§2　頻率與概率

隨機事件在一次試驗中是否發生是不確定的，人們常常希望知道某些事件在一次試驗中發生的可能性究竟有多大，并希望用一個數來表示事件在一次試驗中發生的可能性大小。為此首先引入頻率，它描述了事件發生的頻繁程度，進而引出表征事件在一次試驗中發生的可能性大小的數——概率。

一、頻率

定義2.1　在相同的條件下，做n次重復試驗，若事件A發生了m次，則稱比值m/n為這n次試驗中事件A發生的頻率，記為fn（A），即。

易證，頻率具有下列基本性質。

（1）對任一事件A有0≤fn（A）≤1。

（2）fn（Ω）=1，fn（ф）=0。

（3）若A1，A2，…，Ak是兩兩互斥的事件，則

由于事件A發生的頻率是它發生的次數與試驗次數之比，其大小表示A發生的頻繁程度，頻率越大，事件A發生越頻繁，這就意味著A在一次試驗中發生的可能性愈大，直觀的想法是用頻率來表示A在一次試驗中發生的可能性大小。但是否能用頻率作為概率的定義呢？請看下面具體事例。

歷史上有人作過成千上萬次擲硬幣的試驗，表1-1列出了他們的試驗記錄。

由上述數據可以看出：

（1）頻率隨著擲硬幣次數n的變化而不同，還可用試驗說明對于相同的擲硬幣次數n，頻率也具有隨機波動性；

（2）擲硬幣次數n較小時，頻率隨機波動的幅度較大，但隨著n的增大，頻率呈現出穩定性，即當n逐漸增大時，頻率總是在數0.5附近擺動，而逐漸穩定于0.5。

由此可以看出，當n較小時用頻率來表達事件發生的可能性的大小顯然是不合適的，而當n逐漸增大時，頻率逐漸穩定于某一個常數。對于每一個隨機事件A都有這樣一個客觀存在的常數與之對應。這種“頻率穩定性”就是通常所說的統計規律性，它不斷地為人們的實踐所證實，它揭示了隱藏在隨機現象中的規律性。用這個頻率的穩定值來表示事件發生的可能性大小是合適的。

二、概率的古典定義

概率的古典定義源自于概率的古典模型，這種模型的核心思想來自于對只包含有限個等可能基本事件的隨機試驗的研究。這種隨機試驗是人們最早注意到的一類隨機現象，它與排列、組合問題有著密切的聯系。

如果隨機試驗，具有如下兩個特征：

（1）試驗的樣本空間的基本事件只有有限個；

（2）試驗中每個基本事件發生的可能性相同。

具有這兩個特征的隨機試驗所對應的數學模型稱為古典概型（或稱等可能概型）。

定義2.2　在古典概型中，如果基本事件的總數為n，事件A包含m個基本事件，則稱為事件A的概率，記為。

關于概率論的產生，目前公認的是始于17世紀，帕斯卡爾（B.Pascal）與費爾馬（P.de Fermat）在來往信件中關于擲骰子游戲中的數學問題的討論。此后，經多位數學家的工作，概率論的內容得到了不斷的豐富，到了1812年，法國數學家拉普拉斯（P.S.Laplace）完成了他的集大成之作《Théorie analytique des probabilities》。在該著作中，拉普拉斯提出了概率的上述定義。現在將此定義稱為概率的古典定義，因為它只適用于古典概型。

【例1】　號碼鎖上有6個撥盤，每個撥盤上有0～9共10個數字，當這6個撥盤上的數字組成原確定打開號碼鎖的6位數時（第一位可以是0），鎖才能打開，如果不知道鎖的號碼，一次就把鎖打開的概率是多少？

解　原確定打開號碼鎖的六位數字只有一個，設A表示“一次就把鎖打開”事件，由題知，號碼鎖所有可能組成的六位號碼共有106個。因此

這說明一次就把鎖打開的可能性只為百萬分之一，因此，在不知鎖號碼的情況下，一次就把鎖打開幾乎是不可能的。

【例2】　設一口袋中有m件產品，其中有k件正品，m-k件次品。現從中一次任意取出n（n≤m）件產品，問其中恰有j（j≤k）件正品的概率。

解　從m件產品中任取n件，所有可能的取法共有種，即基本事件總數為。在k件正品中任取j件，所有可能的取法為種；其余n-j件只能從m-k件次品中取出，所有可能的取法為種。于是，所求事件A的概率為

