§3　二維隨機(jī)變量及其分布

在實(shí)際問題中，有很多隨機(jī)現(xiàn)象往往需要引進(jìn)兩個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)變量來描述。為此，有必要研究多維隨機(jī)變量及其分布。本節(jié)主要介紹二維隨機(jī)變量及其分布。

一、二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布

要考查一個(gè)圓柱形工件尺寸是否合格，需要考查徑向尺寸X與軸向尺寸Y，X與Y都是隨機(jī)變量，要考查圓柱形工件尺寸的合格率就需要研究二維隨機(jī)變量及其概率分布。

定義3.1　設(shè)Ω為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，X，Y是定義在Ω上的一對有序的隨機(jī)變量，則稱（X，Y）為二維隨機(jī)變量。

對于任意一對實(shí)數(shù)x，y，稱二元函數(shù)

F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}（3.1）

為（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)（joint distribution function），簡稱為（X，Y）的分布函數(shù)。

（X，Y）的分布函數(shù)F（x，y）實(shí)際上是（X，Y）取值落在區(qū)域G={（x，y）｜-∞<X≤x，-∞<Y≤y}內(nèi)的概率。如圖2-5（左）所示。

由圖2-5（右）可知

P{a<X≤b，c<Y≤d}=F（b，d）-F（b，c）-F（a，d）+F（a，c）　　（3.2）

二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)有下列性質(zhì)：

（1）0≤F（x，y）≤1；

（2）F（x，y）對于x，y都是單調(diào)不減的；

（3）F（-∞，y）=F（x，-∞）=F（-∞，-∞）=0，

F（+∞，+∞）=1；　　（3.3）

（4）F（x，y）對于x，y均右連續(xù)；

（5）對于任意的x1，x2，y1，y2，且x1≤x2，y1≤y2，均有

P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}=F（x2，y2）-F（x2，y1）-F（x1，y2）+F（x1，y1）≥0成立。

前4條性質(zhì)與一維隨機(jī)變量分布函數(shù)性質(zhì)相似，性質(zhì)（5）由概率的非負(fù)性和F（x，y）的單調(diào)性可知是正確的。

1.二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布

定義3.2　如果二維隨機(jī)變量（X，Y）中的X與Y分別都是離散型隨機(jī)變量，即（X，Y）可能的取值為有限對或可列無限對，則稱（X，Y）為二維離散型隨機(jī)變量。稱隨機(jī)事件{X=xi，Y=yj}（即事件{X=xi}∩{Y=yj}）的概率P{X=xi，Y=yj}=pij（i，j=1，2，…）為（X，Y）的聯(lián)合分布律或聯(lián)合分布（joint distribution）。

聯(lián)合分布率常用下面表格形式表達(dá)

（X，Y）的聯(lián)合分布律有下列性質(zhì)：

（1）0≤pij≤1（i=1，2，…，m，…；j=1，2，…，n，…）；

（2）；

（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為

　　 （3.4） 　　

其中和號是對滿足條件“xi≤x且yj≤y”的所有pij求和。

【例1】　一個(gè)口袋里裝有三個(gè)球，分別標(biāo)有號碼1，1，2，從中先后任取兩個(gè)球，第一次取出球的標(biāo)號為X，第二次取出球的標(biāo)號為Y，求（X，Y）的聯(lián)合分布律。

解　（1）（不放回抽樣）由概率的乘法公式可得（X，Y）的聯(lián)合分布律：

或用表格形式

表示。

（2）（放回抽樣）由概率的乘法公式可得（X，Y）的聯(lián)合分布律為

2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布

定義3.3　若二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)F（x，y）對任意x，y有

　　 （3.5） 　　

其中f（x，y）≥0。則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f（x，y）為（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)，簡稱聯(lián)合密度。

（X，Y）的聯(lián)合密度具有下列性質(zhì)：

（1）f（x，y）≥0；

（2）；

（3）在f（x，y）的連續(xù)點(diǎn)處，有

（4）若G是xOy平面上的任一區(qū)域，則

　　 （3.6） 　　

凡滿足前兩條性質(zhì)的函數(shù)f（x，y）均可作為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度。

【例2】　設(shè)（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為

求（1）（X，Y）的分布函數(shù)；（2）求P{0<X<1，X<Y<1}。

解　（1）

當(dāng)x≤0或y≤0時(shí)，f（s，t）=0

故　　F（x，y）=0

當(dāng)x>0，0<y≤x時(shí)

