§1　隨機事件及樣本空間

一、隨機事件及其有關概念

為了揭示隨機現象的規律性，如前所述，需要做有下面三個特點的試驗。

（1）在相同的條件下可以重復地進行；

（2）每次試驗的結果不止一個，但試驗的所有可能結果預先是明確的；

（3）每次試驗之前不能預先確定哪一種結果會出現。

這種試驗稱之為隨機試驗（random experiment），簡稱試驗，記作E。

上面提到的投擲一枚硬幣，觀察哪一面朝上的試驗；擲一顆正六面體的骰子，觀察出現的點數的試驗都是隨機試驗。又如

E1：記錄電話交換臺一分鐘內接到的呼喚次數；

E2：將一枚硬幣拋三次，觀察“幣值”面朝上的次數；

E3：擲兩顆骰子，觀察其出現的點數之和。

這些試驗都具有隨機試驗的三個特點。今后，通過隨機試驗來研究隨機現象。

隨機試驗的每一個可能結果，稱為基本事件（simple event），通常用小寫的希臘字母ω表示。在隨機試驗中，可能發生也可能不發生，而在大量試驗中呈現統計規律性的事件統稱為隨機事件，簡稱事件?；臼录请S機事件中最簡單的一類，由基本事件復合而成的事件稱為復合事件。在每次隨機試驗中，一個復合事件發生，當且僅當構成該復合事件的任一基本事件發生。如擲一顆骰子的試驗中，其出現的點數，“1點”、“2點”……“6點”都是基本事件。出現偶數點，它是由出現“2點”或“4點”或“6點”三個基本事件組成的，這是個復合事件。

在每次試驗中必然發生的事件稱為必然事件，用字母Ω表示；必然不發生的事件稱為不可能事件，用符號ф表示。如擲一顆骰子，出現的點數“大于或等于1而小于或等于6”，這是必然事件，而出現的點數“等于7”，這是不可能事件。應當指出，必然事件或不可能事件都具有確定性，但為了今后研究的方便，仍將這兩種事件看成特殊的隨機事件。

二、隨機事件的關系及其運算

在隨機現象的研究中，需要考慮不同隨機事件之間的相互關系，以及用相對簡單的隨機事件來表示復雜的隨機事件。例如，檢驗某種圓柱形構件產品的外形尺寸。如果規定只有它的長度與直徑都合格時才能成為合格品，那么“產品合格”與“直徑合格”、“長度合格”這三個事件之間有著密切的關系。因此，有必要討論事件之間的相互關系與運算。

（1）如果事件A發生必導致事件B發生，則稱事件B包含事件A，記為A?B或B?A。例如，“直徑不合格”?“產品不合格”。

若A?B且B?A，則稱事件A與事件B相等，記為A=B。

對任一事件A，規定ф?A。顯然，A?Ω。

（2）兩事件A與B至少有一個發生所構成的事件稱為事件A與B的和事件，記為A∪B。例如，“直徑不合格”∪“長度不合格”=“產品不合格”。

類似地，n個事件A1，A2，…，An中至少有一個發生所構成的事件稱為這n個事件的和事件，記為A1∪A2∪…∪An，簡記為。同樣，表示事件組“A1，A2，…，An，…”中至少有一個發生所構成的事件。

（3）兩個事件A與B同時發生所構成的事件稱為事件A與B的積事件，記為A∩B或AB。例如，“直徑合格”∩“長度合格”=“產品合格”。

事件組A1，A2，…，An同時發生，記為。事件組A1，A2，…，An，…同時發生，記為。

（4）如果事件A與B不能同時發生，即AB=ф，則稱事件A與B互斥（或互不相容）。例如，“直徑不合格”與“產品合格”互斥。

（5）如果事件A和B滿足A∪B=Ω且AB=ф，則稱事件A與B互為逆事件，又稱事件A與事件B互為對立事件。記為或。例如，“直徑合格”與“直徑不合格”互為逆事件。換言之，事件A與事件B互為對立事件，指的是在每次試驗中，事件A，B中必有一個發生，且僅有一個發生。

（6）由事件A發生而事件B不發生所構成的事件稱為事件A與事件B的差事件，記為A-B。例如，“直徑合格”-“長度不合格”=“產品合格”。

顯然，。。

設A，B，C表示事件，隨機事件之間的上述關系與運算具有如下幾條性質。

（1）若A?B，B?C，則A?C。

（2）A∪B=B∪A。

（3）（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）。

（4）（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C）；A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）。

（5），若A?B，則。

（6）；。

上述性質的證明都很容易，下邊只證對偶性質，其余留給讀者做練習。

按照事件相等的定義，若發生，則A∪B不發生，即A與B均不發生，換言之，發生且發生，亦即發生，于是。同理可證。所以。

三、樣本空間

為了使概率論建立在嚴密的理論基礎上，須引進樣本空間的概念。

隨機試驗E的所有可能結果，即基本事件全體組成的集合稱為試驗E的樣本空間，記作Ω。樣本空間的每一個元素，即每一個基本事件，稱為樣本空間的樣本點。

例如，在前面列舉的E1中，若用ei表示電話總機在一分鐘內接到i次呼喚，則E1的樣本空間為Ω1={e0，e1，e2，…，en，…}；在E2中，若用i表示“幣值”面朝上的次數，則E2的樣本空間為Ω2={0，1，2，3}；在E3中，若用i表示擲兩顆骰子出現的點數之和，則E3的樣本空間為Ω3={2，3，4，5，6，…，12}。

樣本空間的元素是由試驗目的確定的，例如，擲兩顆骰子，觀察一點朝上的個數i，此時，樣本空間Ω={i｜i=0，1，2}。這與E3的樣本點的意義不同，樣本空間也不同。

樣本空間是概率論最基本的一個概念，它把事件與集合聯系起來，用集合表示事件；由一個樣本點組成的單點集就是基本事件，試驗E的樣本空間Ω的子集為E的隨機事件。在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時，稱這一事件發生。于是事件間的關系和運算就可以用集合論的知識來解釋。

隨機事件之間的關系與運算可以表示為一個示意圖，稱為隨機事件的Venn圖（Venn diagram）。在Venn圖中，用平面上的矩形表示樣本空間（即必然事件），矩形內的任一子區域表示一個隨機事件，如圖1-1所示，圖中的兩個圓形表示事件A和事件B。

【例1】　從一批產品中每次取出一個產品進行檢驗（每次取出的產品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i=1，2，3）。試用事件的運算符號表示下列事件：三次都取到了合格品；三次中至少有一次取到合格品；三次中恰有兩次取到合格品；三次中最多有一次取到合格品；三次中不多于兩次取到合格品。

解　三次都取到了合格品：A1A2A3；

三次中至少有一次取到了合格品：A1∪A2∪A3；

三次中恰有兩次取到合格品：；

三次中最多有一次取到合格品：；

三次中都不多于兩次取到合格品：。