1.4　流體在管內的流動阻力

流體流動的阻力損失與其內部結構緊密相關。此外，流體的熱量傳遞和質量傳遞也都與流動的內部結構緊密相關。

1.4.1　流動的類型

兩種流型——層流和湍流　1883年著名的雷諾（Reynold）實驗揭示了流體流動的兩種不同型態。圖1-14為雷諾實驗裝置示意圖。在一玻璃水箱內，溢流裝置保證水面高度穩定，水面下裝有一帶喇叭形進口的玻璃管。管下游有一流量調節閥門。在喇叭形進口處中心有一根針形小管，從小管流出一絲紅色水流，其密度與水幾乎相同。

當水流量較小時，玻管水流中呈現一條穩定而明顯的紅色直線。現逐漸增加流量，起初紅色線仍然保持平直；當流量增大到某臨界值時，紅色線開始抖動、彎曲，繼而斷裂。最后完全與水流主體混在一起，無法分辨，使整個水流染上了紅色。

雷諾實驗揭示了一個重要的事實，即存在著兩種截然不同的流體流動類型。在前一種流型中，流體質點作直線運動，流體層次分明，層與層之間互不混雜（此處僅指宏觀運動，不是指分子擴散），而使紅色線流保持著線形。這種流型稱為層流或滯流。在后一種流型中，流體質點在總體上沿管道向前運動，同時還在各個方向作隨機的脈動，這種隨機脈動使紅色線抖動、彎曲，以至沖斷、分散。這種流型稱為湍流或紊流。

流型的判據——雷諾數Re　不同的流動類型對流體中的動量、熱量和質量傳遞產生不同的影響。對管流而言，實驗表明流動的幾何尺寸（管徑d）、流動的平均速度u及流體物性（密度ρ、黏度μ）對流型從層流到湍流的轉變有影響。將這些影響因素綜合成一個無量綱的數群可作為流型的判據，該數群稱為雷諾數，以符號Re表示。實驗表明：

①當Re<2000時，必定出現層流，此為層流區。

②當2000≤Re<4000時，有時出現層流，有時出現湍流，依賴于環境。此為過渡區。

③當Re≥4000時，工業條件下，一般都出現湍流，此為湍流區。

應該指出，以Re為判據將流動劃分為三個區：層流區、過渡區、湍流區，但是只有兩種流型。過渡區并非表示一種過渡的流型，它僅表示在此區內可能出現層流也可能出現湍流。究竟出現何種流型，需視外界擾動而定，但在一般工程計算中Re≥2000可作湍流處理。

雷諾數的物理意義是它表征了流動流體慣性力與黏性力之比，它在研究動量傳遞、熱量傳遞、質量傳遞中非常重要。

時均速度與脈動速度　湍流狀態下，流體質點在沿管軸流動的同時還作著隨機的脈動， 流場中任一點的速度（包括方向和大小）都隨時變化。在某點測定沿管軸x方向的流速u_x隨時間的變化，可得圖1-15所示的波形。在其他方向上，該點速度的分量也有類似的波形。

從圖1-15的曲線看，在時間段T內有一速度的時間平均值，稱為時間平均速度。湍流時其他流動參數（如壓強p等）也有類似圖1-15的曲線。這樣，質點的瞬時流速可寫成

　　（1-31）

式中，u'_x表示x方向上隨機的脈動速度。其他方向上也有類似的公式。脈動速度值可正可負，是一個隨機量。對沿x方向的一維流動，、均為零，但脈動速度u'_y、u'_z仍然存在。

湍流的強度　湍流也可用另一種方法描述，即把湍流看作是在一個主體流動上疊加各種不同尺度、強弱不等的旋渦。大旋渦不斷生成，并從主流的勢能中獲得能量。與此同時，大旋渦逐漸分裂成越來越小的旋渦，其中最小的旋渦中存在大的速度梯度，機械能因流體黏性而最終變為熱能，小旋渦隨之消亡。因此，湍流流動時的機械能損失比層流時大得多。

湍流強度通常用脈動速度的均方根值與平均流速的比值表示，即，其數值與旋渦的旋轉速度有關。無障礙物的湍流流場的湍流強度約在0.5%～2%，但在障礙物后的高度湍流區，湍流強度可達5%～10%。

