§2　連續型隨機變量及其分布

一、連續型隨機變量

在實際問題中，存在著與離散型隨機變量取值形式不同的另外一類隨機變量，它們可以在整個實數軸，或實數軸的區間上取值。因此，這類隨機變量的概率分布規律，就不可能用離散型隨機變量的概率分布律來描述。

定義2.1　設F（x）是隨機變量X的分布函數，若對任意的實數x，存在f（x）≥0，使

　　 （2.1） 　　

則稱X為連續型隨機變量，稱f（x）為X的密度函數（也稱為分布密度或概率密度），并稱X的分布為連續型分布。

密度函數具有下列性質：

（1）f（x）≥0　（-∞<x<+∞）；

（2）；

（3）；

（4）若f（x）在x處連續，則

F'（x）=f（x）

由性質（2）知，介于曲線y=f（x）與x軸之間的面積為1。如圖2-1所示。

注　凡滿足性質（1）、（2）的函數都可作為某個連續型隨機變量的密度函數。

（5）連續型隨機變量X取任一指定實數值a的概率都等于0。即

P{X=a}=0

證明　任給Δx>0，有

0≤P{X=a}≤P{a-Δx<X≤a}=F（a）-F（a-Δx）

由F（x）的連續性可知 　　

故　　0≤P{X=a}≤0

因而　　P{X=a}=0

由此可知，對于連續型隨機變量X，求其落在某一區間的概率時，無論區間是開的、閉的或半開半閉的，其概率值均相等。即

（6）若f（x）在x處連續，連續型隨機變量X在x附近取值的概率，利用微積分中的微元法可表作

P（x<X≤x+dx）≈f（x）dx

【例1】　若f（x）=Ae-｜x｜（-∞<x<+∞）為某個連續型隨機變量X的密度函數，求

（1）常數A；

（2）X的分布函數；

（3）。

解?。?）由，有，得。

（2）當x<0時

當x≥0時

總之

（3）

二、幾種常用的連續型隨機變量的分布

1.均勻分布

若X的密度函數為

　　 （2.2） 　　

則稱X服從區間［a，b］上的均勻分布（uniform distribution），記作X～U［a，b］。X的分布函數為

　　 （2.3） 　　

均勻分布的密度函數f（x）與分布函數圖形如圖2-2所示。

對于［a，b］的任一子區間［c，d］有

這說明X落在［a，b］中的任一子區間的概率與該子區間的長度成正比，而與該子區間在［a，b］中的具體位置無關，即X在［a，b］中的取值具有等可能性。所以，均勻分布是連續情形下的等可能概率模型。

【例2】　公共汽車每10分鐘一趟，每位乘客在任意時刻到達汽車站的可能性相同，求乘客候車時間X的密度函數和分布函數。

解　由已知條件可知，乘客候車時間X∈［0，10］。

當x<0時，P（X≤x）=P（ф）=0

當0≤x<10時，P（X≤x）=P（0≤X≤x），由幾何概型知

當x≥10時，P（X≤x）=P（Ω）=1

所以X的分布函數

X的密度函數

注1　實際上，由于乘客到達汽車站的時刻具有等可能性，而公共汽車每10分鐘一趟，所以，乘客的候車時間X服從區間［0，10］上的均勻分布。

注2　在0和10處分別取右、左極限。

【例3】　設X服從區間［1，6］上的均勻分布，求方程x2+Xx+1=0有實根的概率。

解　由已知條件可得X的密度函數為

x2+Xx+1=0有實根?Δ=X2-4≥0?｜X｜≥2?X≥2或X≤-2

即方程x2+Xx+1=0有實根的概率為4/5。

2.指數分布

若X的密度函數為

　　 （2.4） 　　

則稱X服從參數為λ的指數分布，記作X～E（λ）。其分布函數為

　　 （2.5） 　　

指數分布常用于描述設備或元器件的壽命，需要指出的是，由于指數分布具有無記憶性，而實際中的元件壽命絕不會是無記憶的，所以，指數分布只能粗略近似地描述壽命問題。盡管如此，指數分布還是為壽命問題的討論提供了一個簡單而完整的數學模型，因此它是可靠性領域中最基本、最常用的分布。

【例4】　一種電子元件的失效時間T服從的指數分布，問該電子元件至少能工作5小時的概率。

解　失效時間T的分布密度函數

若T≥5，元件至少能工作5小時。

所以　　

3.正態分布

若X的密度函數為

　　 （2.6） 　　

則稱X服從參數為μ，σ的正態分布。記為X～N（μ，σ2）。當μ=0，σ=1時，則稱X服從標準正態分布，記為N（0，1）。

正態分布也稱為高斯（Gauss）分布、誤差分布。這是因為正態分布是高斯在研究誤差分布時所得到的。測量誤差服從正態分布。在數理統計中，正態分布也有極其廣泛的應用。下邊，我們對正態分布作進一步介紹。

