第一節　檢測結果的可信范圍

一組平行測定數據，取平均值表示檢測結果，由于存在系統誤差和隨機誤差，這一檢測結果往往和總體平均值，或真值，或標準物質的標準值有差異。因此，人們很想通過這一檢測結果，準確知道真值是多少。實際上，這一問題目前無法回答，現在只能通過統計學的方法來計算真值的存在范圍。也稱其為檢測結果的可信范圍。此時，有個重要的假定，就是在檢測測試過程中不存在系統誤差。

檢測結果的可信范圍的計算方法如下。

一、雙側可信范圍

雙側可信范圍是指同時存在大于和小于總體平均值的可信范圍。

（1）由一組平行測量數據，按式（2-1）計算平均值。

（2）用式（2-4）或下式計算標準偏差S：

　　（3-1）

（3）選定可信水平1-a。

（4）由表3-1中雙側檢驗欄，查相應的t值，此時自由度為n-1，顯著性水平為a。

（5）由下式計算結果的上限值（xU）及結果的下限值（xL）：

　　（3-2a）

　　（3-2b）

（6）結論：總體平均值（真值）m在xL～xU的范圍內的概率為100（1-a）%，也就是說在100（1-a）%的可信水平下，總體平均值m存在于xL～xU范圍內，即

例3-1　全自動定氮儀測定某飼料樣品中的粗蛋白質含量，平行測定五次，結果如下（%）：13.54，13.45，13.36，13.44，13.48。求：可信水平為95%及99%時，總體平均值的可信范圍。

解：

（1）計算平均值和標準偏差S：

（2）選定可信水平1-a：

①1-a=95%

②1-a=99%

（3）查表3-1：雙側檢驗欄，自由度=n-1=4，

①1-a=95%即a=5%，查得t0=2.776

②1-a=99%即a=1%，查得t0=4.604

（4）計算上限值xU和下限值xL：

①a=5%：

②a=1%：

（5）結論：

①可信水平為95%時，總體平均值的可信范圍為：

②可信水平為99%時，總體平均值的可信范圍為：

說明：

（1）式（3-1）與式（2-4）是數學恒等式，用式（3-1）代替式（2-4）計算標準偏差是為了簡化計算。式（3-1）特別適用于用科學計算器進行計算。標準偏差S（及t值）所取的有效數字的位數應和平均值的有效位數一致，也可先多取一位，但最后表示結果時，仍應與平均值的有效位數一致。

（2）100（1-a）%可信水平，可以理解為：進行100次平行測定時，其中100（1-a）%的平均值是落在xL～xU的范圍內，100（1-a）%值愈大，即要求的可信水平愈高，則計算得的范圍也愈大。在檢測工作中往往選用a=0.05。

（3）測定次數n愈大，則計算得的范圍愈小。應用本方法時，n值至少應等于或大于4。

（4）如果總體標準偏差σ為已知，或通過大量實驗，多次求得的標準偏差基本為恒值，則可將該標準偏差看成為σ。此時，平均值的可信范圍按下式計算：

　　（3-3a）

　　（3-3b）

在選定的可信水平1-a時，u值可由表2-10查得。此時a值可理解為出現大于+u和小于-u的概率（100a%），由于此表為單側檢驗表，故查表時應將選定的a值除以2，查得相應的u值。比較表3-1和表2-10可知，當n為∞時，在相同的可信水平1-a下，t值和u值相同。

例3-2　有一快速檢測方法適用于測定花生樣品中的蛋白質含量，某檢驗檢測機構用此方法對試樣進行了64次平行測定，測得蛋白質含量的平均值為25.10%，總體標準偏差為0.44%，求此平均值的可信范圍（a=0.05）。