湍流的尺度　湍流尺度與旋渦大小有關，它是以相鄰兩點的脈動速度是否有相關性為基礎來度量的。當空氣以12m/s的流速在管內流過， 湍流尺度為10mm，這是對管內旋渦平均尺度的大致度量。同一設備中，隨Re的增加， 湍流尺度降低。比如， 液液非均相分散時， 分散相液滴破碎變小到一定程度， 湍流尺度大的流場對它已無能為力了， 要獲得更小的分散相液滴， 須用湍流尺度更小的流場來實現。

湍流黏度　湍流的基本特征是出現了脈動速度。當流體在圓管內湍流流動時，脈動速度加快了徑向的動量、熱量和質量的傳遞。湍流時，流體不再服從牛頓黏性定律式（1-3）。若仍用牛頓黏性定律的形式來表示，可寫成

　　（1-32）

式中，μ'稱為湍流黏度。它不再是流體的物理性質，它隨不同流場及離壁的距離而變化。

邊界層　邊界層學說是普朗特于1904年提出的。當流速均勻的實際流體與一個固體界面接觸時，與壁面直接接觸的流體速度立即降為零。由于流體黏性的作用，近壁面的流體將相繼受阻而降速，形成速度梯度。隨著流體沿壁面向前流動，流速受影響的區域逐漸擴大。通常定義，流速降為來流速度u₀的99%以內的區域為邊界層。

由圖1-16可見，邊界層內存在著速度梯度，須考慮黏度的影響；而邊界層外，速度梯度小，可忽略黏性的影響。邊界層按流型仍可分為層流邊界層和湍流邊界層。如圖1-16所示，在平壁上的前一段，邊界層內的流型為層流，稱為層流邊界層。離平壁前緣一定距離后，邊界層內的流型轉為湍流，稱為湍流邊界層。

湍流時的層流內層和過渡層　湍流邊界層內，離壁面越近速度脈動越小。近壁處速度脈動很小，流動仍保持層流特征。因此，即使在高度湍流條件下，近壁面處仍有一薄層保持著層流特征，該薄層稱為層流內層，見圖1-16。在湍流區和層流內層間還有一過渡層。層流內層一般很薄，其厚度隨Re的增大而減小。在湍流核心內，徑向的傳遞過程因質點的脈動而大大強化。在層流內層中，徑向的傳遞只能依賴于分子運動。因此，層流內層是傳遞過程主要阻力所在。

管流入口段　當流體在圓管內流動時，只在進口處一段距離內（入口段L₀）有邊界層內外之分。經過入口段距離后，邊界層擴大到管中心，如圖1-17所示。在管中心匯合時，若邊界層內流動是層流，則以后的管流為層流。若在匯合點之前流動已發展成湍流邊界層，則以后的管流為湍流。速度分布至匯合點處才發展成穩定的定態流動時管流的速度分布。入口段中的動量、熱量、質量傳遞速率比充分發展段的大。例如，雷諾數等于9×10⁵時，入口段長度約為40倍管直徑。

1.4.2　流體在圓管內的速度分布

流體的力平衡　圖1-18表示流體在一圓直管內作定態流動的情況。在流體流動的圓直管內，以管軸為中心，取一半徑為r，長度為l的圓柱形積分控制體，對它作受力平衡分析。該圓柱體所受諸力是：兩端面上的壓力F₁=πr²p₁、F₂=πr²p₂；側表面上的剪切力F=2πrlτ；圓柱體的重力F_g=πr²lρg；式中，p₁、p₂為兩端面中心處的壓強，N/m²；τ為圓柱體外表面上所受的剪應力，N/m²。

流體在圓直管內作定態流動，沒有加速度，合外力必須等于零，即

F₁-F₂+F_gsinα-F=0

因lsinα=z₁-z₂，代入上式可得

πr²（p₁-p₂）+πr²ρg（z₁-z₂）=2πrlτ　　（1-33）

將式（1-33）整理可得

　　（1-34）

式（1-34）表示了圓直管內沿徑向的剪應力分布。此式與流體種類無關，且對層流和湍流皆適用。此式表明，在圓直管內剪應力與半徑r成正比，管中心處剪應力為零。

層流時的速度分布　流體在圓直管內層流流動時， 剪應力與速度梯度的關系服從牛頓黏性定律， 即

　　（1-35）

由于管內流動的du/dr為負，為使剪應力保持正號，式（1-35）右方加一負號。將式（1-35）代入式（1-34），并利用管壁上流體速度為零（即r=R時， u=0）的邊界條件進行積分，得到圓直管內層流速度分布為

