§4　隨機變量函數的分布

學習了隨機變量及其分布，可以幫助人們解決許多實際問題。但是，在工作實踐中，還常常遇到用隨機變量函數的分布才能解決的問題。例如：圓的直徑X是隨機變量，需要研究圓面積S=πX2/4的概率分布問題；又如：商品的價格X、成本Y都是隨機變量，需要研究盈利Z=X-Y的概率分布，等等。下邊介紹隨機變量的函數及其概率分布。

一、一維隨機變量的函數及其分布

設X是一維隨機變量，y=g（x）是連續實函數，則Y=g（X）也是一維隨機變量。稱g（X）為隨機變量X的函數。下面，討論如何從X的分布導出Y=g（X）的分布。

1.離散型的情形

設X的分布律為

P{X=xi}=pi　（i=1，2，…，n，…）

y=g（x）為連續實函數，則Y=g（X）的分布律可按下述方法求得：

P{g（X）=g（xi）}=pi　（i=1，2，…，n，…）　　（4.1）

若函數值g（x1），g（x2），…，g（xn），…均不相同，則（4.1）即為Y=g（X）的分布律。

若函數值g（x1），g（x2），…，g（xn），…有些相同，相同的只寫一個，對應概率相加，其余的照抄，即可得到Y=g（X）的分布律。

下邊舉例說明。

【例1】　設X的分布律為P{X=i}=1/3，（i=1，2，3），求（1）Y=X2-1的分布律；（2）的分布律。

解　（1）Y=X2-1的分布律為

P{Y=i2-1}=1/3（i=1，2，3）

或用表格形式表示

（2），

　　 因i=1和i=3時 　　

　　i=2時 　　

故的分布律為

或用表格形式表示

2.連續型情形

設X為一維連續型隨機變量，其概率密度為f（x），y=g（x）為連續實函數，可求得隨機變量函數Y=g（X）的概率分布，下邊舉例說明。

【例2】　設隨機變量X有分布函數FX（x），隨機變量Y=aX+b（a≠0）。這是兩個隨機變量之間的一種最簡單也是最常用的函數關系，稱為線性函數關系。令FY（y）表示隨機變量Y的分布函數，則

FY（y）=P{Y≤y}=P{aX+b≤y}=P{aX≤y-b}

　　 當a>0時　　 　　

　　 當a<0時　　

其中表示X的分布函數FX（x）在點處左極限。當X為連續型隨機變量時，由FX（x）的連續性可知，。此時有

由此可得，對連續型隨機變量，若X有密度函數fX（x），令fY（y）表示Y的密度函數，根據密度函數與分布函數之間的關系，有

【例3】　設X～N（0，1），求Y=X2的密度函數。

解　FY（y）=P{Y≤y}=P{X2≤y}

當y<0時　　FY（y）=0

當y≥0時

故

例3的方法具有代表性。求隨機變量函數Y=g（X）的分布，往往先求Y的分布函數FY（y），其關鍵一步是解不等式“g（X）≤y”得到與之等價的X的變化范圍，并以后者代替“g（X）≤y”。如例3中當y≥0時以“”代替“X2≤y”。一般來說，都可以用這樣的方法求連續型隨機變量函數的分布函數和密度函數。

