第二節(jié)　力對點和軸的矩及空間力偶

一、力對點之矩矢

從平面力系力對點之矩可知，力除了能使物體移動外，還能使物體轉(zhuǎn)動。扳手擰緊螺母、杠桿、滑輪等簡單機械，就是加力使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)的實例。若力為空間的力如圖3-6所示，空間力F，使剛體在OAB平面內(nèi)繞O點轉(zhuǎn)動，這就是空間力F對O點的矩。在空間，力對點之矩矢的概念不僅包括力矩的大小和轉(zhuǎn)向，還包括力與矩心所組成的平面的方位。方位不同，即使力矩大小一樣，作用效果將完全不同。因此，在研究空間力系時，力對點之矩矢有三個要素：力矩的大小和轉(zhuǎn)向、力與矩心所確定平面的方位。

力F對點O的矩的矢量記作MO（F）：

MO（F）=r×F　　（3-12）

式中，r表示力F作用點A的矢徑。則矢積r×F的模等于三角形OAB面積的2倍，其方向與力矩矢MO（F）一致。即力對點的矩矢等于矩心到該力作用點的矢徑與該力的矢量積。

設(shè)i、j、k分別為坐標軸x、y、z方向的單位矢量。力在三個坐標軸上的投影分別為Fx、Fy、Fz，則矢徑r和力F分別為：

r=xi+yj+zk

F=Fxi+Fyj+Fzk

代入式（3-12），并采用行列式形式，得：

　　 （3-13） 　　

可以看出，單位矢量i、j、k前面的三個系數(shù)，分別是力對點的矩矢MO（F）在x、y、z軸上的投影，即：

　　 （3-14） 　　

由于力矩矢量MO（F）的大小和方向都與矩心O的位置有關(guān)，故力矩矢的始端必須在矩心，不可任意挪動，這種矢量稱為定位矢量。

二、力對軸之矩

在工程和生活中，常會遇到剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的情形，如門繞鉸鏈的轉(zhuǎn)動，齒輪繞主軸的轉(zhuǎn)動等。為了度量力對繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的作用效應(yīng)，需要了解力對軸之矩的概念。以開關(guān)門為例，如圖3-7（a）所示，門軸z軸為固定軸，在A點作用一力F，為度量此力對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，可將該力F分解為兩個互相垂直的分力：一個是與轉(zhuǎn)軸平行的分力Fz；另一個是在與轉(zhuǎn)軸垂直平面上的分力Fxy。其中分力Fz平行z軸，不能使門轉(zhuǎn)動，故它對z軸之矩為零；只有分力Fxy才能產(chǎn)生使門繞z軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)。

若以d表示Fxy作用線到z軸與平面的交點O的距離，則Fxy對O點之矩，就可以用來度量力F使門繞z軸轉(zhuǎn)動的效應(yīng)，記作：

Mz（F）=MO（Fxy）=±Fxyd　　（3-15）

力對軸之矩是來用度量力對剛體繞定軸轉(zhuǎn)動效應(yīng)的。它是一個代數(shù)量，其絕對值等于此力在垂直該軸平面上的投影對該軸與此平面的交點的矩。其正負代表其轉(zhuǎn)動作用的方向。從z軸正向看，逆時針方向轉(zhuǎn)動為正，順時針方向轉(zhuǎn)動為負［或用右手法則確定其正負，如圖3-7（b）］。力對軸之矩的單位是N·m。

力對軸之矩等于零的情況：

①當力的作用線與軸平行（Fxy=0）；

②當力與軸相交時（d=0）。

以上兩種情況可解釋為當力與軸共面時，力對該軸之矩等于零。

根據(jù)合力矩定理，力對軸之矩還可用解析式表達，如圖3-8所示。力F在三個坐標軸上的投影分別為Fx，Fy，Fz。力作用點A的坐標為x、y、z，得：

Mz（F）=MO（Fxy）=MO（Fx）+MO（Fy）

即：

Mz（F）=xFy-yFx　　（3-16）

同理可得力F對其他兩軸的矩。以下三式是計算力對軸之矩的解析式。

　　 （3-17） 　　

【例3-3】　如圖3-9所示手搖曲柄上F對x、y、z軸之矩。已知F為平行于xz平面的力，F=100N，α=60°，AB=20cm，BC=40cm，CD=15cm，A、B、C、D處于同一水平面上。

解　力F在x和z軸上有投影：

Fx=Fcosα，Fz=-Fsinα

計算F對x、y、z各軸的力矩：

Mx（F）=-Fz（AB+CD）=-100×sin60°（0.2+0.15）=-30.31N·m

My（F）=-Fz·BC=-100×sin60°×0.4=-34.64N·m

Mz（F）=-Fx（AB+CD）=-100×cos60°（0.2+0.15）=-17.5N·m

三、力對點的矩矢與力對軸之矩的關(guān)系

比較式（3-14）與式（3-17），可以看出，力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。即：

　　 （3-18） 　　

若力對通過點O的直角坐標軸x、y、z的矩已知，則可求出該力對點O的矩的大小和方向余弦：

　　 （3-19） 　　

四、空間力偶

1.力偶矩以矢量表示

與平面力偶相比較，空間力偶對剛體的作用除了與力偶矩大小有關(guān)外，還與其作用面的方位及力偶的轉(zhuǎn)向有關(guān)，可用力偶矩矢來度量。

因此，空間力偶對剛體的作用效果決定于下列三個因素：

①力偶矩的大小；

②力偶作用面的方位；

③力偶的轉(zhuǎn)向。

設(shè)有空間力偶（F，F′），其力偶臂為d，如圖3-10（a）所示。那么力偶矩的大小M=Fd；其方位與力偶作用面的法線方位相同；從力偶矩矢的末端看去，逆時針力偶為正；力偶矩矢的指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋規(guī)則［如圖3-10（b）］。力偶可在同平面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，并可搬移到平行平面內(nèi)，故力偶矩矢為自由矢量。

2.空間力偶系的合成與平衡條件

任意多個空間分布的力偶可合成為一個合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即：

　　 （3-20） 　　

合力偶矩矢的解析表達式為：

M=Mxi+Myj+Mzk　　（3-21）

其中Mx，My，Mz為合力偶矩矢在x、y、z軸上的投影。

若空間有若干個力偶，其力偶矩矢都可向三個軸投影，投影后的同軸的力偶矩代數(shù)求和，分別可得到∑Mx、∑My、∑Mz，設(shè)i、j、k分別為x、y、z三個坐標軸的單位矢量。其合力偶矩矢的大小和方向余弦可用下列公式求出，即：

　　 （3-22） 　　

由于空間力偶系可以用一個合力偶來代替，因此，空間力偶系平衡的必要和充分條件是：該力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即：

　　 （3-23） 　　

由式（3-22），即：

欲使式（3-23）成立，必須同時滿足：

　　 （3-24）