　　（1-36）

其中，管中心的最大流速為

　　 （1-37）

從式（1-36）可知，層流時圓管截面上的速度呈拋物線分布，如圖1-19所示。

層流時的平均速度　由速度分布式（1-36）在管截面上積分，可求出管內的平均流速為

　　（1-38）

即圓管內作層流流動時的平均速度為管中心最大速度的一半。

圓管內湍流的速度分布　當流體作湍流流動時，雖然剪應力也可寫成牛頓黏性定律的形式［見式（1-32）］，但式中湍流黏度μ'并非物性常數，它隨Re及離壁距離而變，因此無法用數學分析法推導出湍流的速度分布。在大量實驗測量和研究的基礎上，湍流時的速度分布被關聯成如下經驗關系式

　　（1-39）

式中，指數n的值與Re有關，在不同的Re范圍內取不同的值

圖1-20表示了圓直管中湍流的速度分布。Re數越大，近壁區以外的速度分布越均勻。

湍流時的平均速度　由圖1-20可見， 湍流時截面速度分布比層流時均勻得多。這表明，湍流時的平均速度應比層流時更接近于管中心的最大速度u_max。在發達的湍流情況下，其平均速度約為最大流速的0.8倍，即

　　（1-40）

1.4.3　流體在管內流動的阻力損失

直管阻力和局部阻力　常用化工管路主要由兩部分組成：一種是直管；另一種是彎頭、三通、閥門等管閥件。無論是直管或管閥件都對流動流體造成一定的阻力，消耗一定的機械能。直管造成的機械能損失稱為直管阻力損失（也稱沿程阻力損失）；管閥件造成的機械能損失稱為局部阻力損失。這種劃分便于工程計算，本質并無不同，都是由黏性和內摩擦力造成的。

阻力損失表現為流體勢能的降低　如圖1-21所示，當流體在均勻直管中作定態流動時，可取1-1截面和2-2截面，u₁=u₂。在截面1-1、2-2之間未加入機械能，h_e=0。由機械能衡算式（1-24）可知

　　（1-41）

由式（1-41）可知，對于通常的管路，無論是直管阻力或是局部阻力，也不論是層流或湍流，阻力損失均主要表現為流體勢能的降低，即。只有水平等徑管道，阻力損失表現為壓強的降低。

層流直管阻力損失　直管內流體層流時，阻力損失造成的勢能差可由式（1-38）求出

　　（1-42）

式（1-42）稱為泊謖葉（Poiseuille）方程。層流時的直管阻力損失為

　　（1-43）

湍流直管阻力損失　湍流時無法獲得解析解，可通過量綱分析法進行實驗研究，獲得經驗的計算式。影響湍流直管阻力損失h_f的主要因素，除了式（1-43）中的物性因素：密度ρ、黏度μ和操作因素：流速u，以及設備因素：管徑d、管長l之外，還有管壁粗糙度ε （管內壁表面高低不平）。

量綱分析法是通過將變量組合成無量綱數群，從而減少實驗自變量的個數，大幅度地減少實驗次數，因此在化工過程的研究中廣為應用。量綱分析法的依據是：任何物理方程的等式兩邊或方程中的每一項均具有相同的量綱，稱為量綱一致性。

以層流為例，式（1-43）可以寫成如下形式

　　（1-44）

式中每一項都不帶量綱，稱為無量綱數群。湍流時可寫成如下的無量綱形式

　　（1-45）

式中，即為雷諾數Re；稱為相對粗糙度。

對式（1-45）而言，根據經驗，阻力損失與管長l成正比，u²習慣寫成動能項（u²/2），該式可改寫為

　　（1-46）

特別重要的是，若按式（1-46）組織實驗時，可以將水、空氣等介質的實驗結果推廣應用于其他流體，將小尺寸模型的實驗結果應用于大型裝置。函數的具體形式可按實驗結果用圖線或方程式表達。

