§1　離散型隨機(jī)變量及其分布

一、離散型隨機(jī)變量

在n次貝努利隨機(jī)試驗(yàn)序列中，將事件A所發(fā)生的累計(jì)次數(shù)記作X，那么X的取值依賴于n次貝努利隨機(jī)試驗(yàn)序列的結(jié)果ω（基本事件）。需要指出的是，這里所謂的“基本事件ω”是指，完整地獨(dú)立重復(fù)做完n次貝努利隨機(jī)試驗(yàn)以后得到的結(jié)果，所以，X是ω的函數(shù)：X=X（ω），在不至于混淆的情況下，簡(jiǎn)記作X。

n次貝努利隨機(jī)試驗(yàn)序列的樣本空間：Ω={ω：0，1，2，3，…，n}，X=X（ω）的取值可以定義為：0，1，2，3，…，n。像這種依賴于隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果取不同值的變量，稱之為隨機(jī)變量。

隨機(jī)變量是概率論中最重要的基本概念之一，其描述性定義可作如下表述。

定義1.1　設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間是Ω，如果對(duì)每一個(gè)ω∈Ω，都有唯一確定的實(shí)數(shù)X（ω）與之對(duì)應(yīng)，這種定義在樣本空間上的單值實(shí)值函數(shù)X=X（ω），稱為隨機(jī)變量（random variable）。

隨機(jī)變量的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義是測(cè)度論中的可測(cè)函數(shù)，因此，隨機(jī)變量與微積分理論中的函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別。在微積分理論中，依賴于自變量的函數(shù)的取值是百分之百確定的；概率論中的隨機(jī)變量，是定義在樣本空間上的函數(shù)，其取值依賴于隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，由于隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的發(fā)生具有一定的概率，所以，隨機(jī)變量的取值也具有一定的概率。

定義1.2　如果隨機(jī)變量X的全部可能取值的個(gè)數(shù)，或者有限，或者可列無(wú)窮多個(gè)，則隨機(jī)變量X稱為離散型隨機(jī)變量（discrete random variable）。

【例1】　n次貝努利隨機(jī)試驗(yàn)序列中，隨機(jī)變量X表示事件A發(fā)生的累計(jì)次數(shù)，X全部可能取值：0，1，2，3，…，n。這里的隨機(jī)變量X就是取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量。

【例2】　設(shè)隨機(jī)變量X表示，在某段時(shí)間內(nèi)，服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)臺(tái)接到要求服務(wù)的次數(shù)，X全部可能取值：0，1，2，3，…，n，…。這種隨機(jī)變量就是取可列無(wú)窮多個(gè)值的離散型隨機(jī)變量。

實(shí)際上，許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身就是一個(gè)數(shù)，例如射手打靶命中的環(huán)數(shù)；開車出行時(shí)遇到紅燈的次數(shù)。而也有一些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果并不是數(shù)，例如產(chǎn)品檢驗(yàn)，其結(jié)果為“合格品”與“廢品”，但可以為每一個(gè)結(jié)果賦予一個(gè)數(shù)值，例如令X=1表示結(jié)果為“合格品”，X=0表示結(jié)果為“廢品”。所以，隨機(jī)變量的不同取值可以表示隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果（即基本事件），由基本事件構(gòu)成的一般隨機(jī)事件就可以用隨機(jī)變量的某種取值形式來(lái)表示。

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布律

設(shè)隨機(jī)變量X表示n次貝努利隨機(jī)試驗(yàn)序列中事件A發(fā)生的累計(jì)次數(shù)，那么隨機(jī)事件{X=k}就表示n次貝努利隨機(jī)試驗(yàn)序列中，事件A恰好發(fā)生了k次。第一章第三節(jié)的定理3.5（二項(xiàng)概率公式）給出了隨機(jī)事件{X=k}的概率

　　 （1.1） 　　

其中　k=0，1，…，n；0<p<1，　q=1-p

因?yàn)槭剑?.1）中的表達(dá)式是（p+q）n的二項(xiàng)展開式中的一項(xiàng)，所以n次貝努利隨機(jī)試驗(yàn)序列也稱為二項(xiàng)隨機(jī)試驗(yàn)序列，相應(yīng)的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量（binomial random variable）。

定義1.3　表示離散型隨機(jī)變量X的所有不同取值xi（i=1，2，…，n，…）與相應(yīng)概率的關(guān)系式

P{X=xi}=pi（i=1，2，…，n，…）　　（1.2）

或

稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布律。

式（1.1）是二項(xiàng)隨機(jī)變量的概率分布律（probability distribution），簡(jiǎn)稱為二項(xiàng)分布（binomial distribution），二項(xiàng)分布是最重要的分布律之一，可以作為描述很多隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型。

