1.3　流體流動中的守恒原理

弄清流速、壓強等運動參數在流體流動過程中的相互關系是研究其規律的基礎。流體流動應當服從一般的守恒原理：質量守恒、機械能守恒。本節將導出這些守恒原理在流體流動中的具體表達形式。

1.3.1　質量守恒

流量　單位時間內流過管道某一截面的物質量稱為流量。流過的量若以體積表示，稱為體積流量，以符號q_V表示，常用的單位有m³/s或m³/h。若以質量表示，則稱為質量流量，以符號q_m表示，常用的單位有kg/s或kg/h。

體積流量q_V與質量流量q_m之間存在下列關系

q_m=q_Vρ　　（1-15）

流量是一種瞬時的特性，不是某段時間內累計流過的量。它可因時而異。當流體作定態流動時，流量不隨時間而變。

平均流速　流體質點在單位時間內流動方向上流經的距離稱為流速，用符號u表示，單位為m/s。管內流體流動時，因黏性的存在，流速沿管截面形成某種分布。在工程計算中，常用一個平均速度來代替這一速度分布。定義物理量的平均值時應按其目的采用相應的平均方法。在流體流動中按體積流量相等的原則來定義平均流速。平均速度以符號表示，即

　　（1-16）

式中，u為某點的流速，m/s；A為垂直于流動方向的管截面積，m²。

從而

　　（1-17）

有時，采用質量流速G的概念，亦稱為質量通量，其單位為kg/（m²·s）。

　　（1-18）

對于氣體在直管中的流動，沿程的平均速度和密度都會發生變化，而質量流速G是沿程不變的。

質量守恒方程　考察圖1-9中截面1-1至2-2之間的管段控制體，定態流動時，控制體內沒有積累量，單位時間內流進和流出控制體的質量應相等，即

　　（1-19）

這就是流體在管道中作定態流動時的質量守恒方程，也稱為連續性方程。式中，A₁、A₂為管段兩端的橫截面積，m²；、為管段兩端面的平均流速，m/s；ρ₁、ρ₂為管段兩端面處的流體密度，kg/m³。對不可壓縮流體，ρ為常數，則有

　　（1-20）

由式（1-20）可見，不可壓縮流體的平均流速與管截面面積成反比，截面面積增加，流速減小；截面面積減小，流速增加。流體在均勻直管內作定態流動時，平均流速沿程保持定值，不因內摩擦而減速。

1.3.2　機械能守恒

在流體黏性作用下，流動流體會有機械能損失。本節先討論理想流體的機械能守恒。隨后再考慮機械能損失，使之能應用于實際流體。

動能　在1.2.2節中已經敘述了流體的位能和壓強能，在流動流體中還有一項機械能，即動能，由物理學知識可知，單位質量流體的動能為u²/2。

伯努利方程　對于不可壓縮流體，根據能量守恒原理，理想流體在流動過程中既沒有機械能損失，也沒有機械能增加，總機械能保持恒定，即位能、壓強能、動能之和為常數

　　（1-21）

這就是伯努利方程（Bernoulli）方程。伯努利方程適用于重力場不可壓縮的理想流體作定態流動的情況。伯努利方程表明在流體流動中這三種機械能可相互轉換，但總和保持不變。伯努利方程又可寫成

　　（1-22）

如圖1-10所示，伯努利方程用于管流時，從1-1截面至2-2截面可得到如下關系式

　　（1-23）

下標1、2分別代表管流中位于截面1-1和截面2-2。

機械能衡算式　實際流體具有黏性，但圖1-10中截面上各點的總勢能仍然相等。此外，黏性流體流動時因內摩擦而導致機械能損失，稱為阻力損失h_f。流體輸送機械也可對流體加入機械能h_e。在對截面1-1與2-2間作機械能衡算時計入這兩項，可得機械能衡算式

　　（1-24）

式中，h_e為截面1-1至截面2-2間外界對單位質量流體加入的機械能，J/kg；h_f為單位質量流體由截面1-1流至截面2-2的機械能損失（即阻力損失），J/kg。

伯努利方程的應用舉例

（1）重力射流　如圖1-11所示，某容器中盛有液體，液面A維持不變。距液面h處開有一小孔，液體在重力作用下從小孔流出，液面A處及小孔出口處的壓強均為大氣壓p_a。液體自小孔流出時由于流體的慣性造成液流的收縮現象，液流的最小截面位于C處。以圖中水平面0-0作為位能基準面，取A與C作為考察截面，列伯努利方程可得

?

因u_A?u_C，遠小于而可略去，于是

　　（1-25）

為計算流量，須確定流動截面積。C處截面積無法確定，小孔面積卻是已知的。因此，工程計算時希望以小孔平均流速u代替u_C，同時考慮流體流動時的能量損失，而引入一校正系數C₀，將式（1-25）寫成

　　（1-26）

式中，C₀稱為孔流系數，它與開孔的形狀有關，銳孔的C₀一般在0.61～0.62之間。

此例說明位能與動能的相互轉換，A處的位能在C處轉化為動能。

（2）壓力射流　容器中流體的壓強為p，其值大于外界大氣壓p_a，流體從壁面小孔流出，如圖1-12所示。設容器內的流體不斷得到補充，p保持不變。取1-1和2-2截面，列伯努利方程可得

由于， 略去后可得

　　（1-27）

用小孔平均流速u代替u₂，并引入孔流系數C₀，得

　　（1-28）

當容器內外壓強差Δp較小時，氣體密度也可視為常數，式（1-28）也可用于氣體。此例說明壓強能與動能的相互轉換。

壓頭　式（1-23）兩邊除以g可獲得伯努利方程的另一種——以單位重量流體為基準的表達形式

　　（1-29）

式中各項為每牛頓流體具有的能量（焦耳），即J/N=m，與高度單位一致，其中，z稱為位頭；稱為壓頭；稱為速度頭。由式（1-24）可導出

　　（1-30）

式中，H_e為截面1-1至截面2-2間外界對單位重量流體加入的機械能，J/N（或m）；H_f為單位重量流體由截面1-1流至截面2-2的機械能損失（阻力損失），J/N（或m）。

式（1-24）、式（1-30）都稱為流體流動的機械能衡算式。在計算時，因等式兩邊都有壓強項，兩邊可同時取絕對壓強作為計算基準，或都用表壓作為計算基準。