2.2 小滑移率或者小側偏角條件下的單方向附著系數估計方法

2.2.1 基于頻響特性的路面附著系數辨識方法

本書提出一種基于電機與車輪耦合特性的路面附著系數估計方法（圖2-6），適用于電動車輛行駛過程中路面附著系數的實時監測。鑒于電機與車輪耦合特性中側向耦合特性尚未公開發表，為了保護其版權，本書中僅介紹縱向耦合特性。它建立輪胎縱向剛度與電動輪共振頻率之間的關系，在利用電機轉矩獲取的共振頻率基礎上求解出輪胎縱向剛度，然后再利用輪胎縱向剛度與路面附著系數的關系，實現路面附著系數估計。本方法僅采用電機電流與輪速信號，不需要車速與輪胎縱向力信息，不需要計算輪胎縱向滑移率，使得該方法應用方便；利用頻域信息進行估計，使得該方法具有對輪速噪聲與誤差不敏感的特性，也說明了該方法的準確性。

1.輪胎縱向剛度與電動輪共振頻率之間的關系

在建立輪胎縱向剛度與車輪共振頻率之間的關系時，是按照如下方法實現的：

1）建立單輪動力學模型

式中，I是車輪轉動慣量；ω是車輪轉速；是ω關于時間的導數；T_d是電機輸出轉矩；F^D_x是車輪瞬態縱向力；R是車輪滾動半徑。

2）建立穩態輪胎模型

式中，是車輪穩態縱向力；k_s是車輪縱向剛度；S是滑移率，不同情況取不同值；F_x0是滑移率為零時的縱向力；v是車輛縱向速度；ω是車輪轉速；R是車輪滾動半徑。

3）建立瞬態輪胎模型

式中，是車輪瞬態縱向力；是關于時間的導數；τ是時間常數；是車輪穩態縱向力；r_x是輪胎的縱向松弛長度。

4）建立簡化電機模型

式中，i_q是電機電流；K是比例常數，通過實驗測得或由電機廠商提供；T_d是電機輸出轉矩。

5）在上述幾種車輛模型和簡化電機模型的基礎上，假設電機轉矩由兩部分組成，分為恒定部分與高頻部分，如下所示：

式中，T₀是恒定轉矩，認為是一個相對恒定的值；而T₁sin（2πft）是高頻轉矩，其中T₁為轉矩振幅，f為高頻轉矩的頻率，t表示某一時刻。

6）結合式（2-32），將式（2-36）代入到式（2-32）中，單輪動力學模型可表示為

將式（2-37）兩端同時對時間求導，得到式（2-38）：

再將式（2-38）乘以時間常數τ，然后與式（2-37）求和，得出式（2-39）：

結合式（2-33）、（2-34）和三角函數公式，式（2-39）可簡化為式（2-40）：

式中，aT₁是合并后高頻信號的振幅，φ是合并后高頻信號的初始相位。

對于驅動工況，考慮其滑移率定義，式（2-40）可以表示為式（2-41）：

進一步對式（2-41）兩端求導，可得式（2-42）：

假設Rω≈v，由于車輛的慣性遠大于車輪的慣性，所以車輛的加速度相比車輪的角加速度可以忽略，，式（2-42）可進一步簡化為式（2-43）：

令：

式（2-43）可表示為式（2-45）：

對式（2-45）兩端作拉普拉斯變換，得到式（2-46）：

式中，λ是拉普拉斯算子。

這樣就得到了電機轉矩到輪速的傳遞函數，即式（2-47）：

結合式（2-35）和式（2-47），可以進一步得到電機電流到輪速的傳遞函數，即式（2-48）：

令λ=j2πf，其中j表示虛部，合并同類項，求模即可得到電機電流到輪速的幅頻函數，即式（2-49）：

作如下近似：，當電機車輪系統發生共振時，即有式（2-50）：

應用求極值的方法，得到其最小值對應的頻率，即共振頻率，見式（2-51）。

2.基于非線性自回歸模型附著系數辨識方法

然后在整車控制器獲取實時的輪速信號ω和電機的電流信號i_q基礎上，利用MATLAB中的nonlinear ARX model模塊，輸出二階系統模型傳遞函數（式（2-52））的系數a₁，a₂，a₃，然后利用式（2-53）找到兩個解λ_i（i=1，2）：