定理2.1　古典概率具有下列性質：

（1）對任意事件A，有0≤P（A）≤1。

（2）P（Ω）=1，P（ф）=0。

（3）如果事件A與B互斥，則

P（A∪B）=P（A）+P（B）

證　性質（1）、（2）顯然。

對于性質（3），設樣本空間共有n個基本事件，事件A中包含m1個，事件B中包含m2個，已知AB=ф，則A∪B中包含m1+m2個兩兩互斥的基本事件，因而

利用數學歸納法可證：若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

此性質稱為概率的有限可加性。

由性質（3）可證，，即。

【例3】　將一枚硬幣拋擲三次。

（1）設事件A1為“恰有一次出現正面”，求P（A1）。

（2）設事件A2為“至多有一次出現正面”，求P（A2）。

（3）設事件A3為“至少有一次出現正面”，求P（A3）。

解　（1）一枚硬幣拋擲三次，所有可能的結果為23=8。“恰有一次出現正面”，可能只是第一次出現正面，可能只是第二次出現正面，可能只是第三次出現正面。所有可能為3種，因而

（2）“至多有一次出現正面”意味著“三次無一次正面”或“三次恰有一次正面”，因而

（3）“至少有一次出現正面”與“無一次出現正面”為對立事件，則

【例4】　產品放在一箱內，其中正品46件，廢品4件，從箱中取產品兩次，每次隨機地取一件。考慮兩種取產品方式：第一次取一件觀察結果后放回箱中，攪勻后再取一件，這種取產品方式叫做有放回抽樣；第一次取一件不放回箱中，第二次從剩余的產品中再取一件，這種取產品方式叫做不放回抽樣。試分別就上面兩種情況，求

（1）取到的兩件產品都是正品的概率；

（2）取到的兩件產品為同質量的概率；

（3）取到的兩件產品中至少有一件是正品的概率。

解　設A，B，C分別表示事件“取到的兩件都是正品”、“取到的兩件都是廢品”、“取到兩件中至少有一件是正品”。易知，“取到的兩件為同質量”事件為A∪B，而。

有放回抽樣的情況：

（1）

（2）

且AB=ф，所以　　P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.8528

（3）

不放回抽樣的情況：

（1）

（2）

又AB=ф，所以　　P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.8498

（3）

【例5】　設有n個球，每個都能以同樣的概率落到N個盒子（N≥n）的每一個盒子中（設盒子的容量不限），試求：

（1）每個盒子至多有一個球的概率p1；

（2）某指定的n個盒子中各有一個球的概率p2；

（3）任何n個盒子中各有一個球的概率p3。

解　對于每一個球，它可落入N個盒子中的任一個，因而它有N種落入法，于是n個球落入N個盒子中共有種落入法。

（1）每個盒子至多有一個球，于是第一個球有N種落入法，第二個球有N-1種落入法，類似地做下去，可知放法共有N（N-1）…［N-（n-1）］種，則

（2）已指定n個盒子中各有一個球的落入法共有n（n-1）…3·2·1=n！種，則

（3）任何n個盒子中各有一個球，完成這件事需分兩步。首先從N個盒子任取n個盒子，這有種方法；再把n個球放入某指定的n個盒子中（每盒放入一球），這有n！種方法，則

三、幾何概率

當隨機試驗樣本空間中的基本事件個數為無窮多個時，便產生了一種新的概率模型。

如果隨機試驗具有下列兩個特征：

（1）隨機試驗樣本空間中的基本事件有無窮多個；

（2）每一個基本事件在樣本空間中是“均勻分布”的。

具有這樣兩個特征的隨機試驗所對應的數學模型稱為幾何概型。

在幾何概型中，對樣本空間及其子集的度量，是采用幾何的手段。直觀地說，在一維空間是區間長度，二維空間是區域面積，三維空間是區域體積……。空集的幾何度量為零。需要特別指出的是，“基本事件在樣本空間中是均勻分布的”具體含意是：由樣本點構成的子集所對應的隨機事件發生的可能性大小與子集的幾何度量結果成正比，而與該子集的幾何形狀及其在樣本空間中的位置無關。

