習題一

1.設A，B，C表示三個事件，利用A，B，C表示下列事件：

（1）A出現，B，C都不出現；

（2）A，B都出現，C不出現；

（3）三個事件都出現；

（4）三個事件中至少有一個出現；

（5）不多于一個事件出現；

（6）三個事件都不出現；

（7）不多于兩個事件出現；

（8）三個事件中至少有兩個出現。

2.下面兩式分別表示A，B兩個事件之間有什么關系？

（1）A∩B=A；（2）A∪B=A。

3.設U={1，2，…，10}，A={2，3，4}，B={3，4，5}，C={5，6，7}。具體寫出下列各式表示的集合：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。

4.設一個工人生產了4個零件，又Ai表示事件“他生產的第i個零件是正品”（i=1，2，3，4）。試用Ai表示下列各事件：

（1）沒有一個產品是次品；

（2）至少有一個產品是次品；

（3）只有一個產品是次品；

（4）至少有三個產品不是次品。

5.設A，B，C表示三個事件，指出下列各題中哪些成立，哪些不成立。

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）若A?B則A=AB；（6）若AB=Φ和C?A，則BC=Φ；（7）若B?A，則A∪B=A。

6.從一批由45件正品、5件次品組成的產品中任取3件產品，求其中恰有1件次品的概率。

7.一口袋中有5個紅球及2個白球。從這袋中任取一球，看過它的顏色后就放回袋中，然后再從袋中任取一球，設每次取球時口袋中各個球被取得的可能性相同，求

（1）第一次、第二次都取得紅球的概率；

（2）第一次取得紅球、第二次取得白球的概率；

（3）兩次取得的球為紅、白各一的概率；

（4）第二次取得紅球的概率。

8.從0，1，2，3四個數字中任取三個進行排列，求“取得的三個數字排成的數是三位數且是偶數”的概率。

9.問某宿舍的4個學生中至少有2個人的生日是在同一個月的概率是多少？

10.某城市有50％住戶訂日報，有65％住戶訂晚報，有85％住戶至少訂這兩種報紙中的一種，求同時訂這兩種報紙的住戶的百分比。

11.對于任意三個事件A，B，C，證明

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）

12.設A，B，C是三事件，且，P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=，求

（1）A，B，C至少有一個發生的概率；

（2）A，B，C都不發生的概率。

13.在電話號碼簿中任取一個電話號碼，求后面四個數全不相同的概率（設后面四個數中的每一個數都是等可能地取自0，1，…，9）。

14.兩封信隨機地投入四個郵筒，求前兩個郵筒內沒有信的概率以及第一個郵筒內只有一封信的概率。

15.設一個口袋中有四個紅球及三個白球。從這口袋中任取一個球后，不放回去，再從口袋中任取一個球。設A=“第一次取得白球”，B=“第二次取得紅球”，求P（B）及P（B｜A）。

16.一批零件共100個，次品率為10％。每次從其中任取一個零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率。

17.在一個盒子中裝有15個乒乓球，其中有9個新球，在第一次比賽時任取3個球，賽后放回盒中，在第二次比賽時同樣地任取出3個球，求第二次取出的3個球均為新球的概率。

18.設甲袋中有三個紅球及一個白球，乙袋中有四個紅球及兩個白球，從甲袋中任取一個球（不看顏色）放到乙袋中后，再從乙袋中任取一球。用全概率公式求最后取得紅球的概率。

19.兩臺車床加工同樣的零件，第一臺加工后的廢品率為0.03，第二臺加工后的廢品率為0.02。加工出來的零件放在一起，已知這批加工后的零件中由第一臺車床加工的占。求從這批零件中任取一件得到合格品的概率。

20.發報臺分別以0.6和0.4發出信號“·”和“-”，由于通訊系統的干擾，當發出信號“·”時，收報臺分別以概率0.8和0.2收到“·”和“-”；同樣，當發報臺發出信號“-”時，收報臺分別以概率0.9和0.1收到信號“-”和“·”，求

（1）收報臺收到信號“·”的概率；

（2）當收報臺收到信號“·”時，發報臺確是發出信號“·”的概率。

21.為了防止意外，在礦內同時設有兩個報警系統A與B，每個系統單獨使用時，其有效的概率系統A為0.92，系統B為0.93，在A失靈的條件下，B有效的概率為0.85，求

（1）發生意外時，這兩個報警系統至少有一個有效的概率；

（2）B失靈的條件下，A有效的概率。

22.10個考簽中有4個難簽。3人參加抽簽考試，不重復地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后，證明3人抽到難簽的概率相等。

23.三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/4，1/3。問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？

24.設甲、乙、丙三人同時各自獨立地對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7。飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機必定擊落。求飛機被擊落的概率。

25.設三臺機器相互獨立地運轉著，第一臺、第二臺、第三臺機器不發生故障的概率依次為0.9，0.8，0.7。求這三臺機器全不發生故障及它們中至少有一臺發生故障的概率。

26.對以往數據分析結果表明，當機器調整得良好時，產品的合格率為90％，而當機器發生某一故障時，其合格率為30％，每天早上機器開動時，機器調整良好的概率為75％。試求已知某日早上第一件產品是合格品時，機器調整得良好的概率是多少？

27.設每次射擊命中率為0.2，問至少必須進行多少次獨立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9？

28.設電燈泡的耐用時數為1000小時以上的概率為0.2，求三個電燈泡在使用1000小時以后最多只有一個損壞的概率，設這三個電燈泡是相互獨立地使用的。

29.現有外包裝完全相同的優、良、中3個等級的產品，其數量完全相同，每次取一件，有放回地連續取3次，計算下列各事件的概率：A=“3件都是優質品”；B=“3件都是同一等級”；C=“3件等級全不相同”；D=“3件等級不全相同”；E=“3件中無優質品”；F=“3件中既無優質品也無中級品”；G=“無優質品或無中級品”。

30.某牌燈泡使用到1000小時的概率為0.8，使用到1500小時的概率為0.3，現有該牌燈泡已使用了1000小時，求該燈泡能使用1500小時的概率。

31.設A，B，C是三個相互獨立的事件，且0<P（A）<1，試證與C相互獨立。

32.假設一家生產的每臺儀器以概率0.70可以直接出廠，以概率0.30需進一步調試，經調試后，以概率0.80可以出廠，以概率0.2定為不合格不能出廠，現該廠生產了n（n≥2）臺儀器（假設每臺儀器的生產過程相互獨立），求

（1）全部能出廠的概率α；

（2）其中恰有兩臺不能出廠的概率β；

（3）其中至少有兩臺不能出廠的概率θ。