§3　條件概率與貝努利概型

一、條件概率

在實際問題中，有時除了要考慮事件A發生的概率外，還需要考慮在某事件B發生的條件下，事件A發生的概率，將這種概率記為P（A｜B）。

例如，某工廠生產100個產品，其中50個一等品，40個二等品，10個廢品。規定一、二等品都為合格品。從產品中任取一件，設事件A、B分別表示取出的產品為一等品、合格品。則

若任取一件為合格品，求該件為一等品的概率；這實際上是求P（A｜B），由題意知。

因為A?B，故AB=A，則。

從此例看出，一般情況P（A）≠P（A｜B），而

這是在古典概型中用普通概率（即無條件概率）來表示條件概率P（A｜B）的公式。在概率的公理化定義中，也自然將這個公式作為條件概率的定義。

定義3.1　設A，B為兩個事件，若P（B）>0，則稱

為在事件B發生的條件下事件A發生的條件概率。

條件概率P（·｜B）之所以可稱為概率，不難驗證，它滿足概率公理化定義中的三個條件，即

（1）當P（B）>0時，對任一事件A，有P（A｜B）≥0；

（2）當P（B）>0時，P（Ω｜B）=1；

（3）當P（B）>0時，若A1，A2，…是兩兩互斥的事件，則有

既然條件概率滿足上述三個條件，那么概率具有的一些重要性質（§2中所列出的性質）都適用于條件概率。例如，對于任意事件A1和A2，當P（B）>0時，成立等式

P（A1∪A2｜B）=P（A1｜B）+P（A2｜B）-P（A1A2｜B）

【例1】　當擲五枚相同硬幣時，已知至少出現兩個正面的情況下，問正面數剛好是三個的條件概率？

解　設至少出現兩個正面的事件為A，剛好三個正面的事件為B。此時AB=B，則

此時表示擲五枚相同硬幣至多有一個正面的事件，即一個正面或無一個正面。則

【例2】　設A、B為兩個事件，且0<P（A）<1，P（B）>0，P（B｜A）=P（B｜），證明P（AB）=P（A）P（B）。

證　由條件知：

則　　P（AB）［1-P（A）］=P（A）［P（B）-P（AB）］

故　　P（AB）=P（A）P（B）

前面介紹了計算隨機事件和的概率的公式（見概率公理化定義性質5），對于隨機事件積的概率，也有相應的公式：乘法法則。

乘法法則　設A，B為兩事件

（1）若P（A）>0，則有P（AB）=P（B｜A）P（A）；

（2）若P（B）>0，則有P（AB）=P（A｜B）P（B）。

此法則容易推廣到多個事件的積事件的情況。例如，設A，B，C為事件，且P（AB）>0，則

P（ABC）=P（C｜AB）P（B｜A）P（A）

一般，設A1，A2，…，An為n個事件，n≥2，且

P（A1A2…An-1）>0

則　P（A1A2…An）

=P（An｜A1A2…An-1）P（An-1｜A1A2…An-2）…P（A2｜A1）P（A1）

【例3】　市場上供應的燈泡中，甲廠產品占60％，乙廠占40％，甲廠產品的合格率是90％，乙廠的合格率是80％。若用A表示甲廠的產品，B表示產品為合格品，求

（1）已知買到的是甲廠的一個產品，合格率是多少？

（2）買到一個產品是甲廠生產的合格燈泡的概率？

解　（1）這是求條件概率，即P（B｜A）=90％。

（2）這實際是要求出既是甲廠的產品，且又是合格品，即

【例4】　對含有5％廢品的100件產品進行抽樣檢查，整批產品被拒絕接收的條件是在被抽查的5件產品（不放回抽樣）中至少有一件是廢品，試問該批產品被拒收的概率是多少？

