第二節　平面一般力系的簡化

一、平面一般力系向一點簡化

現在，根據力的平移定理來研究平面一般力系向一點簡化的問題。

設在剛體上作用著平面一般力系F₁、F₂、…、F_n，各力的作用點分別為A₁、A₂、…、A_n。為了簡明起見，在圖3.3中只畫了三個力的情況。

在力系平面內任取一點O，這個點稱為簡化中心。把力系中的每一個力都平移到簡化中心O，根據力的平移定理，每個力還必須附加一個力偶［圖3.3（b）］。于是，原力系等效于一個作用點在O點的平面匯交力系和一個平面力偶系。

平面匯交力系F'₁、F'₂、…、F'_n可合成為一個合力F'_R，也作用于O點，且F'_R可表達成

　　        （3.1）

力系中各力的矢量和稱為該力系的主矢，主矢和簡化中心O的位置無關。因此，F'_R的撇可省去不寫。F_R的大小和方向可由上章介紹的幾何法或代數法求出。

平面力偶系可以合成為一個力偶，其力偶矩記為M_O，且它為

　　        （3.2）

力系中各力對簡化中心的矩的代數和稱為該力系對該點的主矩。當簡化中心的位置變化時，其主矩一般也要發生變化，因此，式（3.2）中的O不能省去。

綜上所述，平面一般力系向其作用面內任意一點簡化后，一般得到一個力和一個力偶。這個力矢量等于力系中各力的矢量和，即力系的主矢，且主矢和簡化中心O的位置無關；這個力偶的力偶矩等于各力對簡化中心的矩的代數和，即力系對簡化中心的主矩，且主矩一般與簡化中心的位置有關。

二、平面一般力系的簡化結果

平面一般力系向一點簡化后，可能出現下列四種情況：

①主矢不等于零，而主矩等于零，即

此時力系合成一個合力，其大小和方向由主矢確定并通過簡化中心。

②主矢等于零，而主矩不等于零，即

此時力系合成一個力偶，其力偶矩與主矩相等。由于力偶可在其作用平面內任意移動和轉動，所以該力系的簡化結果與簡化中心無關。

③主矢不等于零，而主矩也不等于零，即

這是一般的結果。由上節已經知道，一個力和一個力偶不是最終的簡化結果，它仍可繼續合成一個力，見圖3.3（d）。這時作用在O點的F_R和M_O合成為作用在P點的一個力（其中P點到F_R作用線的垂直距離，至于P點是在O點以左還是以右，可由M_O的轉向確定），為了區分用F″_R表示。實際上F″_R和F_R大小相等，方向一致。

也就是說，當主矢和主矩都不等于零時，其最終簡化結果與第一種情況相同，即與一個力等效。這時的F″_R是真正意義上的合力。可以發現圖3.3（a）所示的平面一般力系對O點的矩M_O（F₁）+M_O（F₂）+…+M_O（F_n）=∑M_O（F）就等于圖3.3（d）所示的該平面一般力系的合力F″_R對O點的矩∑M_O（F″_R）。這就證明了一個重要的定理——合力矩定理，即平面一般力系的合力對平面內任一點的矩等于原力系中各個力對該點的矩的代數和。

④主矢等于零，主矩也等于零，即

此時力系平衡。這是下面要重點研究的。

總之，平面一般力系最終的簡化結果要么是一個力，要么是一個力偶，要么平衡，只有這三種情況。

三、合力矩定理的應用——確定分布力系合力作用點的位置

例3.1　試求圖3.4所示三角形分布荷載的合力大小及其作用點的位置。

解：

（1）求合力

分布力的集度可表示為

作用在dx微段上的力為

　　        

所以，合力F_R的大小為

　　        （3.3）

即三角形分布力的合力等于三角形的“面積”，加引號是因為其單位是N（牛頓）而不是通常意義上的m²（平方米）。該結論適用于任意分布力的情況，即任意分布力的合力都等于它與軸線所包圍的面積。

（2）求合力作用點的位置

設該分布力系的合力為F_R，作用點位置C的坐標為x_C，見圖3.4。

作用在dx微段上的力對O點的矩為

則分布力對O點的矩為

根據合力矩定理

把代入上式，得

　　        （3.4）

即三角形分布荷載合力的作用點到長邊（圖3.4中的AB）的距離比到尖端（圖3.4中的O）的距離要短，且其比值為1∶2。