解：

①查表2-10：此時為雙側檢驗，故查a/2=0.025相應的u值，查得u=1.960

②根據題意已知：σ=0.44%，n=64

故：

③

④平均值的可信范圍為24.99%～25.21%（a=0.05）。

（5）當測定次數n較小時，亦可用以下簡便方法近似計算平均值的可信范圍：

　　（3-4a）

　　（3-4b）

或用下式計算：

　　（3-5a）

　　（3-5b）

式中，R為一組平行測得的數據中的最大值與最小值之差；a、b為計算平均值可信范圍時的系數。

式（3-4）中的a和式（3-5）中的b可由表3-2查得。

例3-3　用例3-1的數據，計算a=0.05和a=0.01時平均值的可信范圍。

解：

（1）。

（2）查表3-2：a=0.05，n=5時，系數a=1.24，系數b=0.51；

a=0.01，n=5時，系數a=2.06，系數b=0.84。

（3）計算上限值xU和下限值xL：

①用式（3-4a）、式（3-4b）計算：

②用式（3-5a）、式（3-5b）計算：

結論：按式（3-4）算，a=0.05時，平均值的可信范圍是：13.37%～13.54%；

a=0.01時，平均值的可信范圍是：13.32%～13.59%；

按式（3-5）算，當a=0.05時，平均值的可信范圍是：13.36%～13.55%；

當a=0.01時，平均值的可信范圍是：13.30%～13.61%。

用與以上相似的方法，也可以計算在可信水平100r%下，測定次數n中有百分之幾（p%）的次數，它的測定值落在xL～xU的范圍內。計算方法如下：

（1）選定100r%及p%值；

（2）計算及S值；

（3）根據n、r、p值查表3-3中相應的K值；

（4）計算范圍：

　　（3-6a）

　　（3-6b）

例3-4　在64次平行測定中，測得花生蛋白質含量的平均值為25.10%，測定的標準偏差為0.44%。問：欲使0.44%的測定值落在xL～xU范圍內，在可信水平為95%下，xU及xL各為多少？

解：

（1）已知：=25.10%，S=0.44%；

（2）根據題意，已選定γ=0.95，n=64，p=0.90；

（3）查表3-3：n=64≈65，γ=0.95，p=0.90，K=1.943；

（4）按式（3-6a）及式（3-6b）分別計算xU和xL：

結論：在95%的可信水平下，有90%的測定值是落在24.25%～25.95%范圍內。

二、單側可信范圍

單側可信范圍是指總體平均值小于最大值xU或者大于最小值xL的可信范圍。即總體平均值在xU→0或者xL→∞的范圍內的可信水平。計算方法如下：

（1）由一組測定次數為n的平行測定數據，按式（2-1）計算平均值。

（2）用式（2-4）或式（3-1）計算標準偏差S。

（3）選定可信水平1-a。

（4）查表3-1中單側檢驗一欄中自由度為n-1，顯著性水平為a的相應t值（此時應注意，如查表3-1中雙側檢驗欄，則應查顯著性水平為2a一行，自由度為n-1的相應的t值）。

（5）由下式計算總體平均值大于xL的范圍：

　　（3-7a）

或由下式計算總體平均值小于xU的范圍：

　　（3-7b）

（6）結論，總體平均值大于xL的概率為100（1-a）%，或者總體平均值小于xU的概率為100（1-a）%，也可以認為在可信水平為100（1-a）%下，總體平均值大于xL，或小于xU。

例3-5　某一檢驗檢測機構檢測一個飲料樣品中甜蜜素的含量，平行測定8次，得到以下結果（%）：0.923、0.928、0.924、0.929、0.921、0.926、0.920、0.925，求：總體平均值大于何值（或小于何值）的概率為95%？

解：

（1）按式（2-1）和式（3-1）計算和S，得

（2）根據題意：1-a=95%，即a=0.05。

（3）查表3-1：單側檢驗一欄，自由度n-1=7一行，查得ta=1.895。

（4）計算xL及xU：

（5）結論：總體平均值大于0.922%（或小于0.927%）的概率為95%。

說明：

（1）和“雙側可信范圍”中說明（4）一樣，如果總體標準偏差σ為已知，則可用下式計算xL和xU。

　　（3-8a）

　　（3-8b）

此時如選定的可信水平為1-a，則查表2-10中p=1-a相應的up值，up值即為式（3-8）中的u值。

例3-6　在研制某元素的標準物質過程中，為確定該元素的含量，由8個參加測定試驗的檢驗檢測機構共同對組織者提供的同一樣品進行了測定，各機構分別測定10次，總數據為測定80次結果，得到的標準物質樣品中的某元素的平均含量為12.37%，測定的總體標準偏差為0.056%，問：由此而得的總體平均值小于何值的概率為99.9%？

解：

①已知：。

②根據題意要求：1-a=99.9%，即a=0.001。

③查表2-10：100a=0.100，up=3.089。

④計算總體平均值小于xU的范圍：

結論：總體平均值小于12.39%的概率為99.9%。

（2）以上檢驗的方法，都是先選定一個顯著性水平a值，再進行計算，并求得結論。實際上也可以先根據出現差異的大小，再計算出該差異值的概率來作結論。這種用計算概率進行統計檢驗的方法，也適用于其他一些情況。

例3-7　用例3-5的數據，計算總體平均值大于0.923%的概率。

解：

①由例3-5解得=0.9245，S=0.003162，n=8

②根據題意要求：xL=0.923%

則　，即

解上式得：t=1.342

③查表3-1：在自由度為n-1=7的單側檢驗欄中尋找最接近計算得的t值的ta值：

查得：ta=1.415，此值與計算得的t=1.342最為接近，ta=1.415相應的a為0.10，故1-a=0.90。

④結論：由于計算得的t值小于表中查得的t值，說明要求的a值應更大些（從表3-1中可以看出，在一定的自由度下，a值愈大，ta值愈小），即1-a應更小一些，故總體平均值落在0.923%→∞（0范圍的概率約小于90%（接近90%）。