統一的表達方式　無論是層流或湍流，對于直管阻力損失，可將式（1-44）和式（1-46）統一成如下形式，以便工程計算

　　（1-47）

式中，摩擦系數λ為雷諾數Re和相對粗糙度ε/d的函數， 即

　　（1-48）

摩擦系數λ　對Re<2000的層流直管流動，將式（1-43）改寫成（1-47）的形式后，可得

　　（1-49）

研究結果表明， 湍流時的摩擦系數λ可用式（1-50）計算

　　（1-50）

當已知Re和ε/d時，通過迭代可求出λ值，工程上為避免試差迭代，也為了使λ與Re、ε/d的關系形象化，將式（1-49）、式（1-50）制成圖線，見圖1-22（莫迪圖）。

該圖為雙對數坐標。在Re=2000～4000的過渡區內，管內流型因環境而異，摩擦系數波動。工程上為安全計，常作湍流處理。當Re≥4000，流動進入湍流區，摩擦系數λ隨雷諾數Re的增大而減小。當Re足夠大后，λ不再隨Re而變，其值僅取決于相對粗糙度ε/d。由式（1-47）可知，阻力損失h_f與流速u的平方成正比。該區域稱為充分湍流區或阻力平方區。

粗糙度對λ的影響　層流時，粗糙度對λ值無影響。在湍流區，管內壁高低不平的凸出物對λ的影響是相繼出現的。當Re大到一定程度，λ值不再變化，管流便進入阻力平方區。

實際管的當量粗糙度　管壁粗糙度對阻力系數λ的影響首先是用人工粗糙管測定的。人工粗糙管是將大小相同的砂粒均勻地黏著在普通管壁上，人為地造成粗糙度，因而其粗糙度可以精確測定。工業管道內壁的凸出物形狀不同，高度也參差不齊，粗糙度無法精確測定。實踐上是通過實驗測定阻力損失并計算出λ值，然后由圖1-22反求出相當的相對粗糙度，稱為實際管道的當量相對粗糙度。由當量相對粗糙度可求出當量的絕對粗糙度ε。

化工常用管道的當量絕對粗糙度示于表1-1。

非圓形管的當量直徑　前面討論了圓直管的阻力損失。實驗證明，對于非圓形管內的湍流流動，如采用下面定義的當量直徑d_e代替圓管直徑，其阻力損失仍可按式（1-47）和圖1-22進行計算。

　　（1-51）

當量直徑的定義是經驗性的，理論根據并不充分。對于層流流動還應改變式（1-49）中的64這一常數，如正方形管為57，環隙為96。對于長寬比大于3的矩形管道使用式（1-51）將有相當大的誤差。

用當量直徑d_e計算的Re也用以判斷非圓形管中的流型。非圓形管中穩定層流的臨界雷諾數同樣是2000。

局部阻力損失計算　局部阻力損失是由于流道的急劇變化使流動產生大量旋渦消耗了機械能。常見的管件和閥件的局部阻力系數如表1-2所示。局部阻力損失因管閥件種類繁多，規格不一，難以精確計算。通常采用以下兩種近似方法。

（1）近似地認為局部阻力損失服從平方定律

　　（1-52）

式中，ζ為局部阻力系數，由實驗測定。

（2）近似地認為局部阻力損失相當于某個長度的直管

　　（1-53）

式中，l_e為管閥件的當量長度，由實驗測得。

顯然，式（1-52）、式（1-53）兩種計算方法所得結果不會一致，它們都是近似的估算值。

從圖1-23～圖1-25和表1-2中可查得常用管閥件的ζ和l_e值。對于突然擴大和縮小， 值得注意的是式（1-52）和式（1-53）中的u須用小管截面的平均速度。

實際應用時，長距離輸送以直管阻力損失為主；車間管路則往往以局部阻力為主。

計算管道阻力損失時，若能估計出舊管路的ε值，應以此查取λ，而不用新管的ε。更常用的方法是采用安全系數，即用新管的ε查出λ后，按使用情況將λ乘上一個大于1的安全系數。如平均使用5～10年的鋼管，其安全系數取1.2～1.3，以適應粗糙度的變化。