【例3】　某射手命中目標(biāo)的概率為P，假定在同樣條件下（即各次射擊互不影響，相互獨(dú)立）重復(fù)射擊了n次，隨機(jī)變量X表示擊中目標(biāo)的次數(shù)，那么X服從二項(xiàng)分布。

【例4】　設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的生產(chǎn)線的廢品率為P，檢驗(yàn)該生產(chǎn)線的100件產(chǎn)品，令隨機(jī)變量X表示其中廢品的個(gè)數(shù)，那么X服從二項(xiàng)分布。

【例5】　一個(gè)120人組成的旅游團(tuán)進(jìn)入商店購(gòu)物，假定每個(gè)成員的購(gòu)物概率大致相等，而且購(gòu)物行為相互獨(dú)立，令隨機(jī)變量X表示旅游團(tuán)離開商店時(shí)已經(jīng)購(gòu)物的人數(shù)，那么X服從二項(xiàng)分布。

上述三個(gè)例子中的隨機(jī)試驗(yàn)內(nèi)容是完全不同的，但是，可以用具有相同分布律的隨機(jī)變量來(lái)描述人們感興趣的隨機(jī)事件，這就是隨機(jī)變量在隨機(jī)現(xiàn)象的研究中所具有的獨(dú)特作用。

由概率定義可知，離散型隨機(jī)變量的分布律應(yīng)滿足兩條性質(zhì)。

（1）0≤pi≤1　（i=1，2，…，n，…）；

（2）。

凡滿足上述兩條性質(zhì)的關(guān)系式或表格均可作為離散型隨機(jī)變量的分布律。

實(shí)際上，離散型隨機(jī)變量是給每一個(gè)基本事件對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，將基本事件發(fā)生的概率作為離散隨機(jī)變量取得相應(yīng)值的概率，從而構(gòu)成了離散型隨機(jī)變量的分布律。

【例6】　設(shè)

為某個(gè)離散型隨機(jī)變量X的分布律，求

（1）常數(shù)α；

（2）P{-2≤X<0}。

解　由分布律的性質(zhì)（2）知

α+3/8+1/8+α=1

從而解得　　α=1/4

故　　P{-2≤X<0}=α+3/8=5/8

三、常用離散型隨機(jī)變量及其分布律

1.（0—1）分布（又稱兩點(diǎn)分布）

若隨機(jī)變量的分布律為

P{X=k}=pk（1-p）1-k　（k=0，1；0<p<1）

則稱X服從（0—1）分布。

貝努利試驗(yàn)是產(chǎn)生（0—1）分布的現(xiàn)實(shí)源泉，所以，服從（0—1）分布的隨機(jī)變量也稱為貝努利隨機(jī)變量或二值隨機(jī)變量。（0—1）分布是用來(lái)描述只具有兩種結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，如“擲硬幣”、“只考慮成品與廢品的產(chǎn)品檢驗(yàn)”、“通訊線路的暢通與間斷”等。

2.二項(xiàng)分布

若隨機(jī)變量X的分布律可表作式（1.1），即

其中k=0，1，…，n；0<p<1，　q=1-p

則稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X～B（n，p）。

如前所述，二項(xiàng)分布源自n次貝努利試驗(yàn)序列，它在理論與實(shí)踐中都有著廣泛的應(yīng)用。由于p+q=1，所以不難驗(yàn)證，二項(xiàng)分布滿足分布律的兩條性質(zhì)。

當(dāng)二項(xiàng)分布的參數(shù)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布就成為（0—1）分布。

3.泊松（Poisson）分布

若隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=k}=e-λλk/k！　（k=0，1，2，…）（λ>0）

則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為P（λ）。

P{X=k}滿足分布律的兩條性質(zhì)（留給讀者自證）。

泊松分布與二項(xiàng)分布有著密切的關(guān)系。

定理1.1（泊松定理）　設(shè)隨機(jī)變量Xn（n=1，2，…）服從二項(xiàng)分布，其分布律為

pn與n有關(guān)，且npn=λ>0，λ為常數(shù)，n=1，2，…，則有

證明　由pn=λ/n可知

對(duì)于任意固定的k（k=0，1，…，n）

故有 　　

注　定理中的條件“npn=λ>0，λ為常數(shù)”的一般化情況“，λ為常數(shù)”，證明過(guò)程略有不同。一般化的條件說(shuō)明，泊松定理要求：n很大而pn（0<pn<1）很小。

泊松定理表明，既可以用二項(xiàng)分布來(lái)逼近泊松分布，也可以用泊松分布來(lái)近似二項(xiàng)分布。若給定泊松分布P（λ），可以用參數(shù)n比較大的二項(xiàng)分布來(lái)逼近；若給定參數(shù)n比較大的二項(xiàng)分布B（n，p），可以用泊松分布P（np）來(lái)近似，即