式中，λ是拉布拉斯算子；a₁、a₂、a₃是系數。

再按照式（2-53）、（2-54）、（2-55）計算共振頻率f₀^[12]：

式中，

上述ΔT為采樣時間，Re、Im分別表示數學計算中的實部和虛部。

將式（2-53）取得的f₀代入到式（2-51）中，在式（2-51）的基礎上估計輪胎縱向剛度k_s。

在任意時刻，將得到的輪胎縱向剛度輸入到路面附著系數估計模塊中，計算得到路面附著系數：

式中的系數a_μmax和b_μmax，根據實驗數據確定，采用數據擬合的方法得到。

2.2.2 基于非線性系統可觀性分析的路面附著系數估計方法

1.非線性系統可觀性概念

非線性系統的局部可觀性的含義^[14]是，可以根據系統的輸入和輸出，將某個時刻系統的狀態在其鄰域中區分出來。與線性系統的可觀性不同，非線性系統的可觀性和系統的輸入在狀態空間中的軌跡有關。非線性系統的局部可觀性是狀態觀測器正常工作的前提條件。

非線性系統的局部可觀性可以通過計算可觀性矩陣的秩來判斷。對于給出的非線性系統，其可觀性矩陣定義為

這是一個尺寸為mn×n的矩陣，其中的Lie導數（LieDerivative）定義為

如果可觀性矩陣O在狀態空間的某點x⁰處滿秩，則系統在x⁰處局部可觀。此外，可以用可觀性矩陣O求逆意義下的條件數的大小來判斷系統可觀性的強弱。矩陣求逆意義下的條件數是該矩陣的最大奇異值和最小奇異值之比，條件數越大，則矩陣可逆性越差，系統在該點的局部可觀性越弱。

顯然，如果可觀性矩陣不滿秩，則其條件數為無窮大，系統不可觀。當某個被估計參數的估計誤差協方差矩陣發生windup（飽和）時，說明這個參數的變化無法反映到系統輸出上，此時可觀性矩陣對應于這個參數的列上的各元素將近似全為零，可觀性矩陣條件數過大，導致系統不可觀。因此，系統在某一軌跡上發生windup是系統在這一軌跡上不可觀的充分（不必要）條件。

導致不可觀的另一種可能是，雖然參數的變化可以反映到系統輸出上，但同時估計某些狀態和參數時，根據單一時刻的傳感器信息無法唯一確定這些狀態和參數的值。例如，同時估計橫向車速、橫擺角速度和輪胎側偏剛度，傳感器信號為橫向加速度和橫擺角速度，則橫向車速和輪胎側偏剛度的多個組合都可以計算得到同樣的橫向加速度值。這種情況下，如果系統狀態處于不斷變化的動態過程中，則可以結合多個時刻的傳感器信息，估計出上述狀態和參數，但如果系統處于穩態下，則相當于求解不定方程，出現激勵不足（Lack ofExci-tation）的情況，導致系統不可觀。

通過求出系統在不同狀態空間軌跡上的可觀性矩陣的條件數，就可以比較在這些軌跡上系統局部可觀性的強弱。

2.可觀性與輪胎工作點之間的關系

給出的Dugoff輪胎模型中，λ是一個決定輪胎是否工作在輪胎側向力曲線的線性區的參數：當λ＞1時，N（λ）=1，F_y0=-C_αtanα，輪胎工作在線性區；當λ≤1時，N（λ）=λ（2-λ），F_y=-λ（2-λ）C_αtanα，輪胎工作在非線性區，如圖2-7所示。

顯然，當輪胎工作在線性區時，路面附著系數并不參與計算輪胎側向力，系統的狀態方程和量測方程對路面附著系數的偏導數為零。其結果就是，在計算可觀性矩陣時，如果前軸和/或后軸輪胎工作在線性區，可觀性矩陣的最后兩列（即與μ_f、μ_r對應的那兩列）可能會有一列或者兩列的元素全為零，導致可觀性矩陣不滿秩，條件數趨于無窮大，系統可觀性弱。