解　設Ai表示事件“第i（i=1，2，3，4，5）次被抽查的產品為合格品”，令A=A1A2A3A4A5，則被拒收的概率為，而

P（A）=P（A1A2A3A4A5）

=P（A1）P（A2｜A1）P（A3｜A1A2）P（A4｜A1A2A3）P（A5｜A1A2A3A4）

　　P（A1）=95％，P（A2｜A1）=94/99，P（A3｜A1A2）=93/98

　　P（A4｜A1A2A3）=92/97，P（A5｜A1A2A3A4）=91/96

所以P（A）≈0.77，

二、全概率公式

全概率公式的基本思想是，將一個隨機事件A分成若干個互不相容事件，使每一個事件的概率可以比較容易地用條件概率求得。為此，需要建立樣本空間劃分的概念。

定義3.2　設Ω是隨機試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為E的一組事件，若

（1）BiBj=ф（i≠j；i，j=1，2，…，n）；

（2）P（Bi）>0，i=1，2，…，n；

（3）B1∪B2∪…∪Bn=Ω。

則稱B1，B2，…，Bn是樣本空間Ω的一個劃分。

若B1，B2，…，Bn是樣本空間的一個劃分，那么，對每次試驗，事件B1，B2，…，Bn中必有一個且僅有一個發生。

定理3.1（全概率公式）　設隨機試驗E的樣本空間為Ω，A為E的事件，B1，B2，…，Bn為Ω的一個劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則

P（A）=P（A｜B1）P（B1）+P（A｜B2）P（B2）+…+P（A｜Bn）P（Bn）

證　因為B1∪B2∪…∪Bn=Ω，所以

A=AU=A（B1∪B2∪…∪Bn）=AB1∪AB2∪…∪ABn

又因為BiBj=ф，所以

（ABi）（ABj）=ф　（i≠j；i，j=1，2，…，n）

則　P（A）=P（AB1）+P（AB2）+…+P（ABn）

　　　=P（A｜B1）P（B1）+P（A｜B2）P（B2）+…+P（A｜Bn）P（Bn）

或寫成形式

使用全概率公式計算事件A的概率，必須對試驗的樣本空間作出劃分。劃分Bi（i=1，2，…，n）可以看成是導致事件A發生的所有不同的可能原因或情況。因此，全概率公式說明，事件A發生的概率是事件A在每一種原因或情況下發生的條件概率的加權平均，而權重恰好是P（Bi）（i=1，2，…，n）。

【例5】　某工廠有甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，其產量分別占全廠產量的25％，35％，40％，其次品率分別為5％，4％，2％。從全廠產品中任取一件產品，求取得次品的概率。

解　以A表示事件“取一件產品為次品”，以B1，B2，B3分別表示事件“取得甲、乙、丙車間生產的產品”，很明顯，B1，B2，B3是事件A發生的三種不同情況，故構成該種試驗的樣本空間Ω的一個劃分。于是

全概率公式的一種典型應用是，若前后試驗的結果密切相關，那么前面試驗的全部可能結果就構成了后面試驗的樣本空間的一個劃分。

【例6】　（無放回抽樣，drawing without replacement）

設袋中有r個紅球，s個白球，現有n（n≤r+s）個人，依次隨機地從袋中抽取一個球，每次取出后不放回，令隨機事件

An：第n次取到白球，n≤r+s

顯然，由古典概型可得：。為了求P（A2），需要考慮第一次取球的結果，因此，A1和構成了第二次取球試驗的樣本空間的劃分，由全概率公式有

為了求P（A3），需要考慮前兩次試驗的結果，因此，A1A2，，和就構成了第三次取球試驗的樣本空間的劃分，由乘法法則，得

所以

值得注意的是，依此類推，對于任意的n（n≤r+s），均有，這一結果的內涵表明了抽簽的公平性。顯然，如果作有放回的抽樣，無論抽樣的先后次序，任何時候抽得白球的概率都為。然而本例的結果說明，作無放回抽樣時，抽得白球的概率始終為，與抽樣的先后次序無關。

三、貝葉斯公式

貝葉斯（Bayes）公式也稱為逆概率（inverse probability）公式，它用于根據隨機試驗已經出現的某種結果，反過來推算造成這種結果的各種原因的可能性大小。

定理3.2　設B1，B2，…，Bn為隨機試驗E的樣本空間Ω的一個劃分，A為E的事件，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則