成立。其中λ=np。

前邊所介紹的（0—1）分布、二項(xiàng)分布、泊松分布是三種重要的離散型隨機(jī)變量的分布。它們都有廣泛的應(yīng)用。下邊舉例說(shuō)明。

【例7】　某射手獨(dú)立射擊400次。設(shè)每次射擊的命中率為0.02，試求命中次數(shù)大于或等于2的概率。

解　將每次射擊看成是一次試驗(yàn)，設(shè)擊中的次數(shù)為X，則X～B（400，0.02）。于是所求的概率為

直接計(jì)算上式顯然是很麻煩的，下面用泊松分布作近似計(jì)算。

λ=np=400×0.02=8

于是 　　

因此　　P{X≥2}≈1-e-8-8e-8=1-9e-8=0.997

這個(gè)概率很接近于1。這一結(jié)果告訴人們：盡管在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率很小，但是在大量、重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A的發(fā)生幾乎是肯定的。因此決不能輕視小概率事件！

【例8】　為了保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人（維修工配備多了是個(gè)浪費(fèi)，配備少了又要影響生產(chǎn)），現(xiàn)有同類設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)設(shè)備工作是相互獨(dú)立的，每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01，每臺(tái)設(shè)備的故障只需一人來(lái)處理。問(wèn)至少配備多少維修工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01？

解　設(shè)需要配備N名維修工人，記同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)為X，那么，X～B（300，0.01）。要保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01，則N應(yīng)滿足

P{X>N}≤0.01

令λ=np=300×0.01=3，由泊松定理知

查附表2知，N至少應(yīng)該是8。因此，要達(dá)到題中要求需配備8名維修工人。

下邊再舉兩個(gè)常用的離散型分布的例子。

【例9】　進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為p（0<p<1），設(shè)X表示事件A首次發(fā)生時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則稱X服從幾何分布。其分布律為

P{X=k}=p（1-p）k-1　（k=1，2，…，n，…）

【例10】　一個(gè)口袋里裝有a個(gè)紅球、b個(gè)白球，從中任取m個(gè)球（1≤m≤a+b），設(shè)X表示從中取出的紅球個(gè)數(shù)，則稱X服從超幾何分布。其分布律為

四、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義1.4　對(duì)任意實(shí)數(shù)x，隨機(jī)變量X取值不超過(guò)x的累積概率P{X≤x}是實(shí)數(shù)x的函數(shù)，稱為隨機(jī)變量X的累積分布函數(shù)（cumulative distribution function）或累積概率，簡(jiǎn)稱X的分布函數(shù)，記作FX（x）或簡(jiǎn)記作F（x），即

F（x）=P{X≤x}　　（1.3）

若F（x）是隨機(jī)變量X分布函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2（x1<x2），有

　　　　　P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}

　　　　　　　　　　=F（x2）-F（x1）

即分布函數(shù)F（x）可以表示隨機(jī)變量X落在任一區(qū)間（x1，x2］上的概率，所以分布函數(shù)可以完整地描述隨機(jī)變量概率分布的規(guī)律性。

隨機(jī)變量的分布函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上，以閉區(qū)間［0，1］為值域的普通函數(shù)（即微積分理論中定義的函數(shù)）。所以，有了分布函數(shù)，就可以用微積分理論來(lái)研究隨機(jī)變量。

分布函數(shù)具有下列性質(zhì)：

（1）0≤F（x）≤1　（-∞<x<+∞）；

（2）若x1<x2，則F（x1）≤F（x2），即任一分布函數(shù)都是單調(diào)不減的；

（3），；

（4）右連續(xù)，即

反之，凡具有上述性質(zhì)的實(shí)函數(shù)都是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

對(duì)于具有式（1.2）分布律的離散型隨機(jī)變量X，其分布函數(shù)

　　 （1.4） 　　

其中和式是對(duì)所有滿足“xi≤x”的P{X=xi}=pi求和。

【例11】　設(shè)X服從（0—1）分布。求

（1）X的分布函數(shù)；

（2）P{X≤1/2}；

（3）P{1<X≤3/2}。

解　X的分布律為

P{X=k}=pk（1-p）1-k　（k=0，1）

當(dāng)x<0時(shí)，　　{X≤x}=ф

故　　F（x）=P{X≤x}=0

當(dāng)0≤x<1時(shí)，　　{X≤x}={X=0}

所以　　P{X≤x}=1-p

此時(shí)　　F（x）=1-p

當(dāng)x≥1時(shí)，　　{X≤x}={X=0}∪{X=1}

因而　　F（x）=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}=1

總之

（1），

（2）

（3）