（積分限的確定如圖2-6所示）

當(dāng)x>0，y>x時(shí)，

（積分限的確定如圖2-7所示）

（2）

幾種常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量的分布：

（1）均勻分布　若（X，Y）的聯(lián)合密度為

　　 （3.7） 　　

式中，G為xOy平面上的有界區(qū)域；s為區(qū)域G的面積。則稱（X，Y）服從區(qū)域G上的均勻分布。

（2）二維正態(tài)分布　若（X，Y）的聯(lián)合密度為

　　 （3.8） 　　

其中　μ1，μ2，σ1，σ2，ρ均為實(shí)常數(shù)，且σ1>0，σ2>0，-1<ρ<1（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞）。

則稱（X，Y）服從二維正態(tài)分布。記為

對于二維隨機(jī)變量的討論可以推廣到n（n>2）維隨機(jī)變量的情形。

設(shè)X1，X2，…，Xn是建立在隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Ω上的一組n個(gè)有序隨機(jī)變量，則稱（X1，X2，…，Xn）為n維隨機(jī)變量（或n維隨機(jī)向量）。對于任意的（x1，x2，…，xn）∈Rn，稱F（x1，x2，…，xn）=P{X1≤x1，X2≤x2，…，Xn≤xn}為（X1，X2，…，Xn）的聯(lián)合分布函數(shù)（或簡稱分布函數(shù)）。它具有類似于二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)。

二、邊緣分布與*條件分布

1.邊緣分布

二維隨機(jī)變量（X，Y）中的X和Y都是隨機(jī)變量，它們各有自己的分布函數(shù)FX（x），FY（y），而（X，Y）又有聯(lián)合分布函數(shù)F（x，y），它們之間既有區(qū)別，又有聯(lián)系。為了深入研究，于是引入邊緣分布的概念。

定義3.4　設(shè)F（x，y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，則稱

為（X，Y）關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)（marginal distribution function）。同理，稱

　　 （3.9） 　　

為（X，Y）關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。

對于離散型的情形，（X，Y）的兩個(gè)邊緣分布函數(shù)分別為

（X，Y）的兩個(gè)邊緣分布律分別為

　　 （3.10） 　　

對于連續(xù)型的情形，（X，Y）關(guān)于X，Y的兩個(gè)邊緣分布函數(shù)分別為

（X，Y）的兩個(gè)邊緣密度函數(shù)分別為

　　 （3.11） 　　

【例3】　設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布律為

求（X，Y）的邊緣分布律。

解　（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣分布律分別為：

邊緣分布律與聯(lián)合分布律可用同一表格表示，如例3可表示為

一般情形如下表所示

【例4】　設(shè)（X，Y）的聯(lián)合密度為

求（1）常數(shù)C；（2）fX（x），fY（y）。

解　（1）由f（x，y）的性質(zhì)（2）可知

即，故C=6。

（2）

當(dāng)x<0時(shí)，f（x，y）=0，因而fX（x）=0；

當(dāng)x≥0時(shí)，0；

故 　　

同理可得

【例5】　設(shè)（X，Y）在區(qū)域G內(nèi)服從均勻分布，其中G由y=x，所圍成（如圖2-8所示），求邊緣概率密度fX（x），fY（y）。

解　G的面積

所以

同理

【例6】　設(shè)，求fX（x），fY（y）。

解　由式（3.11）知

由式（3.8）知

　　 令 　　

　　 則 

　　 　　同理可得 　　

由上述結(jié)果可知：（X，Y）關(guān)于X的邊緣分布為，關(guān)于Y的邊緣分布為，它們都與ρ無關(guān)。由聯(lián)合分布可唯一確定邊緣分布。反過來，一般由邊緣分布不能確定聯(lián)合分布。

*2.條件分布

由條件概率很自然地引出條件分布。

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為

pij=P{X=xi，Y=yj}　（i，j=1，2，…）

（X，Y）關(guān)于X和Y的邊緣分布律分別為

設(shè)pi·>0，p·j>0，我們考慮在事件“Y=yj”發(fā)生條件下事件“X=xi”發(fā)生的概率。也就是要研究P{X=xi｜Y=yj}。

令　　A={X=xi}，B={Y=yj}

因　　P（A）=pi·>0，P（B）=p·j>0

由條件概率定義

　　 即 　　 　　 （3.12）

同理可得

　　 （3.13） 　　

不難驗(yàn)證

（1）P{X=xi｜Y=yj}≥0；

（2）。

于是我們引出下列定義：

定義3.5　設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量，對于固定的j，若P{Y=yj}>0，則稱