當輪胎工作在非線性區時，將F_y0對μ進行求導

由于輪胎工作在非線性區時λ≤1，因此λ越小，F_y0對μ導數的絕對值越大，狀態方程和量測方程對路面附著系數的偏導數也越大，有利于降低可觀性矩陣的條件數，提高系統的可觀性。圖2-8和圖2-9分別給出了路面附著系數初值為1.0和0.6時根據車輛狀態估計值計算的各輪胎λ的時間歷程。從圖2-9中看到，路面附著系數初值為0.6時，在系統可觀性較好的13～16s內，四個車輪的λ均遠小于1。

λ的大小也同樣解釋了DEKF修正作用的強弱。當λ＞1時，由于系統的狀態方程和量測方程對路面附著系數的偏導數為零，計算的卡爾曼增益就會趨近于零，即使殘差ε不為零，路面附著系數的估計值也不能得到修正。圖2-10和圖2-11給出了路面附著系數初值不同時卡爾曼增益矩陣各元素的大小，從圖中可以看出，系統可觀性好時（圖2-11中13～16 s），卡爾曼增益矩陣各元素比系統可觀性弱時大得多。

最后，系統可觀性也和windup現象之間存在聯系。圖2-12和圖2-13給出了路面附著系數初值不同時路面附著系數估計誤差協方差矩陣P_wk的主對角線上元素的時間歷程。當系統可觀性弱時，P_wk出現windup現象。

3.利用可觀性原理改進路面附著系數估計算法

根據之前的結論，為了使得將狀態和參數估計系統在狀態空間中沿著一條可觀性較好的軌跡運動，應該使得λ總是不大于1。

在λ的表達式中，α、C_α和F_z都是由車輛狀態決定的。為了讓λ≤1，只能通過適當降低路面附著系數的估計值來實現。制定路面附著系數估計值的調整策略時，應注意以下兩點：

1）調整不應過于激進，以防止DEKF對路面附著系數估計值的修正受到干擾。

2）路面附著系數估計值比實際值低可能導致質心側偏角被高估，這可能導致車輛的穩定性控制系統的誤動作，因此在降低路面附著系數的估計值時要有所保留。

也就是說，雖然將路面附著系數估計得較低有利于使λ變得更小和使系統可觀性更好，但是限于其他因素的約束，路面附著系數不能估計得太低。在實踐中發現，只要使得λ的值在1附近，就可以順利地對路面附著系數進行估計了。

采用以下策略對路面附著系數的估計值進行調整。在每個輪胎側偏角大于1°且單個車輪縱向力不超過500 N的時刻：

如果λ^-＞1，那么μ_estimated=μ^-。

這種策略的思路是，在當前時刻，如果路面附著系數的估計值μ_estimated在降低（μ_increment+μ_buffer）后，仍然使得λ＞1，那么就可以將路面附著系數的估計值更新為μ_{estimated，new}=μ_{estimated，old}-（μ_increment+μ_buffer）。其中，μ_increment的大小決定路面附著系數估計值降低的速度，而μ_buffer則用來防止路面附著系數估計值過低。可以想象，當λ＞1時，μ_estimated會隨時間不斷降低，直至λ=1為止。路面附著系數估計值的調整策略作為對DEKF的補充，和后者共同工作。

將這種策略用于路面附著系數為0.4的雙移線工況下估計路面附著系數，μ_increment取為0.01，μ_buffer取為0.1。路面附著系數和車輛狀態的估計結果如圖2-14和圖2-15所示。從圖2-14中可以看到，路面附著系數的估計結果在第一次車道變換時就開始在調整策略的作用下迅速降低，同時使系統可觀性矩陣的條件數迅速降低，如圖2-16所示。從圖2-15中可以看到，由于路面附著系數的估計值收斂迅速，橫向車速的估計精度也非常高。

路面附著系數估計器在航程中全時運行。在路面附著系數估計器中，使用了一種路面附著系數估計值的調整策略，對標準的DEKF算法進行了改進。