習題二

1.判別下列表格是否可作為某個離散型隨機變量的分布律，并說明理由。

（1）；

（2）；

（3）；

（4）

（5）

（6）（λ>0）

2.一個口袋里裝有七個紅球，三個白球，從中任取五個球，每個球被取到的可能性相同，設X表示取得白球的個數，求X的分布律。

3.設隨機變量X～B（n，p），問k取何值時，P{X=k}取得最大值？

4.設X～P（λ），且P{X=2}=P{X=4}，求λ值。

5.設X的分布律為

（1）求常數a；（2）當k為何值時，P{X=k}達到最大值？

6.設某批電子管正品率為3/4，次品率為1/4，現對該批電子管進行測試。設第X次首次測得正品，求X的分布律。

7.袋中有五個同樣大小的球，編號分別為1，2，3，4，5，從中同時任取三個球，以X表示取出球的最大號碼，求X的分布律。

8.有一繁忙的汽車站有大量汽車通過，每輛汽車在一天內出故障的概率為0.0001，在一天內有1000輛汽車通過，問出事故的次數不小于2的概率是多少？（用泊松定理計算）

9.設連續型隨機變量X的密度函數為

求常數a，并求X的分布函數。

10.設隨機變量X～P（2），求方程x2+Xx+1=0有實根的概率。

11.設連續型隨機變量X的分布函數為

求（1）常數A；；（3）X的密度函數。

12.判別下列函數是否可作某個連續型隨機變量的密度函數，并說明理由。

（1）

（2）

（3）

（4）（c>0，-∞<x<+∞）；

（5）（-∞<x<+∞）；

（6）（-∞<x<+∞）。

13.判別是非，并說明理由。

（1）若X～N（1，4），則P{X<1}=0.5；

（2）若X～N（-1，3），則P{X≤2}=Φ（2）；

（3）若X～N（-1，3），則P{X≤2}=Φ（1）；

（4）若X～N（-1，3），則；

（5）若X～N（0，1），則P{｜X｜≤2}=2Φ（2）-1；

（6）若X～N（-1，3），則P{｜X｜≤2}=2Φ（2）-1。

14.設X的密度函數為

（1）求常數a；（2）X～N（μ，σ2），μ，σ各取什么值？

15.設X～N（3，22），求（1）P{2<X≤5}；（2）P{-4<X≤10}；（3）P{｜X｜>2}；（4）P{｜X｜<3}；（5）確定c值，使P{X≥c}=P{X<c}成立。

16.測量誤差X的密度函數為

求（1）測量誤差的絕對值不超過30的概率；（2）進行三次獨立測量，至少有一次誤差絕對值不超過30的概率是多少？（3）進行三次獨立測量，恰有一次誤差絕對值不超過30的概率是多少？

17.設中國男人身高X～N（170，62），問公共汽車門高度至少為多少才能保證99.87％的人不碰頭？（單位：cm）

18.設x>0，則對于隨機變量X，應等于什么？

19.一個口袋中裝有四個球，標號分別為1，2，2，3，從中先后任取兩個球，第一次、第二次取出球的標號分別為X，Y，試就放回抽樣與不放回抽樣兩種情形分別求出（X，Y）的聯合分布律、邊緣分布律、條件分布律P{Y=k｜X=2}。

20.甲、乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6，0.7，今各投一次，投中與否是相互獨立的。X，Y分別表示甲、乙投中次數。求（1）（X，Y）的聯合分布律；（2）P{X=Y}；（3）P{X>Y}。

21.設X，Y相互獨立，它們均服從區間［0，b］上的均勻分布，試求方程x2+Xx+Y=0有實根的概率。

22.（蒲豐投針問題）橫格稿紙相鄰橫線距為l，針長為a（a<l），任意將針投在稿紙上，試用均勻分布求針與橫線相交的概率。

提示：設針中心與最近橫格線距離為X，針與橫線夾角為Φ，X，Φ均為隨機變量，（X，Φ）服從區域G={（x，φ）｜0≤x≤l/2，0≤φ≤π}上的均勻分布，針與橫線相交條件：。

