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12.2 極限的概念

本節重點知識:

1.數列的極限.

2.函數的極限.

12.2.1 數列的極限

極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產生的,是高等數學最基本的概念之一.我國古代數學家劉徽(公元3世紀)利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法,即割圓術就是極限思想在幾何學上的應用.

設有一圓,首先作內接正六邊形,把它的面積記為A1;再作內接正十二邊形,其面積記為A2;再作內接正二十四邊形,其面積記為A3;循此下去,每次邊數加倍,一般地把內接正6×2n-1邊形的面積記為An(n∈N).這樣,就得到一系列內接正多邊形的面積

A1,A2,A3,…,An,…

它們構成一列有次序的數.當n越大,內接正多邊形與圓的差別就越小,從而以An作為圓面積的近似值也越精確.但是無論n取的如何大,只要n取定了,An終究只是多邊形的面積,而還不是圓的面積.因此,設想n無限增大(記為n→∞,讀作n趨于無窮大),即內接正多邊形的邊數無限增加,在這個過程中,內接正多邊形無限接近于圓,同時An也無限接近于某一確定的數值,這個確定的數值就理解為圓的面積.這個確定的數值在數學上稱為上面這列有次序的數(所謂數列)

A1,A2,A3,…,An,…

當n→∞時的極限.在圓面積問題中我們看到,正是這個數列的極限才精確地表達了圓的面積.

在解決實際問題中逐漸形成的這種極限方法,已成為高等數學中的一種基本方法,因此有必要作進一步的闡明.

先說明數列的概念.

按一定順序排列的一列數

x1,x2,x3,…,xn,…

稱為數列,數列中的每一個數稱為數列的項,第n項xn稱為數列的一般項.

例如

都是數列的例子.數列

x1,x2,x3,…,xn,…

也簡記為數列{xn}.

定義1 如果當n無限增大時,數列{xn}無限趨近于一個確定的常數A,我們就稱A是數列{xn}的極限,或稱數列{xn}收斂于A,記作

或xn→A(n→∞)

如果當n→∞時,數列{xn}不趨于一個確定的常數,我們就說數列{xn}沒有極限,或稱數列{xn}是發散的.

練一練

在數軸上畫出上述各數列表示的點集,并判斷每個數列是否有極限.

極限的唯一性定理,數列{xn}如果有極限,則極限值必唯一.

12.2.2 函數的極限

1.當x→∞時,函數f(x)的極限

x→∞包括以下兩種情況:

(1)x取正值且無限增大,表示x沿著x軸正半軸趨于正無窮大,記作x→+∞;

(2)x取負值且絕對值無限增大(即x無限減小),表示x沿著x軸負半軸趨于負無窮大,記作x→-∞.

引例 討論當x→∞時,函數的變化趨勢.

分析 列表(見表12-4)觀察當x→∞時,函數的變化趨勢.

表 12-4(a)

當x→+∞時,

表 12-4(b)

當x→-∞時,

所以,當x→∞時, .

用圖像考察,從圖12-22可以看出,當x→∞時,.

圖 12-22

定義2 如果當自變量x的絕對值無限增大(記作x→∞)時,對應的函數值無限趨近于一個確定的常數A,則稱A為函數f(x)當x→∞時的極限,記作

或f(x)→A(當x→∞時).

如果x>0且無限增大(記作x→+∞),對應的函數值無限趨近于一個確定的常數A,則稱A為函數f(x)當x→+∞時的極限,記作

或f(x)→A(當x→+∞時).

同樣,x<0而絕對值無限增大(記作x→-∞),對應的函數值無限趨近于一個確定的常數A,則稱A為函數f(x)當x→-∞時的極限,記作

或f(x)→A(當x→-∞時).

由上述這些極限定義不難得到如下結論:

例1 做出函數和y=2x的圖像,并判斷下列極限:

(1);(2);(3)當x→∞時,和2x的極限是否存在?

 做出函數的圖像(見圖12-23).由圖像可知:

(3)雖然,但不存在,所以不存在;

同理,雖然 ,但 不存在,所以 不存在.

圖 12-23

2.當x→x0時函數f(x)的極限

觀察當x從4的兩側趨近于4時,f(x)=2x-1的變化趨勢(見表12-5).

表 12-5

當x從4的左右兩側趨近于4且不等于4時,f(x)=2x-1的函數值趨近于7.

用圖像考察(見圖12-24),從圖中可以看出,當x從4的左右兩側趨近于4且不等于4時,f(x)=2x-1的函數值趨近于7,即當x→4時,2x-1→7.

圖 12-24

因此,當x從4的兩側趨近于4但又不等于4時,就稱7是2x-1的極限,記作

定義3 設函數f(x)在點x0的某個去心鄰域內有定義,如果當x從x0的左右兩側無限趨近于x0且不等于x0時,函數f(x)無限趨近于一個確定的常數A,則稱A是函數f(x)當x趨近于x0時的極限,記作

或f(x)→A(當x→x0時).

注意 在上述極限的定義中,只考慮當x趨近于x0時,函數f(x)的變化趨勢,并不考慮x=x0時f(x)的函數值,甚至f(x)在x0可以沒有定義.

圖12-25表明三個函數,注意在(c)中f(x0)是沒有定義的,在(b)中f(x0)≠A,但是在上述每一種情況,無論f(x0)情況如何,都有.

圖 12-25

練一練

通過函數的圖像求下列極限:

并寫出你的結論.

極限定義中“從兩側”非常重要用

表示右極限;

記號

表示左極限.

因此,為了確定極限存在,上述兩個單側極限必須都存在且相等.于是有以下定理:

定理 當x趨近于x0時,函數f(x)有極限A,是指左極限和右極限都存在,且兩個單側極限值都是A,即

例2 設函數y=g(x)的圖像如圖12-26所示.求下列極限:

圖 12-26

 從圖12-26可以看出,當x從2的左側趨近2時,g(x)趨近于3,當x從2的右側趨近2時,g(x)趨近于1,因此

注意 g(5)≠4.

例3 考察函數,做出圖像,并求下列極限:

 函數圖像如圖12-27所示.

(1)從圖12-27可以看出,當x從1的左側趨近1時,F(x)趨近于4,當x從1的右側趨近1時,F(x)趨近于0,因此

圖 12-27

因為 ;所以 不存在.

(2)從圖12-27可以看出,;因為

例4 考察函數,做出圖像,并求極限.

 函數圖像如圖12-28所示.

從圖12-28可以看出

圖 12-28

因為 ;所以 .

注意 G(1)=1.

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