定義2.3　在幾何概型中，以L（Ω）和L（A）分別表示樣本空間和隨機事件A所對應的子集的幾何度量值，則稱為事件A的概率，記作

【例6】　（會面問題）兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就可離去，試求這兩人能會面的概率。

解　以x，y分別表示兩人到達的時刻，則會面的充要條件為｜x-y｜≤20。這是一個幾何概率問題，可能的結果全體是邊長為60的正方形里的點，能會面的點的區域用陰影標出（如圖1-2），所求概率為。

【例7】　在線段AD上任取兩點B，C，在B，C處折斷而得三個線段，求“這三個線段能構成三角形”的概率。

解　設A表示事件“三個線段能構成三角形”，三個線段的長度分別為x，y，z，線段AD長度為a，則有

x+y+z=a

x>0，y>0，z>0，a>0

把x，y，z看成空間點的坐標，則所有基本事件可用平面x+y+z=a在第一卦限內的部分上△PQR上的所有點表示。要使三條線段構成三角形，需滿足條件

0<x<y+z，0<y<x+z，0<z<x+y

滿足上述三個不等式點的集合為平面x+y+z=a上△PQR的三邊中點連線所構成的△EFG上的所有點組成（如圖1-3所示）。則

四、概率的公理化定義

兩個互斥事件的和的概率等于這兩個事件的概率之和，是古典概率與幾何概率的一條核心性質，概率的公理化模型就是將這一性質加以推廣。與古典概型和幾何概型不同，在公理化模型中，所涉及的隨機試驗，不再局限于基本事件的總數有限、基本事件具有等可能性或在樣本空間中均勻分布、樣本空間及其子集具有幾何度量值。

定義2.4　設E是隨機試驗，Ω是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個實數，記為P（A），稱P（A）為事件A的概率，如果它滿足下列三個條件：

（1）對于每一個事件A，有0≤P（A）≤1；

（2）P（Ω）=1；

（3）若A1，A2，…，An，…是兩兩互斥的事件，即對于i≠j，AiAj=ф，i，j=1，2，…，則有

并稱此為概率的可列可加性。

顯然，概率的古典定義和幾何定義是公理化定義的特殊情形。

由概率的公理化定義可以推得概率的一些重要性質。

性質1　P（ф）=0

證　　　　　　　　　Ω=Ω∪ф∪ф∪…

由條件（3）知　　　　　　P（Ω）=P（Ω）+P（ф）+P（ф）+…

又P（Ω）=1，故　　　　　1=1+P（ф）+P（ф）+…

所以　　　　　　　　　　　0=P（ф）+P（ф）+…

由條件（1）知　　　　　　P（ф）≥0

所以　　　　　　　　　　P（ф）=0

性質2　如果A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

證　在條件（3）中，令An+1=An+2=…=ф，并利用性質1推得

此性質也稱為概率的有限可加性。

性質3　對任一事件A，成立等式

證　因為，且，由性質2知

性質4　（減法公式）若A?B，則　　P（B-A）=P（B）-P（A）

證　因為當A?B時，B=A∪（B-A），且A（B-A）=ф，由性質2知

P（B）=P（A）+P（B-A）

即　　P（B-A）=P（B）-P（A）

推論　若A?B，則P（A）≤P（B）。

性質5（加法公式）　設A，B為任意兩個事件，則有

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）

證　因為A∪B=A∪（B-AB），且A（B-AB）=ф，AB?B，由可加性和性質4知

P（A∪B）=P（A）+P（B-AB）=P（A）+P（B）-P（AB）

推論　P（A∪B）≤P（A）+P（B）

性質5還可推廣到多個事件的情況，例如，設A1，A2，A3為任意三個事件，則有

P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1A2）

　　　　　　　-P（A1A3）-P（A2A3）+P（A1A2A3）

一般，對于任意n個事件A1，A2，…，An，可以用歸納法證得

【例8】　設，，在下列三種情況下求的值。

（1）A與B互斥；

（2）A?B；

（3）。

解　（1）由于AB=ф，故，則，因此

（2）當A?B時

（3）當時，因為，又AB?B，則

【例9】　在1～2000的整數中隨機地取一個數，問取到的整數不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？

解　設A為事件“取到的數能被6整除”，B為事件“取到的數能被8整除”，則所求概率為

由于 　　

所以 　　

又因為一個數同時能被6與8整除，就相當于能被24整除，由于

故 　　

于是所求概率為