為在Y=yj條件下隨機(jī)變量X的條件分布律。

同樣，對于固定的i，若P{X=xi}>0，則稱

為在X=xi條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律。

值得指出的是式（3.12）和式（3.13）可分別改作

P{X=xi，Y=yj}=P{Y=yj}·P{X=xi｜Y=yj}

P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}·P{Y=yj｜X=xi}

這兩個(gè)式子與事件概率的乘法公式是十分相似的。

【例7】　一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為p（0<p<1），射擊到擊中目標(biāo)兩次為止。設(shè)X表示第一次擊中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)，Y表示射擊的總次數(shù)，試求（X，Y）的聯(lián)合分布律及條件分布律。

解　設(shè)第一次擊中目標(biāo)為第m次，總的射擊次數(shù)為n次，則

當(dāng)m=1，2，…時(shí)

當(dāng)n=2，3，…時(shí)

【例8】　設(shè)袋中有白球3個(gè)，黑球3個(gè)，紅球2個(gè)。現(xiàn)從中任取2球，其中白球與紅球的個(gè)數(shù)分別記作X與Y，求（1）P{X+Y=1}；（2）Y=1條件下，隨機(jī)變量X的條件分布。

解　由古典概型可得（X，Y）的聯(lián)合分布律

這是二維超幾何分布，其分布律的表格形式如下

（1）

（2）

設(shè)（X，Y）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量。這時(shí)，由于對任意的x，y都有P{X=x}=0，P{Y=y}=0，因此就不能用條件概率公式引入條件分布了。下面，用極限的方法來處理。

給定y，設(shè)對于任意給定的正數(shù)ε，P{y-ε<Y≤y+ε}>0，于是對于任意實(shí)數(shù)x有

上式給出了在條件y-ε<Y≤y+ε下X的條件分布函數(shù)。現(xiàn)在我們引入以下定義。

定義3.6　給定y，設(shè)對于任意給定的正數(shù)ε，P{y-ε<Y≤y+ε}>0。若極限

存在，則稱此極限為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù)。記為

FX｜Y（x｜y）　或　P{X≤x｜Y=y}

設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y），聯(lián)合密度為f（x，y），而f（x，y）在點(diǎn)（x，y）處連續(xù)，邊緣密度函數(shù)fY（y）連續(xù)，且fY（y）>0，則有

　　 即 　　 　　 （3.14）

若記fX｜Y（x｜y）為在條件Y=y下X的條件概率密度，則由上式知

　　 （3.15） 　　

同理可推出，若f（x，y）在（x，y）處連續(xù)，fX（x）連續(xù)且fX（x）>0，則

　　 （3.16） 　　

　　 （3.17） 　　

【例9】　設(shè)（X，Y）在區(qū)域G：{（x，y）/0≤x<1，且內(nèi)服從均勻分布，求fY｜X（y｜x）；fX｜Y（x｜y）。

　　解　由例5可知 　

由式（3.15）、式（3.17）可得，

當(dāng)0<x<1時(shí)

當(dāng)0<y<1時(shí)

【例10】　設(shè)，求fX｜Y（x｜y）；fY｜X（y｜x）。

解　由例6知

又由式（3.15）、式（3.17）可得

由此可知，二維正態(tài)分布的條件分布仍為正態(tài)分布。

三、隨機(jī)變量的獨(dú)立性

由隨機(jī)事件的獨(dú)立性不難引出隨機(jī)變量的獨(dú)立性。設(shè)F（x，y），FX（x），FY（y）分別為（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，{X≤x}為隨機(jī)事件A，{Y≤y}為隨機(jī)事件B。若隨機(jī)事件A，B獨(dú)立，則

P（AB）=P（A）P（B）

即　　P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}·P{Y≤y}

也就是　　F（x，y）=FX（x）FY（y）

從而，我們可以引入兩個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的定義。

定義3.7　設(shè)F（x，y），FX（x），FY（y）分別是（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)x和y都有

