第二節(jié) 生產(chǎn)要素的最適組合

假設(shè)王強(qiáng)是木材加工廠的老板，該廠的木材加工主要需要機(jī)器和工人。K代表機(jī)器的數(shù)量，L代表工人的數(shù)量。假設(shè)市場中存在無數(shù)的供給者和需求者，以至于工廠和工人都是價(jià)格接受者（Price Taker），那么工廠的利潤如下：

其中p為產(chǎn)品的價(jià)格，w為工資，r為租金。pF（K，L）也稱作工廠的收入（Revenue），wL+rK 稱作成本（Cost）。工廠需要最大化利潤。假設(shè)內(nèi)點(diǎn)解（Inner Solution）的存在。簡單的一階條件可以寫成：

已知資本和勞動(dòng)的邊際產(chǎn)出都遞減，那么F（K，L）的二階導(dǎo)數(shù)都小于零，保證了一階條件為零的點(diǎn)，其利潤是最大值。將兩個(gè)一階條件相除，可以獲得：

消費(fèi)者理論中的一階條件可以歸結(jié)為商品的邊際替換率正好等于商品的價(jià)格比。如果廠商沒有資金約束，那么可以從一階條件直接解出K、L 的值。具有資金約束的時(shí)候，廠商的問題變?yōu)椋?/p>

上述目標(biāo)函數(shù)只是將消費(fèi)者的效用函數(shù)換成了生產(chǎn)函數(shù)。求解過程和消費(fèi)者效用最大化幾乎一樣，使用相切和切點(diǎn)在預(yù)算約束上兩個(gè)條件。只是這樣無助于進(jìn)一步討論廠商的成本函數(shù)。可以先寫出它的對(duì)偶問題（Dual Problem），即在保證產(chǎn)量固定的前提下，廠商如何最小化生產(chǎn)成本。假設(shè)產(chǎn)量為q，廠商面對(duì)的問題為：

一方面，當(dāng)處于最優(yōu)解時(shí)，約束一定是緊的，即F（K，L）=q。否則，廠商可以在滿足產(chǎn)量要求的前提下，減少一部分生產(chǎn)資料的使用。緊的約束說明是在最優(yōu)值只可能出現(xiàn)在等產(chǎn)量曲線上。另一方面，等產(chǎn)量曲線和等支出曲線（）在最優(yōu)值處必定相切。首先，兩條線相離說明產(chǎn)量不等于q，因此是不可能的。其次，若兩條線相交，則必然產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)和交點(diǎn)之間的一段區(qū)域。在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（假設(shè)為A），在滿足F（K，L）≥q 的同時(shí)，成本也更低。于是我們可以經(jīng)過A點(diǎn)畫出一條平行的成本線，與等產(chǎn)量曲線相交出新的兩點(diǎn)和一段區(qū)域。我們可以繼續(xù)找到A′點(diǎn)。這個(gè)過程進(jìn)行到找不到這樣的A點(diǎn)和區(qū)域?yàn)橹埂＿@時(shí)，等產(chǎn)量曲線和等支出曲線相切。

用（K₁，L₁）分別表示切點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)。K₁和L₁是q的函數(shù)。于是可以得到成本函數(shù)的表達(dá)式：

圖4-2 生產(chǎn)要素的選擇

隨著q的增加，K（q）和L（q）也需要增加。于是總的成本函數(shù)TC（q）也會(huì)增加。以下以柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)（Cobb-Douglas Product Function）為例，重演一遍成本函數(shù)的推導(dǎo)過程。令生產(chǎn)函數(shù)等于F（K，L）=K^αL^β，α+β 不一定等于1。等產(chǎn)量曲線和等支出曲線的相切條件可以寫為：

代入生產(chǎn)函數(shù)中，可以得到：

重新整理式子可以得到K的表達(dá)式：

由切點(diǎn)條件可以重新得到L的表達(dá)式：

成本函數(shù)可以從TC（q）=wL（q）+rK（q）獲得：