12.2　極限的概念

本節重點知識：

1.數列的極限.

2.函數的極限.

12.2.1　數列的極限

極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產生的，是高等數學最基本的概念之一.我國古代數學家劉徽（公元3世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法，即割圓術就是極限思想在幾何學上的應用.

設有一圓，首先作內接正六邊形，把它的面積記為A1；再作內接正十二邊形，其面積記為A2；再作內接正二十四邊形，其面積記為A3；循此下去，每次邊數加倍，一般地把內接正6×2n-1邊形的面積記為An（n∈N）.這樣，就得到一系列內接正多邊形的面積

A1，A2，A3，…，An，…

它們構成一列有次序的數.當n越大，內接正多邊形與圓的差別就越小，從而以An作為圓面積的近似值也越精確.但是無論n取的如何大，只要n取定了，An終究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積.因此，設想n無限增大（記為n→∞，讀作n趨于無窮大），即內接正多邊形的邊數無限增加，在這個過程中，內接正多邊形無限接近于圓，同時An也無限接近于某一確定的數值，這個確定的數值就理解為圓的面積.這個確定的數值在數學上稱為上面這列有次序的數（所謂數列）

A1，A2，A3，…，An，…

當n→∞時的極限.在圓面積問題中我們看到，正是這個數列的極限才精確地表達了圓的面積.

在解決實際問題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數學中的一種基本方法，因此有必要作進一步的闡明.

先說明數列的概念.

按一定順序排列的一列數

x1，x2，x3，…，xn，…

稱為數列，數列中的每一個數稱為數列的項，第n項xn稱為數列的一般項.

例如

都是數列的例子.數列

x1，x2，x3，…，xn，…

也簡記為數列{xn}.

定義1　如果當n無限增大時，數列{xn}無限趨近于一個確定的常數A，我們就稱A是數列{xn}的極限，或稱數列{xn}收斂于A，記作

或xn→A（n→∞）

如果當n→∞時，數列{xn}不趨于一個確定的常數，我們就說數列{xn}沒有極限，或稱數列{xn}是發散的.

練一練

在數軸上畫出上述各數列表示的點集，并判斷每個數列是否有極限.

極限的唯一性定理，數列{xn}如果有極限，則極限值必唯一.

12.2.2　函數的極限

1.當x→∞時，函數f（x）的極限

x→∞包括以下兩種情況：

（1）x取正值且無限增大，表示x沿著x軸正半軸趨于正無窮大，記作x→+∞；

（2）x取負值且絕對值無限增大（即x無限減小），表示x沿著x軸負半軸趨于負無窮大，記作x→-∞.

引例　討論當x→∞時，函數的變化趨勢.

分析　列表（見表12-4）觀察當x→∞時，函數的變化趨勢.

當x→+∞時， ；

當x→-∞時， ，

所以，當x→∞時， .

用圖像考察，從圖12-22可以看出，當x→∞時，.

定義2　如果當自變量x的絕對值無限增大（記作x→∞）時，對應的函數值無限趨近于一個確定的常數A，則稱A為函數f（x）當x→∞時的極限，記作

或f（x）→A（當x→∞時）.

如果x>0且無限增大（記作x→+∞），對應的函數值無限趨近于一個確定的常數A，則稱A為函數f（x）當x→+∞時的極限，記作

或f（x）→A（當x→+∞時）.

同樣，x<0而絕對值無限增大（記作x→-∞），對應的函數值無限趨近于一個確定的常數A，則稱A為函數f（x）當x→-∞時的極限，記作

或f（x）→A（當x→-∞時）.

由上述這些極限定義不難得到如下結論：

例1　做出函數和y=2x的圖像，并判斷下列極限：

（1）；（2）；（3）當x→∞時，和2x的極限是否存在？

解　做出函數的圖像（見圖12-23）.由圖像可知：

（3）雖然，但不存在，所以不存在；

同理，雖然 ，但 不存在，所以 不存在.

2.當x→x0時函數f（x）的極限

觀察當x從4的兩側趨近于4時，f（x）=2x-1的變化趨勢（見表12-5）.

當x從4的左右兩側趨近于4且不等于4時，f（x）=2x-1的函數值趨近于7.

用圖像考察（見圖12-24），從圖中可以看出，當x從4的左右兩側趨近于4且不等于4時，f（x）=2x-1的函數值趨近于7，即當x→4時，2x-1→7.

因此，當x從4的兩側趨近于4但又不等于4時，就稱7是2x-1的極限，記作

定義3　設函數f（x）在點x0的某個去心鄰域內有定義，如果當x從x0的左右兩側無限趨近于x0且不等于x0時，函數f（x）無限趨近于一個確定的常數A，則稱A是函數f（x）當x趨近于x0時的極限，記作

或f（x）→A（當x→x0時）.

注意　在上述極限的定義中，只考慮當x趨近于x0時，函數f（x）的變化趨勢，并不考慮x=x0時f（x）的函數值，甚至f（x）在x0可以沒有定義.

圖12-25表明三個函數，注意在（c）中f（x0）是沒有定義的，在（b）中f（x0）≠A，但是在上述每一種情況，無論f（x0）情況如何，都有.

練一練

通過函數的圖像求下列極限：

并寫出你的結論.

極限定義中“從兩側”非常重要用

表示右極限；

記號

表示左極限.

因此，為了確定極限存在，上述兩個單側極限必須都存在且相等.于是有以下定理：

定理　當x趨近于x0時，函數f（x）有極限A，是指左極限和右極限都存在，且兩個單側極限值都是A，即

例2　設函數y=g（x）的圖像如圖12-26所示.求下列極限：

解　從圖12-26可以看出，當x從2的左側趨近2時，g（x）趨近于3，當x從2的右側趨近2時，g（x）趨近于1，因此

注意　g（5）≠4.

例3　考察函數，做出圖像，并求下列極限：

解　函數圖像如圖12-27所示.

（1）從圖12-27可以看出，當x從1的左側趨近1時，F（x）趨近于4，當x從1的右側趨近1時，F（x）趨近于0，因此

因為 ；所以 不存在.

（2）從圖12-27可以看出，；；因為

例4　考察函數，做出圖像，并求極限.

解　函數圖像如圖12-28所示.

從圖12-28可以看出

因為 ；所以 .

注意　G（1）=1.