第三節(jié)　空間任意力系的簡化及平衡問題

當空間力系中各力的作用線在空間任意分布時，稱其為空間任意力系。

一、空間任意力系的簡化

如圖3-11所示，剛體上有（F1，F2，…，Fn）空間任意力系作用，其對簡化中心O點簡化。與平面任意力系的簡化方法一樣，應(yīng)用力的平移定理，依次將作用于剛體上的每個力向簡化中心O點平移，同時附加一個相應(yīng)的力偶。

這樣，原來的空間任意力系被簡化成空間匯交力系和空間力偶系兩個簡單力系。根據(jù)空間匯交力系和空間力偶系的簡化與合成，得：

　　 （3-25） 　　

　　 （3-26） 　　

可得結(jié)論如下：空間任意力系向任一點O簡化，可得一個合力和一個合力偶。這個力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O；這個合力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩。主矢與簡化中心的位置無關(guān)，主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。

由式（3-8）、式（3-9）和式（3-22）即可求出此力系主矢和主矩的大小和方向余弦。

二、空間任意力系的簡化結(jié)果分析

現(xiàn)分別討論可能出現(xiàn)的幾種情況。

1.空間任意力系簡化為一合力偶的情形

若主矢，主矩MO≠0，可得一合力偶。其合力偶矩矢等于原力系對簡化中心的主矩。

2.空間任意力系簡化為一合力的情形

若主矢，而主矩MO=0，可得一合力。其合力的作用線通過簡化中心O，其大小和方向等于原力系的主矢。

若主矢，主矩MO≠0，且［圖3-12（a）］。這時，力和力偶矩矢為MO的力偶（，FR）在同一平面內(nèi)［圖3-12（b）］，可將力與力偶進一步合成，得作用于點O’的一個力FR［圖3-12（c）］。此力即為原力系的合力，其大小和方向等于原力系的主矢。其作用線離簡化中心O的距離為：

　　 （3-27） 　　

3.空間任意力系簡化為力螺旋的情形

若主矢和主矩都不等于零，而，這種簡化結(jié)果稱為力螺旋，如圖3-13所示。所謂力螺旋就是由一力和一力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。力螺旋是由靜力學的兩個基本要素力和力偶組成的最簡單的力系，不能再進一步合成。力偶的轉(zhuǎn)向和力的指向符合右手螺旋定則的稱為右螺旋［圖3-13（b）］，符合左手螺旋定則稱為左螺旋［圖3-13（d）］。

若，MO≠0，同時兩者既不平行，又不垂直，如圖3-14（a）所示。此時可將MO分解為兩個分力偶矩矢和，它們分別垂直于和平行于，如圖3-14（b）所示。上述兩種情況已經(jīng)討論過，可知這種情況可合成為力螺旋。其中心軸不在簡化中心O，而是通過另一點O'，如圖3-14（c）所示。O、O’兩點間的距離為：

　　 （3-28） 　　

4.空間任意力系簡化為平衡的情形

若主矢，主矩MO=0，空間任意力系平衡。

三、空間任意力系的平衡方程

空間任意力系平衡的必要和充分條件是：該力系的主矢和對任一點的主矩都等于零。即：

　　 （3-29） 　　

因此，空間任意力系的平衡方程為：

　　 （3-30） 　　

式（3-30）表達了空間任意力系平衡的必要和充分條件為：各力在三個坐標軸上投影的代數(shù)和以及各力對三個坐標軸之矩的代數(shù)和都必須分別等于零。

利用該六個獨立平衡方程式，可以求解六個未知量。

從空間任意力系的平衡規(guī)律可以看出一些特殊情況的平衡規(guī)律，例如空間匯交力系、空間平行力系等。以空間平行力系為例，推導其平衡方程。各力作用線互相平行的空間力系稱為空間平行力系（圖3-15）。取坐標系Oxyz，令z軸與力系中各力平行，則不論力系是否平衡，都自然滿足∑Fx=0，∑Fy=0，∑Mz（F）=0。

于是空間平行力系的平衡方程為：

∑Fz=0，　∑Mx（F）=0，　∑My（F）=0　　（3-31）

【例3-4】　傳動軸如圖3-16所示，以A、B兩軸承支承。圓柱直齒輪的節(jié)圓直徑d=17.3mm，壓力角α=20°，在法蘭盤上作用一力偶，其力偶矩M=1030N·m。如輪軸自重和摩擦不計，求傳動軸勻速轉(zhuǎn)動時A、B兩軸承的反力及齒輪所受的嚙合力F。

解　①取整個軸為研究對象。設(shè)A、B兩軸承的反力分別為FAx、FAz、FBx、FBz，并沿x、z軸的正向，此外還有力偶M和齒輪所受的嚙合力F，這些力構(gòu)成空間一般力系。

②取坐標軸如圖所示，列平衡方程

　　　　　　∑My（F）=0，　　　　　　-M+Fcos20°×d/2=0

　　　　　　∑Mx（F）=0，　　　　　　Fsin20°×220+FBz×332=0

　　　　　　∑Mz（F）=0，　　　　　　-FBx×332+Fcos20°×220=0

　　　　　　∑Fx=0，　　　　　　　　FAx+FBx-Fcos20°=0

　　　　　　∑Fz=0，　　　　　　　　FAz+FBz+Fsin20°=0

聯(lián)立求解以上各式，得F=12.67kN，FBz=-2.87kN，FBx=7.89kN，FAx=4.02kN，FAz=-1.46kN

【例3-5】　在圖3-17（a）中，皮帶的拉力F2=2F1，曲柄上作用有鉛垂力F=2000N。已知皮帶輪的直徑D=400mm，曲柄長R=300mm，皮帶1和皮帶2與鉛垂線間夾角分別為α和β，α=30°，β=60°［參見圖3-17（b）］，其他尺寸如圖所示。求皮帶拉力和軸承反力。

解　以整個軸為研究對象。在軸上作用有皮帶的拉力F1、F2，作用在曲柄上的力F，軸承反力FAx、FAz、FBx和FBz。軸受空間任意力系作用，選坐標軸如圖所示，列出平衡方程：

∑Fx=0，F1sin30°+F2sin60°+FAx+FBx=0

∑Fy=0，0=0

∑Fz=0，-F1cos30°-F2cos60°-F+FAz+FBz=0

∑Mx（F）=0，F1cos30°×200+F2cos60°×200-F×200+FBz×400=0

∑Mz（F）=0，F1sin30°×200+F2sin60°×200-FBz×400=0

又有

F2=2F1

聯(lián)立上述方程，解得：

F1=3000N，F2=6000N

FAx=-1004N，FAz=9397N

FBx=3348N，FBz=-1799N

此題中，平衡方程∑Fy=0成為恒等式，獨立的平衡方程只有5個；在題設(shè)條件F2=2F1之下，才能解出上述6個未知量。