當y=g（x）為單調函數，且g'（x）≠0，x=φ（y）為y=g（x）的反函數時，則Y=g（X）的密度函數為

　　 （4.2） 　　

其中　　α=min{g（-∞），g（+∞）}

β=max{g（-∞），g（+∞）}

下邊舉例說明。

【例4】　設X～N（μ，σ2），求Y=aX+b（a≠0）的密度函數。

解　y=ax+b是單調函數，y'=a≠0，。由式（4.2）可得

即　　Y=aX+b～N（aμ+b，a2σ2）

上述結果說明：若X～N（μ，σ2），則X的線性函數Y=aX+b（a≠0）仍服從正態分布，且Y～N（aμ+b，a2σ2）。

當，時，。上述結果化為：若X～N（μ，σ2），則。這又一次說明了，為什么可以用變換把一般正態分布化為標準正態分布的道理。

二、二維隨機變量的函數及其分布

設（X，Y）是二維隨機變量，z=g（x，y）是二元連續實函數，則Z=g（X，Y）也是隨機變量。下邊介紹由（X，Y）的分布導出Z=g（X，Y）的分布的方法。

1.離散型的情形

設（X，Y）的聯合分布律P{X=xi，Y=yj}=pij（i=1，2，…；j=1，2，…），則Z=g（X，Y）的分布律可用下述方法求得：

P{Z=g（xi，yj）}=pij（i=1，2，…；j=1，2，…）　　（4.3）

當函數值g（xi，yj）（i=1，2，…；j=1，2，…）均不相同時，式（4.3）即為Z=g（X，Y）的分布律。

當函數值g（xi，yj）（i=1，2，…；j=1，2，…）中有相同值時，相同值只寫一個，對應概率相加，其余不變，即可得到Z=g（X，Y）的分布律。

下邊舉例說明。

【例5】　設X，Y相互獨立且服從同一分布，其分布律為P{X=i}=1/3（i=1，2，3）。求（1）Z=X+Y的分布律；（2）Z=max{X，Y}的分布律；（3）Z=min{X，Y}的分布律。

解　由已知條件（X，Y）的聯合分布律為

（1）Z=X+Y的分布律

類似可求得

P{Z=5}=2/9，　P{Z=6}=1/9

或用表格形式表示：

（2）Z=max{X，Y}的分配律

類似可求出　　P{Z=3}=5/9

或用表格形式表示

（3）用類似于（2）的方法可求得Z=min{X，Y}的分布律

【例6】　若X1，X2，…，Xn獨立且服從同一分布，其分布律為

P{X=k}=pk（1-p）1-k　（k=0，1；0<p<1）

試證：服從二項分布B（n，p）。

注　本例的結論說明，n個相互獨立的參數為p的（0—1）分布之和，是參數為n與p的二項分布B（n，p）。

證　用數學歸納法證明。

當n=2時，則Z=X1+X2的分布律為

即　　X1+X2～B（2，p）

假設n=m時結論正確，即成立。

當n=m+1時

故 　　

對于二項分布，如果X1，X2，…，Xn獨立，且Xi～B（ki，p）（i=1，2，…，n），則可用數學歸納法證明。

對于泊松分布，也有類似結果：

若X1，X2，…，Xn獨立，且Xi～P（λi）（i=1，2，…，n），則也可用數學歸納法證明。

2.連續型的情形

設（X，Y）為二維連續型隨機變量，f（x，y）為（X，Y）的聯合密度，z=g（x，y）為二元連續實函數，則Z=g（X，Y）的密度函數常常用下述方法求得：

先求Z的分布函數FZ（z）=P{g（X，Y）≤z}，則Z的密度函數fZ（z）=。［在fZ（z）的連續點處］

（1）Z=X+Y的分布

令y=v-x，則

所以 　　

　　 （4.4） 　　

當X，Y獨立時

　　 （4.5） 　　

用類似的方法可得：

　　 （4.6） 　　

式（4.5）、式（4.6）稱為卷積公式。

注　關于二維離散型隨機變量也有類似的結果。

設（X，Y）為二維離散型隨機變量，X與Y獨立。

P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}·P{Y=yj}（i，j=1，2，3，…）

令Z=X+Y，Z的取值也是離散型的

Z=zk=xi+yj　（i，j，k=1，2，…）

　　 （4.7） 　　

同理也有

　　 （4.8） 　　

另外，X-Y的分布可轉化成X+（-Y），詳細討論從略。

【例7】　設X與Y相互獨立，且均服從標準正態分布，求Z=X+Y的密度函數。

解　因X，Y獨立，且

由式（4.6）可得

令　，則

即　X+Y～N（0，2）。

此例說明，兩個相互獨立的均服從標準正態分布的隨機變量之和的分布仍為正態分布。這個結論還可以推廣到更一般的情形：若X1，X2，…，Xn相互獨立且分別服從（i=1，2，…，n），則。可用數學歸納法證明。