證　由條件概率定義及全概率公式推得

【例7】　設某工廠甲、乙、丙三個車間生產同一種儀表，產量依次占全廠的40％，50％，10％。如果各車間的一級品率依次為90％，80％，98％。現在從待出廠產品中抽查出一個結果為一級品，試判斷它是丙車間生產的概率。

解　設A表示事件“抽查一個產品為一級品”，B1，B2，B3分別表示事件“產品為甲、乙、丙車間生產的”。很明顯，B1，B2，B3構成一個劃分。利用貝葉斯公式

P（Bj）和P（Bj｜A）（j=1，2，…，n）的含意是不同的，前者是在做試驗之前，對樣本空間劃分的每一個事件的概率的估算，故將P（Bj）稱為先驗概率；而后者是在試驗之后，已經有了明確的結果，即事件A發生了，再來推算引起事件A發生的每一種原因，即樣本空間劃分的每一個事件的概率，故將P（Bj｜A）稱為后驗概率。實際上，后驗概率是對先驗概率的一種修正，在應用中，人們往往更加注重后驗概率。

四、隨機事件的獨立性

隨機事件的獨立性是概率論中最重要的概念之一。

在P（B）>0時，條件概率P（A｜B）和概率P（A）一般情況下是不等的，這說明事件B的發生對事件A發生的概率是有影響的。若P（A｜B）>P（A），則表明事件B的發生使事件A發生的可能性增大；反之，若P（A｜B）<P（A），則表明事件B的發生使事件A發生的可能性減小了。

如果P（A｜B）=P（A），那么事件B的發生并不影響事件A發生的概率，此時乘法公式變為

P（AB）=P（A｜B）P（B）=P（A）P（B）

而且 　　

這說明，事件B發生與否對事件A發生的概率都沒有影響。

定義3.3　如果事件A與B滿足關系式

P（AB）=P（A）P（B）

則稱A與B相互獨立（independence），簡稱A與B獨立。

這里并沒有對P（A），P（B）作任何限制。雖然，當P（A）或P（B）等于0時，條件概率沒有定義，而獨立性仍有意義。容易驗證，任何事件A與不可能事件ф或必然事件U都是獨立的。

顯然，若事件A與B相互獨立，且P（A）P（B）>0，則有

P（A｜B）=P（A），P（B｜A）=P（B）

定理3.3　若四對事件A，B；；；中有一對是相互獨立的事件，則另外三對也是相互獨立的事件。

證　不妨設A與B相互獨立，只證與相互獨立：

類似地，可以證明其余結論。

當條件概率有意義時，顯然有下面的結論。

定理3.4　設A，B為兩個事件，且P（B）>0，若A與B相互獨立，則P（A｜B）=P（A），反之亦然。

兩個事件的相互獨立與兩個事件的互不相容，是從兩個不同的角度來刻劃兩個事件之間的關系，因此是完全不同的兩個概念，但是，兩者之間有一定的聯系。當P（A）>0，P（B）>0時，若事件A與事件B相互獨立，那么事件A與B不可能互不相容。其等價論述為：如果兩個具有正概率的事件A與B互不相容，則A與B一定不是獨立的。因為如果事件A與B互不相容而且相互獨立，那么就有0=P（AB）=P（A）P（B），從而P（A），P（B）之一必為0。

下面將獨立性的概念推廣到三個事件的情況。

定義3.4　設A，B，C是三事件，如果成立等式

則稱三事件A，B，C兩兩獨立。

一般，當事件A，B，C兩兩獨立時，不一定成立等式

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

【例8】　設袋中有4個球，一個涂白色，一個涂紅色，一個涂藍色，另一個涂白、紅、藍三種顏色。今從袋中任取一球，設事件A，B，C分別表示“取出的是涂有白色的球”、“取出的是涂有紅色的球”、“取出的是涂有藍色的球”。試證A，B，C兩兩獨立，但P（ABC）≠P（A）P（B）P（C）。