正態分布的密度函數f（x）滿足密度函數的兩條性質：

性質（1）f（x）≥0顯然成立。性質（2）證明如下

令，則上式變為

因為，所以。

y=f（x）的圖形關于直線x=μ對稱，且在x=μ時，f（x）達到最大值；在（-∞，μ）內y=f（x）單調增加，在（μ，+∞）內y=f（x）單調減少；在區間（μ-σ，μ+σ）內，y=f（x）的圖形是凸的，在（-∞，μ-σ）與（μ+σ，+∞）內，曲線y=f（x）都是凹的；μ-σ與μ+σ是曲線y=f（x）的兩個拐點。對于標準正態分布，曲線y=f（x）關于y軸對稱。

如果固定μ，改變σ，則當σ較大時，y=f（x）的圖形矮、胖；當σ較小時，y=f（x）的圖形高、瘦。如果σ固定，μ改變，y=f（x）的圖沿x軸平行移動，而不改變形狀，如圖2-3所示。

在概率論的發展史上，人們通過對大量事實的研究發現，如果一個隨機變量的取值受到大量彼此獨立而且作用微小的隨機因素的共同作用，這些隨機因素中沒有一種因素起顯著作用，那么，這個隨機變量就服從正態分布。例如測量誤差，各種質量指標（如產品的厚度，強度等）的測量值都可認為是服從正態分布。這一結論將在第四章的中心極限定理中給予理論上的解釋。

有關參數為μ，σ的正態分布N（μ，σ2）的計算，可以歸結為標準正態分布N（0，1）的計算。

定理2.1　若隨機變量X～N（μ，σ2），則服從標準正態分布N（0，1）。

證明　計算的分布函數

令，則

即X*的密度函數為，故X*～N（0，1）。

人們習慣將標準正態隨機變量的密度函數與分布函數分別記作φ（x）和Φ（x），即

圖形如圖2-4所示。

對于Φ（x），鑒于被積函數為偶函數，不難推出如下結果：

為了便于計算，構造了函數Φ（x）的數值表，由于Φ（4）≥0.9999，所以數值表中自變量的取值范圍是（0，3.9），Φ（x）的數值表見本書附表。

【例5】　設X～N（0，1），計算（1）P{X<-1.23}；（2）P{X>1.23}；

（3）P{｜X｜<1.23}；（4）P{｜X｜>1.23}。

解　（1）P{X<-1.23}=1-Φ（1.23）=1-0.8907=0.1093

（2）P{X>1.23}=1-Φ（1.23）=0.1093

【例6】　設X～N（-1，4），計算（1）P{X≤1.23}；（2）P{X<-1.23}；（3）P{｜X｜<1.23}。

解　因為X～N（-1，4），所以。

（1）

查Φ（x）數值表可得Φ（1.11）=0.8665，Φ（1.12）=0.8686利用線性插值

【例7】　設X～N（μ，σ2），求P{｜X-μ｜≤kσ}的值（k=1，2，3）。

　　解　　　

查標準正態分布表得：

當k=1時，P{｜X-μ｜≤kσ}=0.6826；

當k=2時，P{｜X-μ｜≤kσ}=0.9544；

當k=3時，P{｜X-μ｜≤kσ}=0.9974。

由上述結果可知，當X～N（μ，σ2）時，X落在區間［μ-3σ，μ+3σ］上的概率為0.9974，幾乎是必然的，而X落在該區間外的概率為0.0026，幾乎是不可能的。正因為如此，工程技術中常常把X落在［μ-3σ，μ+3σ］外的情況忽略不計。這就是數據處理中常用的3σ準則。

【例8】　設X～N（160，σ2），若X落在區間（120，200）之間的概率不小于0.8，則允許σ最大為多少？

　　解 　

即　。查附表1得Φ（1.28）=0.9

所以　　σ≤31.25

要滿足題中條件，允許σ最大為31.25。

【例9】　軸的長度X～N（10，0.01），如果軸的長度在（10-0.2，10+0.2）范圍內算合格。今有四根軸，求（1）恰有三根軸長度合格的概率；（2）至少有三根軸長度合格的概率。

解　軸的長度X合格，即X應滿足

10-0.2<X<10+0.2

查附表1得

P{10-0.2<X<10+0.2}=0.9544

（1）恰有三根軸長度合格的概率為

（2）至少有三根軸長度合格的概率為

【例10】　若X～N（2，σ2），且P{2<X≤4}=0.3，求P{X<0}。

解　由于參數為μ，σ2的正態分布的密度函數關于X=μ對稱，則對任意實數x>0，有

P{μ<X≤μ+x}=P{μ-x≤X<μ}

　　 據此