F（x，y）=FX（x）FY（y）　　（3.18）

則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，簡稱獨(dú)立。

前邊已經(jīng)講過，由（X，Y）的兩個(gè)邊緣分布一般不能確定（X，Y）的聯(lián)合分布。但是，當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)，（X，Y）的聯(lián)合分布可由其邊緣分布唯一確定

F（x，y）=FX（x）FY（y）

隨機(jī)變量的獨(dú)立性有如下等價(jià)形式：

（1）若（X，Y）是離散型隨機(jī)變量，X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是，對（X，Y）所有可能取值（xi，yj）都有

P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}·P{Y=yj}

（2）若（X，Y）是連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是，在f（x，y）的連續(xù)點(diǎn)（x，y）處都有

f（x，y）=fX（x）fY（y）

下邊的定理以后常常用到。

定理3.1　若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，g1（x）與g2（x）是任意兩個(gè)連續(xù)函數(shù)，則g1（X）與g2（Y）也相互獨(dú)立。

【例11】　設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立且具有二維分布律：

試求a，b的值。

解

P1·=P{X=1}=1/8+a，　P2·=P{X=2}=3/8+b

P·1=P{Y=3}=1/8+3/8=1/2，　P·2=P{Y=4}=a+b

又因X，Y相互獨(dú)立，所以p11=p1·p·1，即

又，所以

【例12】　已知（X，Y）服從區(qū)域上的均勻分布，求關(guān)于X和Y的邊緣分布密度，并判定X和Y是否獨(dú)立？

解　由式（3.7）知，（X，Y）的聯(lián)合密度為

因　f（x，y）≠fX（x）fY（y）如在處，故X，Y不獨(dú)立。

【例13】　若（X，Y）服從二維正態(tài)分布。試證：X，Y相互獨(dú)立的充分必要條件是ρ=0。

證明　由例6知

若X與Y獨(dú)立，則f（x，y）=fX（x）fY（y）對任意x與y均成立，在（μ1，μ2）點(diǎn)當(dāng)然也成立。即

所以，故ρ=0。

若ρ=0，顯然有f（x，y）=fX（x）fY（y）恒成立。故X與Y獨(dú)立。

隨機(jī)變量的獨(dú)立性可以推廣到n（n>2）個(gè)隨機(jī)變量的情形。即若n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn均定義在同一樣本空間Ω上，對任一組實(shí)數(shù)（x1，x2，…，xn）∈Rn，均有

P{X1≤x1，X2≤x2，…，Xn≤xn}=P{X1≤x1}P{X2≤x2}…P{Xn≤xn}

即 　　

則稱X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立，簡稱獨(dú)立。

n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn獨(dú)立的含義是隨機(jī)向量（X1，X2，…，Xn）的聯(lián)合分布函數(shù)是各個(gè)Xi的邊緣分布函數(shù)的乘積。

特別地，當(dāng)（X1，X2，…，Xn）是連續(xù)型隨機(jī)向量時(shí)，則n個(gè)隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn獨(dú)立的充要條件是：隨機(jī)向量（X1，X2，…，Xn）的聯(lián)合分布密度是各個(gè)Xi的邊緣分布密度的乘積，即

下面闡述隨機(jī)向量間的獨(dú)立性概念。

設(shè)兩個(gè)隨機(jī)向量（X1，X2，…，Xn）與（Y1，Y2，…，Ym），若對任意的實(shí)數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym，隨機(jī)事件{X1≤x1，…，Xn≤xn}與隨機(jī)事件{Y1≤Y1，…，Ym≤ym}總是獨(dú)立的，即

P{X1≤x1，…，Xn≤xn，Y1≤y1，…，Ym≤ym}

　　　　　=P{X1≤x1，…，Xn≤xn}·P{Y1≤y1，…，Ym≤ym}　　（3.19）

用聯(lián)合分布函數(shù)可表作：

　　 （3.20） 　　

則稱（X1，X2，…，Xn）與（Y1，Y2，…，Yn）相互獨(dú)立，簡稱獨(dú)立。

關(guān)于隨機(jī)向量間的獨(dú)立性，以后會(huì)常用到以下結(jié)論。設(shè)（X1，X2，…，Xm）和（Y1，Y2，…，Yn）相互獨(dú)立，則Xi（i=1，2，…，m）和Yj（j=1，2，…，n）相互獨(dú)立，又若h，g是連續(xù)函數(shù)，則h（X1，X2，…，Xm）和g（Y1，Y2，…，Yn）相互獨(dú)立。