【例8】　設X，Y相互獨立，均服從區間［1，3］上的均勻分布，求Z=X+Y的密度函數。

解　由式（2.2）可知

又因X，Y獨立，由式（4.6）可知

要使fX（x）fY（z-x）≠0，當且僅當

　　 （圖2-9） 　　

當z-1<1或z-3≥3，即z<2或z≥6時

fX（x）fY（z-x）=0

fZ（z）=0

當1≤z-1<3，即2≤z<4時

當1≤z-3<3，即4≤z<6時

總之

（2）距離分布（的分布）

【例9】　設X，Y相互獨立，均服從正態分布N（0，σ2），求的密度函數。

　　解　　　

當z<0時，，故

FZ（z）=0

當z≥0時

而　fZ（z）=F'（z），所以

（3）max（X，Y）與min（X，Y）的分布

設　M=max（X，Y），N=min（X，Y）

　　 則 　　 　　 （4.9）

　　 （4.10） 　　

當X，Y相互獨立時

FM（z）=FX（z）FY（z）　　（4.11）

　　 （4.12） 　　

此結論可推廣到一般的情形：

若X1，X2，…，Xn相互獨立，其分布函數分別為F1（x），F2（x），…，Fn（x），則

Z=max（X1，X2，…，Xn）的分布函數為

FZ（z）=F1（z）·F2（z）…Fn（z）　　（4.13）

Z=min（X1，X2，…，Xn）的分布函數為

FZ（z）=1-［1-F1（z）］·［1-F2（z）］…［1-Fn（z）］　　（4.14）

【例10】　設系統L由相互獨立的兩個子系統L1，L2連接而成，聯接的方式分別為（1）串聯；（2）并聯；（3）備用（當系統L1損壞時，系統L2開始工作），如圖2-10所示，設L1，L2的壽命分別為X，Y，已知它們的密度函數分別為試分別就以上三種聯接方式求出系統L的壽命Z的密度。

解　（1）串聯　L1與L2有一個損壞，則整個系統L就不能正常工作。故L的壽命

Z=min（X，Y）

又因X，Y獨立，由式（4.11）知

FZ（z）=FX（z）+FY（z）-FX（z）FY（z）

由已知條件可得

故 　　

（2）并聯　L1，L2只要有一個不損壞，整個系統L就能正常工作。故L的壽命

Z=max{X，Y}

又因X，Y獨立，由式（4.10）知

FZ（z）=FX（z）·FY（z）

所以　　

（3）備用L的壽命　　Z=X+Y

由式（4.6）知：

當z≤0時，fX（x）fY（z-x）=0，故　　fZ（z）=0

當z>0時

　　 總之 　　

（4）二維聯合密度函數的變量代換公式

從前面例子可以看出，在求隨機向量（X，Y）的函數Z=g（X，Y）的分布時，關鍵是設法將其轉化為（X，Y）在一定范圍內取值的形式，從而利用已知的分布求出Z=g（X，Y）的分布。

若每一個問題都這樣求，是很麻煩的。下面我們介紹一個用來求隨機向量（X，Y）的函數的分布的定理。對二維情形，表述如下。

定理4.1　設（X1，X2）是具有密度函數f（x1，x2）的連續型二維隨機變量。

①設Y1=g1（X1，X2），Y2=g2（X1，X2）是R2到自身的一對一的映射，即存在定義在該變換的值域上的逆變換X1=h1（Y1，Y2），X2=h2（Y1，Y2）；

②假定變換和它的逆都是連續的；

③假定偏導數?hi/?yj，i=1，2，j=1，2存在且連續；

④假定逆變換的雅可比行列式

則Y1，Y2具有聯合密度

w（y1，y2）=f（h1（y1，y2），h2（y1，y2））｜J｜　　（4.15）

【例11】　設（X1，X2）具有密度函數f（x1，x2），令Y1=X1+X2，Y2=X1-X2。試用f表示Y1和Y2的聯合密度函數。

解　令y1=x1+x2，y2=x1-x2，則逆變換為

故由式（4.15），所求密度函數為

有時，我們所求的只是一個函數Y1=g1（X1，X2）的分布。一個辦法是：引入另一個函數Y2=g2（X1，X2），使（X1，X2）到（Y1，Y2）成一一對應變換。根據定理4.1，由式（4.14）得到（Y1，Y2）的聯合密度函數w（y1，y2）=f（h1（y1，y2），h2（y1，y2））｜J｜，最后，Y1的密度函數由對w（y1，y2）求邊緣密度得到

下面我們通過求來說明。

令Y=Y，它們構成（x，y）到（y，z）的一對一的變換，逆變換為：x=yz，y=y，雅可比行列式為

按式（4.15）得Y和Z的聯合密度為w（y，z）=f（yz，y）｜y｜，根據邊緣密度的公式可得

特別，當X與Y獨立時，因為f（x，y）=fX（x）·fY（y），所以有

　　 （4.16） 　　

【例12】　設隨機變量X，Y相互獨立，分別有概率密度函數

試求的概率密度函數。

解　將fX（x）與fY（y）的表達式代入式（4.15），有

　　 當z>0時 　

當z≤0時　　fZ（z）=0

所以