第3章　光的反射及折射

眼睛是人類感官中最重要的器官，讀書認字、看圖賞畫等都要用到眼睛，健康人的大腦中約80%的知識都是通過眼睛獲取的。眼睛能識別不同顏色和不同亮度的光線，并將這些信息轉變成神經信號，傳送給大腦。人類的眼睛發展成為這樣一個復雜靈巧的光學系統，是生物在自然選擇過程中漫長進化的一個結果。

人的眼睛為什么能看見物體？古希臘哲學家亞里士多德（約前384—前322）提出了相遇說，認為人的眼睛和物體分別發出某種東西，兩者在空中相遇形成視覺；哲學家伊壁鳩魯（約前341—前270）堅持進入說，主張物體自身發出影像，進入眼睛，產生視覺；而幾何學家歐幾里得（約前330—前275）篤信發射說，認為人之所以能看見，是因為眼睛能夠發射出光線。不過，歐幾里得將光線從一種散漫的蒸汽狀態的存在解釋為某種沿直線傳播的東西，認為光的行為可以應用幾何學命題進行預言。

公元1世紀，正在亞歷山大城學習的古希臘數學家海倫經過長期的研究，發現了光的反射定律，即光線沿兩點間距離最短的路徑反射。

如圖3.1所示，點A、B在直線CD的同側。那么，從點A到直線CD，然后再到點B的所有路徑中，以通過直線上的點P，使得AP及BP與CD的夾角相等的這條路徑的距離最短。作點A關于直線CD的對稱點E。連接BE，與直線CD相交于點P。顯然，∠APC=∠CPE。連接AP、PB，根據對頂角相等，有∠BPD=∠CPE，所以，∠APC=∠BPD。不難驗證，從點A到直線CD，然后再到點B的所有路徑中，AP+PB這條路徑最短。

現代物理學中引入了鏡面的切面法線，也就是說，鏡子的剖面可以不是直線。如圖3.2所示，入射角是入射線與法線所成的∠1，反射角是反射線與法線所成的∠2。光的反射定律可以簡單表述為光線的入射角與反射角相等。

海倫曾經寫過名為《反射光學》的書，其內容涉及鏡子的反射理論及其實際應用。為什么從我們眼睛里發出的光線會被鏡子反射？為什么又以相等的角度反射？海倫認為這是因為我們的視線從視覺器官發出時是沿著直線進行的。這個命題現在可以證實出來，因為任何以不變速度運動的東西都是沿直線運動的。以我們看到的弓上射出的箭為例，由于推力，箭在運動中力求走過盡可能短的距離，因為它沒有時間使運動變慢，也就是說，沒有時間走過更長的距離，推力不允許有這樣的耽擱。所以，由于箭的速度，它傾向于走最短的路徑，而在所有終始端相同的路徑中，最短的就是直線。眼中發出的光線是以無窮大的速度運動的，當我們閉上眼睛后再睜開來觀看天空，并不需要什么時間就看到天空了。盡管我們與星星的距離可以說是無限遠，但當我們去看它們時立刻就看到了。而且，如果我們與星星的距離再增大，結果還是一樣，所以，光線顯然是以無限大的速度射出的。因此，它們若不受阻礙或被彎曲，總是沿最短的路徑即直線運動。

這一段話同時也揭露了一個事實，就是海倫保留著與歐幾里得相似的發射說思想，認為視覺的產生是由于眼睛發出了光線，光線以無限大的速度被物體反射回來。

亞歷山大里亞時代的另一位偉大人物是克羅狄斯·托勒密（約90—168），他生于埃及，父母都是希臘人。年輕時，托勒密被送到亞歷山大求學，后來長期生活在那里。托勒密對物理學的重要貢獻被整理到他的《光學》一書中，其中就包括光線從一種介質進入另一種介質時發生折射的問題。托勒密認為可見光可以有兩種方式改變路徑：一是被反射，即被物體反彈回來，這種物體稱為鏡子，光線不能穿透；二是在介質中被彎曲（即折射），這時光線能穿透介質，這種介質有一個共同的名稱—透明物質，因為可見光線能夠穿透它們。

如圖3.3（a）所示，托勒密把一枚硬幣放在一只裝滿水的名為洗禮盆的容器的底部，假定眼睛的位置使得它發射的可見光線剛好通過洗禮盆的邊緣到達比硬幣略高的地點。然后讓硬幣保持原地不動，慢慢地向盆里注水，直到從盆邊射過去的光線向下彎曲剛好落到硬幣上為止。結果，原來看不到的物體現在順著從眼睛連接到物體真正位置上方一點的直線可以看到了。但觀察者不會假定視線已經彎向物體，而會認為物體自行浮了起來，向視線方向升高了。因此，物體將會出現在從它向水面所作的垂直線上。