23.設（X，Y）服從區域D上的均勻分布，D是由y=x+1，x軸，y軸圍成的區域，求（X，Y）的聯合分布函數；邊緣密度函數；*條件密度函數；并判定X，Y是否獨立？

24.將一枚均勻硬幣拋擲三次，以X表示出現正面次數，Y表示出現正面次數與反面次數差的絕對值。求（X，Y）的聯合分布律，邊緣分布律。

25.設（X，Y）的分布函數為

求常數A，B，C及（X，Y）的密度函數。

26.設（X，Y）在區域D={（x，y）｜0<x<1，-x<y<x}內服從均勻分布，求（1）邊緣分布；*（2）條件分布；（3）。

27.設（X，Y）服從二維正態分布，其聯合密度函數為（-∞<x<+∞，-∞<y<+∞），求P{X<Y}。

28.一整數n等可能地取1，2，…，10十個數值，設d=d（n）是能整除n的正整數個數，F=F（n）是能整除n的素數（1不含在內）個數。試寫出d和F的聯合分布律、邊緣分布律及P{F=y｜d=2}。

29.已知（X，Y）的聯合分布律為

問當a，b為何值時，X與Y獨立？并求出邊緣分布律。

30.設（X，Y）在單位圓內服從均勻分布，試問X與Y是否獨立？*并求其條件分布。

31.設（X，Y）的密度函數為

（1）求常數c；（2）證明X與Y相互獨立。

32.設（X，Y）在區域D內服從均勻分布，D由曲線y=1/x，直線y=0，x=1，x=e2所圍成，求（X，Y）關于X的邊緣密度在x=2處的值。

33.設（X，Y）的聯合分布律為

求（1）邊緣分布律；*（2）條件分布律；*（3）當X=20時，Y的條件分布律。

34.設X的分布律為

求（1）Y=1-X的分布律；（2）Y=X2的分布律。

35.設X的密度函數為

求（1）Y=1-X的密度函數；（2）Y=X2的密度函數。

36.設X在區間（0，1）內服從均勻分布，求（1）Y=eX的密度函數；（2）Y=-2lnX的密度函數。

37.設X～N（0，1），求（1）Y=eX的密度函數；（2）Y=｜X｜的密度函數。

38.設X的密度函數為

求Y=X2的密度函數。

39.設X的密度函數為

求Y=sinX的密度函數。

40.設（X，Y）的聯合密度函數為

求Z=X+Y的密度函數。

41.設X～N（μ，σ2），Y服從（-π，π）內的均勻分布，且X，Y獨立，求Z=X+Y的密度函數。

42.設X，Y相互獨立，其密度函數分別為

求Z=X-Y的密度函數。

43.設X，Y相互獨立，分別服從參數為λ1，λ2的泊松分布，求Z=X+Y的分布律。

44.設X，Y相互獨立，X～B（n1，p），Y～B（n2，p），求Z=X+Y的分布律。

45.設X與Y相互獨立，其密度函數均為

求的密度函數。

46.設X與Y相互獨立，且服從同一分布，其密度函數為

求Z=X/Y的密度函數。

47.設X與Y相互獨立且服從同一分布，其分布律為P{X=k}=pk（1-p）1-k（k=0，1），求（1）Z=max（X，Y）的分布律；（2）Z=min（X，Y）的分布律。

48.設X1，X2相互獨立，且服從同一分布，其分布律為P{Xi=k}=1/3（k=1，2，3；i=1，2）。設X=max（X1，X2）；Y=min（X1，X2）。求（X，Y）的聯合分布律。

49.設X，Y相互獨立，，，試證：aX+bY～N（aμ1+bμ2，a2σ2+b2σ2）（a，b不全為0）。

50.已知X，Y相互獨立，且均服從同一分布，其分布律為P{X=k}=pk（1-p）1-k（k=0，1；　0<p<1），問Z=2X的分布律與Z=X+Y的分布律是否相同？為什么？