第一節 生產函數與邊際收益遞減規律

跟消費者理論類似的是，產品在生產過程中也需要各種生產要素（生產資料）。古人形容一樣東西成本很高，往往用勞民傷財來形容。假設一樣產品的生產既需要人力，也需要物力。人力正好對應了民，而物力也就正好對應著財。經濟學理論往往把人力抽象成勞動（L），把物力抽象成資本（K）。在現實中，勞動和資本對應著下面這些事物：

勞動：工人、職員、業務員和經理等勞動投入。

資本：土地、廠房、機床、機器、儀器和電子計算機等。

可能有很多人會認為原料也是生產要素的一種。但經過我們細想，原料的收集其實也可以分解勞動和資本。于是我們這兒可以將原料省去。生產要素市場和消費品市場是緊密結合在一起的，廠商是生產要素市場的需求方，卻是消費品市場的供給方。工人是生產要素市場的供給方，卻是消費品市場的需求方。

生產函數（Production Function）：在一家餐館里，每生產出一道菜，需要服務員獲得顧客的訂單，需要采購員從批發市場購得原料，需要廚師將原料加工成可口的飯菜，還需要清潔工人洗干凈用過的碟子。這僅僅是需要的勞動。一家好餐館需要合適的裝修，需要整齊的桌椅。不僅如此，餐館還需要人員配合。任何一道程序出了毛病，都會影響餐館的運作。其他工廠生產也是類似的，各種生產要素的結合使得產品能保質保量地生產出來。生產函數總結了將投入轉化為產出的方式。我們用q代表產出數量，用F（K，L）代表生產函數。則一般情況下有如下方程：

一些參考文獻中將F視為科技或者生產工藝，其道理也相同。為了簡化今后的分析，通常做如下假設：

假設：F函數具有連續性、嚴格遞增性、嚴格擬凹性且滿足F（0，0）=0。

連續性意味著F函數是連續函數；嚴格遞增性意味著K或L增加都將增加產量。這兩點都比較容易理解。從定義上來說，嚴格擬凹性則意味著：對t∈（0，1），都有：

從函數的形態來看，擬凹性保證了成本最小化有唯一解。最后，當所有的生產資料數量都為零時，生產函數的值為零。

顯然，不同的K、L 組合可能會使產量發生變化。如果K代表機器的數量，而L代表工人的數量，機器和工人可以在一定程度上互相替代，這時某些不同K、L 組合也許會得到相同的產量。在坐標軸上將所有產生相同產量的點用線條連接起來時，可以得到下面的圖形：

當單獨K或L改變時，根據生產函數的單調性，生產函數的數值必然發生變化。經濟學中的理性人往往考慮的是邊際值。假設農場的經理考慮是否雇傭一名新的工人。根據邊際分析法，他需要計算出工人的邊際產量。已知生產函數，如果勞動的數目必須是整數，邊際工人的產量如下所示：

如果勞動是完美可分的，則邊際勞動帶來的產量為：

圖4-1 等產量曲線（Isoquant Curve）

如果外生的工人工資為w，產品的外生市場價格為p，經理比較的是工資w和額外的收入p[F（K，L+1）-F（K，L）]。如果前者比較大，經理會放棄雇傭這名工人。如果后者比較大，經理會雇傭這名工人。MP_L也叫勞動的邊際產量，而p×MP_L成為勞動的邊際產值。類似的結論可以應用于經理對是否購入一臺新機器的決定中。這時我們需要定義的是邊際資本賦予的產量：當資本的邊際產值大于租金（r）時，經理選擇添加資本，否則不添加資本。

無論是資本還是勞動，都存在著邊際產量遞減的性質。想象在工廠中有20臺機器，卻只有20名工人。這時平均每名工人操作一臺機器。工人的邊際產出比較高，而機器的邊際產出比較低。當工人的數量增加時，每名工人操作的機器數量減少，甚至出現多名工人操作同一臺機器的情況，工人的邊際產出隨之降低，而機器的邊際產出卻在增加。同理，當增加機器的數量時，機器的邊際產出降低，而工人的邊際產出增加。注意分清楚（勞動）的邊際產量和平均產出的區別。前者代表邊際勞動帶來新增的產量，而后者代表總產量除以總勞動。兩者相似的地方是，當（勞動的）邊際產出減少的時候，它的平均產出也會減少。

等產量曲線的斜率為邊際技術替代率MRTS（Marginal Rate of Technical Substitution），經濟上的含義為在保持產量不變的前提下，一種生產要素替換另一種生產要素的比例。舉一個例子，產量為，這時所有符合該產量的K、L 組合可以用表示出來。使用隱函數定理可以得到等產量曲線的斜率。由于斜率為負，通常可以前置負號進行修正。

從等產量曲線上可以看出MRTS 隨著K和L的變化而改變。當K比較小，而L比較大時，需要用大量的L來置換一單位的K。當L比較小，而K比較大時，需要用大量的K來置換一單位的L。一個明顯的例子是CES生產函數。

計算出來的邊際技術替代率為：

用r替換掉X₂/X₁，MRTS 對r的彈性是常數，即：

規模收益：當生產要素發生規模上的變化時，產量也會隨之發生變化。如果一畝稻田，一個農民能生產500斤糧食，很自然的我們會覺得10畝稻田，10個農民就能生產出5000斤糧食。類似的，如果一家晶圓廠每年能生產1000萬片中央處理器，那么10家同樣的晶圓廠每年就能生產出1億片中央處理器。在更復雜的生產領域，這種簡單的克隆顯然不切合實際。更大的規模往往帶來組織、協調和管理上的負擔。而且上游市場的原料并非取之不盡。反映到生產函數上，假設存在某個t＞0，使得有：

則生產函數具有規模收益不變的性質。假設對于某個t＞1，我們都有：

則生產函數具有規模收益遞增的性質。同樣對于t＞1，假設有：

則生產函數具有規模收益遞減的性質。