后來，托勒密又發現光在水中產生并能被觀測到的折射量，可以借助銅盆實驗來確定。如圖3.3（b）所示，在銅盆上作一個圓αβγδ，圓心是s。再作兩條直徑αsγ和δsβ，使其相交成直角，從而分出4個象限。把每個象限分成90等份并在中心放上很小的顏色標記。然后把圓盤垂直地放在一個水盆中，并向盆中注入適量的清水，使視線不受阻礙。讓盤面豎立與水面垂直，并被水面一分為二，于是正好有半個圓βγδ完全處在水下，直徑αsγ垂直于水面。他試著從α點附近取一段已測的弧長，例如αε，它位于水平面上兩個象限之一中，在ε上放一很小的顏色標記。用一只眼睛瞄著去看，直到ε和s上的標記與眼睛在同一條直線上。同時，在對面水下的象限中沿著圓弧γδ移動一根細小的桿，直到細桿的一端與圓弧的交點η在水下的像出現在ε與s連線的延長線上。現在，如果我們測出γ點與η點之間的弧長，我們將會發現這段弧長γη總是小于弧長αε。

如果讓眼睛沿著垂線αs看，視線就不會彎曲，而會落在對面的γ點上，并與αs處于同一直線上。而在任何其他位置，當弧αε增大時，弧γη也增大，但射線的彎曲量將逐漸變大。

當αε是10°時，γη為8°，彎曲量是2°。托勒密實驗測量到的其他數據可以羅列如表3.1所示。

托勒密用類似方法研究了光線在空氣和玻璃的交界面上的折射，并發現在這種情況下，光線的彎曲量更大。但是托勒密沒有更進一步把他的觀察結果用數學公式總結出來。

關于人的眼睛能夠形成視覺的解釋，托勒密相信歐幾里得的發射說。當時，無論是支持相遇說、進入說，還是支持發射說，他們都拿不出確鑿的證據反駁別人。這種爭論不休的狀態一直持續到阿拉伯物理學家伊本·艾爾·海什木（965—1040）的出現，他是阿拉伯世界的著名學者，拉丁語中尊稱他為阿爾哈森。阿爾哈森用實驗結果有力地支持了伊壁鳩魯的進入說。

在開羅居住期間，阿爾哈森進行過著名的黑屋實驗。具體的做法就是在一個黑暗的屋子里，一面墻上開一個小洞。屋外，在緊挨著這個小洞的地方掛上五盞燈。這時，他發現黑屋里出現五道光。然后，他在小洞和其中一盞燈之間放了一個障礙物，使這盞燈、障礙物和小洞在一條直線上。他發現有障礙物遮擋的那道光線消失了，黑屋里只剩下四道光了。五盞燈同時點亮，當有障礙物遮擋時，屋內的觀察者只能發現其中的四盞。阿爾哈森由此推論，眼睛也是這樣工作的，它只能對進入眼睛的光線產生視覺。

阿爾哈森還通過手的前后移動的錐角變化來驗證自己的結論。一個人的手在移動的時候會產生大小的視覺變化，因為來自手的輪廓和外形的光線的錐角會在手移向自己的時候變大。

阿爾哈森研究了眼睛的解剖結構（圖3.4），詳細闡述了視覺形成的原理，徹底轉變了人們對光及視覺的認識。阿爾哈森開創了對實驗物理學的研究，是現代光學的開拓者，其著作《光學書》倡議使用實驗科學方法，將物理和數學綜合在一起，建立了一種基于古希臘光學知識的新理論。

光入射到不同介質的界面上會發生折射。1621年，荷蘭數學教授斯涅爾（1580—1626）發現了光的折射定律，即斯涅爾定律。他的表述為：對于給定的兩種介質來說，入射角和折射角的余割之比總是保持相同的值。因為余割和正弦成反比，這個表述也等價于現代的表述：入射角的正弦與折射角的正弦之比對給定的兩種介質來說是一個常數。

如圖3.5所示，介質1與介質2的折射率分別為n₁、n₂，光線從介質1的P點傳播到兩種介質的交界O點后，經折射進入到介質2的Q點。若入射角為θ₁，折射角為θ₂，那么，斯涅爾定律的數學表達式為：

斯涅爾沒有從理論上推導出這個定律，但是通過多次的實驗驗證了它。

1637年，笛卡爾的《屈光學》一書出版，重新給出了光的折射定律，但是他在書中沒有談到斯涅爾的貢獻，這很可能是他獨立發現的。笛卡爾沒有去做實驗，他根據以下假設從理論上推導出了這個定律：

假設1：光速在較密的介質中較大。

假設2：對相同的介質，入射前后的光速之比對各種入射角都相同。

假設3：在折射時，平行于折射面的速度分量保持不變。

令人遺憾的是，其中假設1和假設3都是錯誤的。

笛卡爾的研究引起了法國數學家費馬（1601—1665）的注意。費馬根據下述兩個假設也推導出了折射定律，其中第一項假設就是著名的時間最短原理。

假設1：光以最短的時間從一種介質的某一點傳播到另一種介質的某一點。

假設2：進入較密介質中，光速將變小。

1662年，在時間最短原理的基礎上，費馬提出經過兩個定點的光沿著最為平穩的路徑傳播的原理，這就是著名的費馬原理。所謂的最為平穩的路徑是指在數學上對時間的一階變分為零，也可以理解為在光程中的關鍵點可以取極小值或者極大值，也可以是一個拐點。

費馬原理當時曾引發巨大的爭議，因為牛頓和笛卡爾都認為介質密度越大，光的速度就越快。1802年，英國物理學家托馬斯·楊（1773—1829）通過實驗證實，當光進入較高密度介質之后，光的波長會變短。因此推論，光進入到較高密度介質之后，速度會降低。