后這樣的振動會依次向右傳遞，形成一個傳播的效果。在傳播過程中，每個小球只是在原來的位置附近振蕩，并不產生大范圍的移動，但波動卻被傳遞到遠方。

1687年，牛頓在《自然哲學的數學原理》一書中，根據胡克定律以及玻意耳定律等公式，推導出空氣里的聲速與大氣壓強的平方根成正比，與空氣密度的平方根成反比，即

式中，v為空氣里的聲速；P為大氣壓強；ρ為空氣密度。

按照上面的方程，牛頓得出的聲速約為280米/秒，這個數值遠遠小于實測值，約有16%的誤差。

大約在一個世紀之后，法國數學家拉普拉斯（1749—1827）指出牛頓沒有考慮到空氣由于壓縮變熱和稀疏制冷的彈性變化。他使用絕熱過程代替了等溫過程，對牛頓的聲速模型進行了修訂，得到的計算結果與實測值誤差很小。