第三節 平面一般力系的平衡方程及其應用
平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢以及其對任一點的主矩都等于零。
主矢等于零相當于∑Fx=0，同時∑Fy=0；主矩等于零，即∑MO（F）=0。把這三個條件寫到一塊
（3.5）
式（3.5）稱為平面一般力系的平衡方程，這是應用最廣的一種形式。另外，平面一般力系的平衡方程還有其他兩種形式，即
（3.6）
且A、B連線不和x軸垂直。
（3.7）
且A、B、C三點不共線。
其中式（3.5）～式（3.7）又分別稱為一矩式、二矩式和三矩式。
值得說明的是，盡管上述三式有九個方程，但是真正獨立的方程卻只有三個，因此，平面一般力系的靜力平衡方程只能求解三個未知數。
對于平面匯交力系，由于對其匯交點的力矩為零，所以式（3.5）中的第三式自然滿足；只有前兩式與平面匯交力系的平衡方程一致，即式（3.5）包含了平面匯交力系的情況。
對于平面力偶系，由于其在任何軸上投影的代數和均為零，所以式（3.5）中的前兩式自然滿足；只有第三式與平面力偶系的平衡方程一致，即式（3.5）也包含了平面力偶系的情況。
下面舉例說明單個物體在平面一般力系作用下的平衡問題。
例3.2 如圖3.5（a）所示，已知F的大小為60kN，試求支座A和B的約束反力。
解：選剛架ACB為研究對象，畫出隔離體，并分析其受力情況。支座B為活動鉸支座，所以約束反力FB的方向豎直向上。支座A為固定鉸支座，其約束反力可用FAx和FAy表示［圖3.5（b）］。
圖3.5
由∑MA（F）=0，得
由∑Fx=0，得
負號說明力的方向與圖示假設的方向相反，即
由∑Fy=0，得
負號說明力的方向與圖示假設的方向相反，即
討論：本題實際是上一章的例2.2。只不過上一章是按平面匯交力系求解的，解出的是合力；而現在是按平面一般力系求解的，解出的是分力。請讀者自行去驗證兩者等效。
再認真觀察圖3.5（b），它實際上還是個平面力偶系。由（F，FAx）構成一個力偶，因F是已知的，所以FAx=60kN（←），且力偶矩為順時針的240kN·m；由平面力偶系的平衡條件，肯定有一逆時針的力偶矩和它抵消，此力偶剛好由FB和FAy提供，這兩個力的大小均為240kN·m/3m=80kN，由力偶矩的轉向為逆時針，不難判斷FB=80kN（↑），FAy=80kN（↓）。
本題的求解提供了三種方法，不同的方法其繁簡程度不一樣，應加強練習，不僅能算得準，而且還須算得快。
例3.3 如圖3.6（a）所示，已知q0=10kN/m，l=3m，試求支座A的約束反力。
解：一端為固定端約束，而另一端自由的梁稱為懸臂梁。它也是建筑工程中常見的結構形式，如陽臺挑梁。本題即為一懸臂梁的例子。選梁AB為研究對象，畫出隔離體，并分析其受力情況。由于A端為固定端約束，所以約束反力可用FAx、FAy和MA表示［圖3.6（b）］。
圖3.6
由于荷載為三角形分布，利用例3.1的結果，用其合力代替：
其作用點的位置為 
由∑Fx=0，得FAx=0
由∑Fy=0，得FAy-15kN=0，FAy=15kN（↑）
由∑MA（F）=0，得-15kN×1m+MA=0，MA=15kN·m（逆時針）
例3.4 如圖3.7（a）所示，已知F=6kN，q=3kN/m，M=12kN·m，試求支座A、B的約束反力。
圖3.7
解：簡支梁的一端或兩端向支座外伸出，這樣的梁稱為外伸梁。這也是建筑工程中常見的結構形式，本題即為一外伸梁的例子。選梁ABC為研究對象，畫出隔離體，并分析其受力情況。由于A端為固定鉸支座，所以約束反力可用FAx、FAy表示，而B端為活動鉸支座，所以約束反力可用FB表示［圖3.7（b）］。首先把均布力用其合力代替，合力的大小為
其作用點距A端4m。
由∑Fx=0，得FAx=0
由∑MA（F）=0，得
（3.8）
由∑Fy=0，得
討論：
①在列方程∑Fx=0和∑Fy=0時均未出現力偶，這是因為力偶在任何軸上的投影都為零。
②事實上，為了快速求解約束反力，可采用疊加的方法。下面介紹此方法。
模型一：如圖3.8（a）所示為一簡支梁上作用一集中力的情況。很顯然，FAx=0。
由∑MA（F）=0，得-Fa+FBl=0，即
（3.9）
同理，由∑MB（F）=0，得Fb-FAyl=0，即
（3.10）
從式（3.9）和式（3.10）中可看到集中力F離哪個支座近則哪個支座就給梁較大的支座反力，由牛頓第三定律，該支座就要承受較大的壓力，這其實就和兩個人一起抬貨物一樣，貨物離哪個人近哪個人就要費力些。
圖3.8
把式（3.9）和式（3.10）應用到例3.4。
當只有集中力F=6kN作用在梁上時：
（3.11）
（3.12）
觀察式（3.12），實際是式（3.8）的第一項。
當只有均布力q=3kN/m作用在梁上時，可先轉換為集中力，對本題來說即FR=12kN：
（3.13）
（3.14）
觀察式（3.14），實際是式（3.8）的第二項。
模型二：如圖3.9（a）所示為一簡支梁上作用一集中力偶的情況。很顯然也有FAx=0。
圖3.9
這是一個平面力偶系的平衡問題，且我們知道，力偶M的位置與支座反力無關。由于力偶的轉向有兩種，所以支座反力也有兩種情況。
當M為順時針轉向時，見圖3.9（b），則
（3.15）
當M為逆時針轉向時，則
（3.16）
把式（3.15）應用到上個例題。
當只有集中力偶M=12kN·m作用在梁上時：
（3.17）
（3.18）
仔細觀察式（3.18），實際是式（3.8）的第三項。
當三種荷載同時作用時，只要把式（3.12）、式（3.14）和式（3.18）相加，同時考慮到方向即可。
特別有意義的是，當把式（3.11）、式（3.13）和式（3.17）相加即
就是FAy。
疊加法是在建筑力學中常用的一種方法，有時它可使問題簡化。
用疊加法求支座反力時，我們可同時得到兩個支座反力，并可通過用∑Fy=0，進行檢驗。若能熟練掌握這種方法，在求解某些問題時可不用列方程，而直接口算出結果。
例3.5 用疊加法計算圖3.10所示的兩支座反力。
圖3.10
所以Fx=0，FAy=20kN（↑），FB=28kN（↑）。
由上面幾個例題的求解過程可知，在利用平衡方程求解單個物體所受約束反力時，一般需解三個方程。為了簡化計算，三個平衡方程的選擇應有一定的順序，選擇平衡方程的原則是應盡量使每個方程只含有一個未知數，避免解聯立方程組。