第四節(jié)　物體系統(tǒng)的平衡問題

在工程中，常會(huì)遇到由若干物體通過一定的約束聯(lián)結(jié)在一起的所謂物體系統(tǒng)的平衡問題。在這些問題中，不僅需要求出物體所受外界的約束反力，而且還常需要求出物體間的相互約束反力。為了求出這些約束反力，研究對(duì)象有時(shí)選單個(gè)物體，有時(shí)須利用第一章公理5的剛化原理，選某個(gè)局部或選整個(gè)物體系。在選單個(gè)物體或某個(gè)局部時(shí)，要注意作用力和反作用的關(guān)系。

若物體系統(tǒng)由n個(gè)物體組成，每一個(gè)物體可列出3個(gè)方程，所以，整個(gè)系統(tǒng)可列3n個(gè)獨(dú)立的方程，由此可解出3n個(gè)未知數(shù)（包括外約束和內(nèi)約束）。

在求解物體系統(tǒng)的平衡問題時(shí)，首先要選擇合適的研究對(duì)象；然后按避免解聯(lián)立方程組的原則，選擇合適的平衡方程求解未知力。下面舉例說明解題方法和步驟。

例3.6　計(jì)算圖3.11（a）所示的支座A、B和D的支座反力。

解：本題屬于多跨靜定梁的問題。

首先選梁CD為研究對(duì)象，畫出隔離體，并分析其受力情況，見圖3.11（b）。

由于荷載為均布荷載，用其合力代替：

其作用點(diǎn)的位置在CD梁的正中間。

由∑F_x=0，得F_Cx=0

由∑M_C（F）=0，得-12kN×2m+F_D×4m=0，F_D=6kN（↑）

由∑F_y=0，得F_Cy+F_D-12kN=0，F_Cy=6kN（↑）

再選梁ABC為研究對(duì)象，畫出隔離體，并分析其受力情況。在畫梁ABC的受力圖時(shí)，注意利用牛頓第三定律把F_Cx、F_Cy反方向加在位置C，見圖3.11（c）。

由∑F_x=0，得F_Ax=0

由∑M_A（F）=0，得

由∑F_y=0，得

當(dāng)然，為了求F_Ax、F_Ay和F_B也可以不選梁ABC為研究對(duì)象，而是選整個(gè)物體系ABCD為研究對(duì)象，見圖3.11（d）。根據(jù)剛化原理，當(dāng)變形體在力系的作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，如果把變形后的變形體換成剛體（剛化），則平衡狀態(tài)保持不變，即整個(gè)多跨梁ABCD可看成一個(gè)通長(zhǎng)為12m的大剛體。這時(shí)F_D已求出，F_D=6kN（↑）。

由∑F_x=0，得F_Ax=0

由∑M_A（F）=0，得

3.1　例題3.6的計(jì)算機(jī)求解

由∑F_y=0，得　

例3.7　已知F=16kN，求圖3.12（a）所示的支座A、B的約束反力。

解：本題屬于三鉸拱的問題。

首先選整個(gè)拱ACB為研究對(duì)象，畫出隔離體，并分析其受力情

況，見圖3.12（b）。

由∑M_A（F）=0，得

由∑F_y=0，得

由∑F_x=0，得

但具體的F_Ax、F_Bx是多少，須另選其他物體為研究對(duì)象，因?yàn)楫?dāng)選整體為研究對(duì)象時(shí)，已經(jīng)列了三個(gè)獨(dú)立的方程，而現(xiàn)在有四個(gè)未知數(shù)。注意到位置C為鉸鏈，對(duì)其求力矩為零這個(gè)條件，就可以解出F_Ax、F_Bx的具體數(shù)值。

選右半拱CB為研究對(duì)象（比選左半拱要簡(jiǎn)單些），畫出隔離體，并分析其受力情況，見圖3.12（c）。

由∑M_C（F）=0，得

再由F_Ax=F_Bx，得

討論：F_Ax、F_Bx通常稱為水平推力，正是因?yàn)橛辛怂攀沟霉暗某休d能力大大提高。