證 　

所以　　P（AB）=P（A）P（B），P（BC）=P（B）P（C）

P（AC）=P（A）P（C）

而　　 　　

定義3.5　設A，B，C是三事件，如果同時成立等式

則稱A，B，C為相互獨立的事件。

一般，設A1，A2，…，An是n個事件，如果對于任意k（1<k≤n），任意1≤i1<i2<…<ik≤n，成立等式

則稱A1，A2，…，An為相互獨立的事件。

n個事件的相互獨立是一種總體上成立的關系，因此要求任取其中的任意大小部分都是獨立的。而n個事件兩兩獨立是一種局部關系，它僅要求任意的兩個事件獨立即可。顯然，n個事件相互獨立可以保證它們是兩兩獨立的，而n個兩兩獨立的事件，并不能保證它們是相互獨立的。

在實際問題中，往往不是根據定義來判斷事件的獨立性，而是根據實際意義給予判斷。

【例9】　設有電路如圖1-4，其中1，2，3，4為繼電器接點。設各繼電器獨立工作，其接點閉合的概率均為p，求L至R為通路的概率。

解　設事件Ai（i=1，2，3，4）為“第i個繼電器接點閉合”。于是“L至R為通路”的事件A的概率為

　P（A）=P（A1A2∪A3A4）=P（A1A2）+P（A3A4）-P（A1A2A3A4）

從實際問題可知，A1，A2，A3，A4是相互獨立的，于是

【例10】　一工人照看三臺相互獨立工作的機床，在一小時內甲、乙、丙三臺機床需工人照看的概率分別是0.9，0.8和0.7，求在一小時中

（1）沒有機床需要照看的概率？

（2）至少有一臺機床不要照看的概率？

（3）至多只有一臺機床需要照看的概率？

解　設Ai分別表示事件“甲、乙、丙機床需要照看”（i=1，2，3）。

（1）甲、乙、丙三臺機床是否要工人照看是相互獨立的。所以，事件A1，A2，A3是相互獨立的，則

（2）設B為事件“至少有一臺機床不需要照看”，那么為事件“每一臺都需要照看”。則

（3）設C為“至多只有一臺機床需要照看”事件，則

將定理3.3的結果推廣到n個相互獨立事件的情況，可以得到下列結果：若隨機事件A1，A2，…，An相互獨立，則其逆事件，，…，也相互獨立。由此可以得到相互獨立事件和的概率的計算公式：

五、貝努利概型

定義3.6　假定隨機試驗只有兩個不同的結果，記作A與，它們出現的概率分別是P（A）=p，，0<p<1，則這樣的隨機試驗稱為參數為p的貝努利（Bernoulli）試驗。獨立重復地做n次參數為p的貝努利試驗，這樣的隨機試驗序列稱為n次貝努利隨機試驗序列，簡稱貝努利試驗序列（或二項隨機試驗序列）。

貝努利隨機試驗序列是在討論頻率與概率的關系時提出來的，人們關注的是，在n次貝努利隨機試驗序列中事件A所發生的累計次數，這就是貝努利概型。貝努利概型是一種重要而常見的概型，在實際問題中有著廣泛的應用。

定理3.5（二項概率公式）　設事件A在一次試驗中發生的概率為p，則在n次貝努利試驗序列中事件A恰好發生k次的概率為

證　首先，事件A在指定的某k次試驗中發生，而在其余的（n-k）次試驗中不發生的概率等于pk（1-p）n-k。另外，在n次試驗中，事件A被指定某k次發生的方法為種。顯然，所指定的某k次事件A發生與另一種某k次事件A發生是互斥的，由概率的可加性推得

由于恰好是二項式（p+q）n=［p+（1-p）］n展開式中出現pk的一項（k=0，1，2，…，n），所以上述公式稱為二項概率公式。

【例11】　一批產品的廢品率為0.2，每次抽取1個，觀察后放回去，下次再任取1個，共重復3次，求3次中恰有兩次取到廢品的概率。

解　這可看成3重貝努利試驗，廢品發生記為事件A，即P（A）=0.2。則

【例12】　一大批電器元件的一級品率為0.8，現任取8件檢驗，求至少有兩件一級品的概率。

解　由于這批元件的總數很大，且抽取的元件的數量相對于元件的總數較少，這種不放回抽樣可作為放回抽樣處理，造成的誤差不大。所以，此題可看成8重貝努利試驗。

設“至少有兩件一級品”為事件A，那么表示事件“無一件一級品”或“恰有一件一級品”，則