4.3　卡諾循環

科學是因人類社會的需要而發展的，熱力學第二定律也是伴隨著人類發展的社會需要而發展起來的。18世紀末出現了蒸汽機^［2］，隨后人類對更高熱機效率的不斷追求，迫切需要解決燃料燃燒放出的熱如何更高效地轉化為機械功的問題。

實踐證明，功可以無條件地轉化為熱，而熱轉化為功是有條件的。由于對熱機效率的追求，自然而然地產生了這一問題：既然熱不能完全轉化為功，那么熱轉化功的最大效率又該如何呢？

［2］瓦特與蒸汽機：詹姆斯·瓦特（James Watt，1736—1819），英國著名的發明家，工業革命時期的重要人物。瓦特初期連續運轉的蒸汽機，按燃料熱值計總效率不超過3％；到1840年，最好的凝汽式蒸汽機總效率可達8％；到20世紀，蒸汽機最高效率可達到20％。

面對19世紀初熱機效率低的工業難題，卡諾^［3］于1824年創造性地用“理想實驗”的思維方法，提出了最簡單而有重要理論意義的熱機循環——卡諾循環，并假定該循環在準靜態條件下是可逆的，與工作介質無關，制造了一部理想的熱機，基于該實驗，引入了“卡諾循環、卡諾熱機”等概念，得出了“卡諾原理”，有效解決了熱功轉化的方向與限度問題，促進了熱力學的發展。

［3］薩迪·卡諾（Sadi Carnot，1796—1832）是法國青年工程師、熱力學的創始人之一，兼有理論科學與實驗科學才能，是把熱和動力聯系起來的第一人，是熱力學理論基礎的真正建立者。英國著名物理學家麥克斯韋對卡諾理論作出評價：“卡諾理論是一門具有可靠的基礎、清楚的概念和明確的邊界的科學”。

4.3.1　卡諾循環

卡諾以理想氣體為工作物質，根據絕熱可逆和恒溫可逆過程做功不同的特點，設計的一個循環，稱為卡諾循環（carnot cycle），從始態出發，歷經四步：等溫可逆膨脹、絕熱可逆膨脹、等溫可逆壓縮、絕熱可逆壓縮，又回到了始態，該循環過程如圖4-2所示。在這四個步驟中，功、熱、內能關系如下。

（1）等溫可逆膨脹

理想氣體在T_h溫度由始態A（p_A，V_A，T_h）恒溫可逆膨脹至狀態B（p_B，V_B，T_h），從高溫熱源吸熱Q_h，做功W₁。由于過程恒溫，有

在這個過程中，體系從高溫熱源吸收熱量、對外做功。

（2）絕熱可逆膨脹

理想氣體從狀態B（p_B，V_B，T_h）絕熱可逆膨脹至狀態C（p_C，V_C，T_c），有

Q=0，W₂=ΔU₂=C_V（T_c-T_h）

在這個過程中，體系對環境作功、溫度降低。

（3）等溫可逆壓縮

理想氣體從狀態C（p_C，V_C，T_c）恒溫可逆壓縮至狀態D（p_D，V_D，T_c），此時環境對體系做功W₃，體系向低溫熱源放熱Q_c，則

在這個過程中，體系向環境中放出熱量，體積壓縮。

（4）絕熱可逆壓縮

理想氣體從狀態D（p_D，V_D，T_c）絕熱可逆壓縮至狀態A（p_A，V_A，T_h），有

Q=0，W₄=ΔU₄=C_V（T_h-T_c）

在這個過程中，環境對體系作功、溫度升高。

經過上述四步過程后，體系恢復到原來狀態。

根據熱力學第一定律，整個循環過程中

ΔU=0

　　 （4.1） 　　

對（2）、（4）絕熱可逆過程，用公式

　　 ①

　　②

式①除以式②得，代入式（3.62），得

　　 （4.2） 　　

思考：

4-12　卡諾的科學貢獻對你有何啟發？

4-13　回答并理解如下問題：

（1）可逆熱機是理想熱機嗎？

（2）卡諾熱機是可逆熱機嗎？

（3）可逆熱機是卡諾熱機嗎？

（4）實際熱機是卡諾熱機嗎？

4.3.2　熱機效率

卡諾循環可以想象成工作于兩個恒溫熱源之間的準靜態過程，做卡諾循環的熱機叫做卡諾熱機。該熱機工作于兩個恒溫熱源之間，其高溫熱源（hot source）的溫度為T_h，低溫熱源（cold sink）的溫度為T_c。卡諾假設工作物質只與兩個恒溫熱源交換熱量，沒有散熱、漏氣、摩擦等損耗。為使過程是準靜態過程，工作物質從高溫熱源吸熱應是無溫度差的等溫膨脹過程，同樣，向低溫熱源放熱應是等溫壓縮過程。因限制只與兩熱源交換熱量，脫離熱源后只能是絕熱過程。這一循環相當于從高溫熱源吸收熱量Q_h，對外做功W，同時向低溫熱源放出了熱Q_c，如圖4-3所示。

卡諾熱機從高溫熱源所吸收的熱Q_h，一部分轉變為功W，另一部分熱傳給了低溫熱源Q_c。由于熱機效率（η）的定義為熱機在整個循環過程中做的總功與從高溫熱源吸收的熱量之比，故有

　　 （4.3） 　　

或 　　 　　 （4.4）

4.3.3　制冷熱機及其效率

如果把可逆的卡諾熱機倒開，即沿著ADCBA路徑循環，就變成了一臺制冷機，此時環境對體系做功，體系從低溫熱源T_l吸收熱量Q_c，而放給高溫熱源T_h的熱量為Q_h，這就是制冷機的工作原理。類似于卡諾熱機效率的處理計算方法，可以求出環境對體系所做的功W與從低溫熱源所吸收的Q_c的關系為

　　 （4.5） 　　

式中，W為環境對體系所做的功；β為制冷系數（coefficient of refrigeration）。

例題4-1　1kg 273.2K的水變為冰能放出多少熱量？假若用一臺制冷機在SATP下工作至少需要對體系做多少功？該制冷機完成該過程對環境放熱若干？已知

解：（1）體系　

（2）制冷機　

　　

（3）制冷機

-Q_h=（ΔU）=Q_c+W=334.7kJ+30.63kJ=365.33kJ

習題：

4-1　已知每克汽油燃燒時可放熱16.86kJ。（1）若用汽油作水蒸氣為工作物質的蒸汽機的燃料時，該機的高溫熱源為105℃，冷凝器即低溫熱源為30℃；（2）若用汽油直接在內燃機中燃燒，高溫熱源溫度可達2000℃，廢氣即低溫熱源亦為30℃。試分別計算兩種熱機的最大效率是多少？每克汽油燃燒時所能作出的最大功為多少？（0.198，3.34kJ；0.867，14.62kJ）

4-2　1kg 273.2K的水變為冰能放出多少熱量？假若用一臺制冷效率為50％的制冷機在SATP下工作至少需要對體系做多少功？該制冷機完成該過程對環境放熱多少？已知Δ_fus。（-334.7kJ，61.26kJ，-395.96kJ）